第29届中国数学奥林匹克
江苏南京
第二天
(2013年12月22日8：00--12：30)
αα
1l
4、对整数n>1，设np=?p是n的标准分解式.定义
1l
ω()nl=,?()n=α+?+α
1l
是否对任意给定的正整数k及正实数αβ,，总存在整数n>1，使得
ω()nk+?+()nk
>α，<β?
ω()n?()n
证明你的结论.
5、设集合，函数同时满足
X={1,2,?,100}fX:→X
(1)对任意xX∈，都有fx()≠x
(2)对X的任意一个40元子集A，都有A?fA()≠?
求最小的正整数k，使得对任意满足上述条件的函数f，都存在X的k元子集B，使
得B?fB()=X
注：对X的子集T，定义f()T={x|存在t∈T,使得x=f()T}
6、对于非空数集，定义
ST,
S+=T{|s+ts∈St,∈T}，2S={2ss,∈S}，
设n为正整数，A,B均为{1,2,?,n}的非空子集.证明：存在AB+的子集D，使得
AB?
，且，
D+?D2(AB+)D≥
2n
这里X表示有限集X的元素个数. |
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