ts-条件异方差模型

时间序列分析时间序列分析

自回归条件异方差自回归条件异方差

AutoRegressionConditional

HtdtiitHeterosceasticity

自回归条件异方差模型

?金融衍生市场，计算期权等衍生工具的

价格需要了解股票的波动率价格需要了解股票的波动率

lKP

l

)()(ΦΦ

?

l

KrP

x

xrxc

l

t

ttt

σ

σ

1)/ln(

,

+=

??=

?

?金融风险管理,度量金融风险的大小，计

算

l

t

t

σ

2

算VaR。

?改进参数估计量的有效性，提高预测区改进参数估计量的有效性，

间的精确度。

自回归条件异方差

?SomeARCHmodels

?Engle(1982)ARCH

?Bollerslev(1986)GARCH

?Nelson(1991)EGARCH

ARCHM?-

?TARCH

自回归条件异方差模型

金融资产的收益率r

t

，t时刻前的信息为I

t－1

感兴趣的是收益率的条件均值和条件方差

2

11

(|),(|)

tttttt

ErIVarrIμσ

??

==

金融资产收益率的一个特征是日收益率不

存在或只存在微弱的相关性但是日收存在或只存在微弱的相关性，

益率的平方存在相关性，即收益率序列

不相关但是也不独立不相关但是也不独立。

自回归条件异方差模型

建立关于收益率的条件均值和条件方差的

模型

ttt

pq

rμε

φθ

=+

∑∑

11

(|)(|)

titiit

ii

cr

VarrIVarI

μφθε

ε

??

==

=++

=

tttt??

ARCH(q)

h

ttt

νε=

22

h+++εαεαα

110qtqtt??

="

V~iid是独立同分布白噪声过程

t

...

0...)|(

1

=

?tt

vvE

1,...)|(

1

,

=

?tt

vvVar

α

0

>0,α

j

≥O,j=1,…q,α

1

+…+αq<1

ARCH过程

{ε

t

}是ARCH(1)过程

hνε=

ttt

2

110?

+=

tt

hεαα

ARCH过程的性质

该过程表明,如果ε

t-1

异常的偏离他的条件期

望0,那么ε

t

的条件方差要比通常情况下大,

所以有理由预期ε

t

会比较大.这样使得比所以有理由预期会比较大

较大,反之,如果ε

t-1

异常的小,那么条件方

差要比通常情况下小所以有理由预期ε差要比通常情况下小,

t

会比较小.这样使得比较小.虽然方差大

或小会持续端时间但是不会直持续或小会持续一端时间,一直持续

下去,会回到无条件方差上去.

ARCH过程性质

边际期望和边际方差

1

()[(|)][()]0

ttttt

EEEIEhEvεε

?

===

222

1011

2

()()[(|)]()

()

ttttt

VarEEEIE

E

εεεααε

??

===+

011

2

0

()

t

t

E

ααε

α

ε

?

=+

=

1

1α?

ARCH过程性质

边际四阶矩

E(ε

4

t

|I

t－1

)＝3（α

0

＋α

1

ε

2

t-1

）

2

E(

4

)m[3

2

(1+)]/[(1)(13

2

)]ε

t

)=m

4

=α

0

α

1

-α

1

-α

1

四阶矩是正的，所以必须有α

2

1

<1/3

无条件峰度=E(ε

4

t

)/E(ε

2

t

)

2

=3(1-

α

2

)]/(13α

2

)

1

-

1

大于3，所以ε

t

的分布的尾巴比正态分布的

尾巴厚。

ARCH过程特点

令

tttttt

hE?=?=

?

22

1

2

)(εεεη

带入ARCH(1)模型

ttt

εααηε+=?

2

110

2

可以证明是白噪声过程

ttt

ηεααε++=

?

?

2

110

2

可以证明η

t

是白噪声过程

Wecanprovethatη

t

iswhitenoiseprocess

ε

2

t

的形式类似于AR(1)（因为我们没有证明η

t

的

方差是否有界。）

ARCH过程缺点总结

?不能反应波动率的非对称特点

?约束强，要求系数非负，如果要求高阶

矩存在还有更多的约束矩存在，还有更多的约束

?不能解释为什么存在异方差，只是描述

条件差的了条件异方差的行为。

建立ARCH模型

1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何

线性关系使用估计的残差检验ARCH效，效

果

估模型2）估计模型

3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。）检验模型，。

建立模型

1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的

应用是在回归模型。

ttt

XYεβ+

′

=

tptptt

YYcyε??++++=

??

...

11

建立模型

检验残差是否存在条件异方差

?观察残差平方的偏自相关函数，如果q步

截尾则阶数为q截尾，则阶数为

?对残差平方使用Q检验，判断是否存在自

关相关

?使用LM检验法使用检验法

LM检验

222

t

qt

qtt

eeeηβββ++++=

?

?110

"

零假设H

0

：β

i

=0，i=1,2,…,q，即不存在条件

异方差性

检验统计量：LM=TR

2

,T是样本点个数,LM服

从χ

2

(q)分布从分布

建立模型

2）估计模型

tptptt

YYcyε??++++=

??

...

11

ttt

hνε=

22

110qtptt

h

??

+++=εαεαα"

∑

???=

T

t

t

h

hL

2

2

1

)ln(

2

1

)2ln(

2

1

)ln(

ε

π

+=qt

t

1

建立模型

3）检验模型

计算标准化后的残差{e

t

/h

t

1/2

}，根据定义

应该独立同分布N(01)应该独立同分布,

使用Q-检验法检验{e

t

/h

t

1/2

}是否有自相关

使用Q-检验法检验{e

2

t

/h

t

}是否有自相关

预测条件方差

条件方差等于

22

110qtptt

h

??

+++=εαεαα"

2

1

2

10

...)1(

qTqTT

h

?+

+++=εαεαα

2

2

2

1102

...

qTqTT

h

?+++

+++=εαεαα

2

210

...)1()2(

qTqTT

hh

?+

+++=εααα

ARCH模型对条件方差的预测

)()1()(lhlhlh...

10

q

TqTT

?++?+=ααα

时间序列分析时间序列分析

其他GARCH类模型其他类模型

GARCH（p,q）（）

广义自回归条件异方差模型

hνε=

ttt

22

11110qtqtptptt

hhkh

????

++++++=εαεαββ""

GARCH(11),1)

2

11110??

++=

ttt

hkhεαβ

GARCH性质

1)当p=0时成为ARCH过程ARCH过程是GARCH的当时,,的

特例，这也是该过程被称为广义的原因。

2)GARCH过程的含义是条件方差h是hh和ε

t

是

t-1

,…

t-p

和

t-1,

ε

t-q

的函数。

3）参数αi=12q和βi=12p大于零是保）参数

i

,,,…,和

i

,,,…,大于零是保

证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。

4){ε

2

}平稳的条件是α++α+β++β<1这

t

平稳的条件是

1

…

q1

…

p

，这

时{ε

t

}也是宽平稳的。如果α

1

+…+α

p

+β

1

+…+β

p

=1则{ε}过程被称为I--GARCH过程。这时条件方则

t

过程被称为过程。这时条件方

差的特点，或者说波动性的特点为很强的持续性。

GARCH预测

GARCH(1,1)的预测公式

TTT

hh

1

2

10

)1(βεαα++=

)1()()(++=lhlhβαα

110

?

TT

ARMA和GARCH过程的比较

性质白噪声ARMAGARCHARMA-

GARCH

条件均值

条件方差

常数

常数

非常数

常数

0

非常数

非常数

非常数条件方差

条件分布

边际均值

常数

正态

常数

常数

正态

常数

非常数

正态

常数

非常数

正态

常数

和方差

边际分布

正态正态厚尾厚尾

EGARCH

指数广义自回归条件异方差模

型型

rtrtt

vgvg

hhkh

αα

ββ

++

++++=

??

)()(

lnlnln

110

"

tttt

qtqt

Evgθννν+?=

??

|)}(||{|)(

...

11

θ>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负

扰动要大；θ<0同等程度的正扰动引起条件方差

的变化比负扰动要小;θ=0同等程度的正扰动引

起条件方差的变化与负扰动相等起条件方差的变化与负扰动相等。

EGARCH模型

1）重要特征是引入不对称性）重要特征是引入不对称性

2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后

的条件方差建模，，可以保证方差为对数。

3）可以假设ν~广义误差分布）可以假设

t

广义误差分布

4）假设v

t

是正态分布时E(|v

t

|)=(2/π)

1/2

TGARCH模型

222

bββhhkh

1t11110

S

?

?

????

+++++++=εεαεα

qtqtptptt

""

0;0,1=<=

?

?

?

iiti

SSε

ARCH-M模型

hgXyεδβ++

′

=)(

tttt

()是条件方差的函数通常是hlhg是条件方差的函数通常是

t

，lnh

t

hνε

ttt

=

22

110qtptt

h

??

+++=εαεαα"

ARCH-M模型的应用

条件CAPM模型

)()(?=?

fMifi

RRERREβ

11111

])|([)|(

?????

?Ω+=Ω

fttMtitfttit

RRERREβ

111

)|()|(

???

?Ω=Ω

fttMttMt

RRErE

111

)|()|(

???

Ω=Ω

ittMttMt

rVarrEλ

其他异方差模型

?QARCH----quadraticARCH二次自回归条件异

方差方差

?STARCH----structuralARCH结构自回归条件异

方差

?SWARCH----switchingARCH开关自回归条件异开关自回归条件异

方差

?QTARCH---quantitativethresholdARCH定量门定量门

限自回归条件异方差

DaigonalARCH?

?FactorARCH

条件异方差模型条件异方差模型

例题和演示例题和演示

例题

研究台湾新台币/美圆汇率。即1美圆=---

---台币。

数据区间1994：1116——1995：38：，：，，

每5分钟记录一次，共1341个样本点。

问题：汇率是否是可预测的？汇率市场是

否是不对称的？是否风险越大，要求的

收益率越大？

例题

要回答问题1，需要采用AR模型，检验是

否是一个随机游动；回答问题2和3要用

到EGARCH模型；问题4用到ARCH-M模到模型；用到模

型。所以采用AR-EGARCH-M

例题

首先介绍一些符号用S

t

表示汇率。

R

t

=(lnS

t

-lnS

t-1

)100是汇率的收益率

tttttt

hRRRRελββββ+++++=

???3322110

ttt

hνε=

}|)(||{|lnln

1111110????

+?++=

ttttt

Ehhθννν?αα

β

0

0.0080.068H0:β

0

=0

β

1

-0.625-3.479H0:β

1

=0

β

2

-0.1079-4.965H0:β

2

=0

β01055537H0β0

3

-.-.:

3

=

λ-0.0048-1.916H0:λ=0

α

1

0.959463.266H0:α

1

=0

θ

-0.3766-1.6553H0:θ=0

029123291H00α

0

.-.:α

0

=

φ

1

0.1196-2.683H0:φ

1

=0

例题

如何利用模型解决问题？

汇率是否是可预测的？

H0β0β0β0：

1

=，

2

=，

3

=

汇率市场是否是不对称的？

H0:θ=0

是否风险越大要求的收益率越大是否风险越大，

H0:λ=0

时间序列分析时间序列分析

VaR和GARCH和

风险价值概念

金融机构通常这样描述：

风险价值是一定数额的货币，是对未来

的可能损失的估计具体说是这样一个的可能损失的估计。具体说是这样个

数额的货币，预期一个交易日后，损失

超过该数额货币的可能性是1%超过该数额货币的可能性是

风险价值概念

某银行宣布，“只有1%的可能性，该银行

的资产在一天内的损失会多于350万元。”

要素：置信水平99%－90％；要素：置信水平％；

时间长度：一天－一年；

损失：用绝对损失或比率

在99%的置信水平下一天内他的资产的在的置信水平下，

VaR是350万元。

损失

的

1％

的

概率

密密

度

资产组合损失的可能取值

Barings银行破产VaR分析-2

头寸情况

?空头对敲（shortstraddle)策略:同时卖空

35000份日经指数期货的看跌和看涨期权.如份日经指数期货的看跌和看涨期权如

果市场稳定,那么可以获得巨额期权费,但是

由于神户地震,日经指数一路下跌.由于神户地震日经指数路下跌

?期货组合:N.Leeson赌日经指数会反弹,买入

日经指数期货卖空10年期日本国债期货这日经指数期货,卖空年期日本国债期货.这

两者负相关.

Barings银行破产VaR分析-3

95%的概率对应的VaR

期权组合的VaR=835亿美元期权组合的=8.35亿美元

空头跨坐策略的VaR=2200万美元

总实际损失13亿美元

总VaR=857亿美元总.亿美元

Barings银行内部认为风险为0

方差－协方差法

假设一个管理者有一个资产组合，该组

合只有一种金融资产。

假设该资产的收益率服从正态分布均，均

值20％，标准差30％，当前该组合的价

值为100(MILLION)值为

风险价值的计算

1）一年后该资产的价值的分布

2）一年后损失超过20M的概率有多大，或

者说一年后资产价值小于80M的概率有年后资产价值小于

多大

的概率的大失3）1％的概率下的最大损失？即VaR

一年后资产价格的分布

一年以后资产价值P

1

=P

0

(1+R)

分布是正态分布

均值P(1+02)12100120M均值＝

0

.=.=

标准差＝P

0

0.3=1000.3=30M

P

1

~N(120,30

2

)

问题2

损失超过20M,即P

1

小于80M的概率

p（P

1

<80）

p(Z<[(80120)/30])=-

=p(Z<-1.333)

=9.12%

问题3

p(P

1


P(z
P<120+30(233)501

1

-.=.

损失为100－50.1＝49.9

1%显著水平下的风险价值为49.9，有1％

的可能性一年后的损失超过499M的可能性一年后的损失超过.。

单个股票资产的VaR

表示样本均值

x

s表示样本标准差

与对应的分为数

σαμ)(

1?

Φ+

与α对应的分为数

S表示股票的现值

风险价值＝

))((

1

sxSα

?

Φ+?

AR-GARCH模型

使用IBM公司的数据

r

t

=0.00066-0.0247r

t-2

+ε

t

vhε

t

＝

t

h

t

=0.00000389+0.9073h

t-1

+0.0799ε

2

t-1

t

例题

假设共有9190个数据

r

9189

=－0.00201，r

9190

=－0.0128，

h=000033455

9190

.

一步预测

r

9190

(1)=0.00071

h(1)=00003211

9190

.

例题

5%显著水平下，一天的风险价值为

10，000，000×[0.00071－

165]

00032110

1.65

=-287,700

.

计算15天的风险价值，假设现在是时刻

T15天后的可能损失是多少,

例题

从T到T+15的收益率的预测等于模型对收

益率的一步预测加二步预测一直加到15

步预测步预测

r[15]=r

9190

(1)+…r

9190

(15)=0.00998

对波动率的预测也等于模型中对条件波动

率的一步预测到15步预测之和

15

率步预测到步预测

＝0.0047948

∑

1

)(

l

T

lh

=

例题

5％对应的标准正态分布的分位数＝1.65

15天收益率对应的分布为N(0.00998,

00047948)所以该分布对应的5％分位.,所以该分布对应的％

数为

00479840

0.00998－1.65＝－

0.1039191

.

风险价值等于

10000000010391911039，，×.＝，，

191





多元GARCH模型

?多元GARCH模型，主要目的估计协方差和相关系

数数。

?三类主要的多元GARCH:VECH,对角VECH

BEKKCCC和DCC.和

?VECH

假设有两个变量H是2×2VECH(H)是假设有两个变量

t

是2.VECH(

t

是

?

?

?

?

?

?

=

t

t

t

h

h

HVECH

22

11

)(

?

?

?

?

?

?

=

tt

t

hh

hh

H

1211

?

?

?

?

?

?

=Ξ

t

t

u

1

VECH表示对对称矩阵上半部分的列算子

?

?

?

?t

h

12

tt2221

t

u

2

表示对对称矩阵上半部分的列算子

多元GARCH模型

?

?

?

?

131211

aaa

?

?

?

?

131211

bbb

?

?

?

?

?

?

=

333231

232221

aaa

aaaA

?

?

?

?

?

?

=

333231

232221

bbb

bbbB

??

2

?

?

?

?

=ΞΞ

2

212

211

''

ttt

ttt

uuu

uuu

VECH和对角VECH

?在VECH下,条件方差和协方差

()()()Ξ

′

ΞHVECHBVECHACHVECH

()

?展开矩阵表达式下：

111???

++=

tttt

ttt

HN,0~

1?

Ξψ

22

++++++hbhbhbuuauauach

1123312232111312133

2

232

2

1313112

1122312222111212123

2

222

2

1212122

11213122121111121132121111111

???

???

???

++++++=

++++++=

=

tttttttt

tttttttt

tttttttt

hbhbhbuuauauach

hbhbhbuuauauach

?VECH模型很难估计，对角VECH是假设A和B是

对角矩阵对角VECH模型可以识别比较简单2对角矩阵。对角模型可以识别比较简单,

变量情况下，可以表达成：

2

1112

2

111011??

++

++=

ttt

hh

huh

βββ

ααα

112212111012

1222121022

???

??

++=

=

tttt

ttt

huuh

u

γγγ

BEKK及对M-GARCH的估计

?VECH和对角VECH不能保障得到正定矩阵。

种替代方法是模型?一种替代方法是BEKK模型(Engle&Kroner,1995).

?矩阵表达式下，BEKK模型是：

BBAHAWWH

tttt111???

Ξ

′

Ξ

′

+

′

+

′

=

?极大似然函数:

()()

∑

?

ΞΞ+??=

T

HH

TN

1''

log

1

2logπθA

N是变量个数(假设2个),θ未知参数向量,T是观测值

个数

=t

tttt

1

22

个数.

条件相关系数













例题

?Brooks,Henry,Persand,2002,Optimal

hedgingandthevalueofnews,Journal

ofBusiness,75(2),333-352.

?最优hedgeratio=-(现货与期货协方差/

期货的方差）相关系数×（现货标期货的方差）＝－相关系数×（

准差/期货标准差）

?Brooksetal使用1985－1999年的日数据

，研究FTSE100股票指数与其期货的套，研究

期保值比率。



Eviews6.0操作

?选中变量，右击，选中system，点OK。

?点击estimate,选中arch即可。