2009年福建省高中数学竞赛
暨2009年全国高中联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2009年9月13日上午9：00－11：30）
一、填空题：每小题6分
1．已知向量。若分别是锐角中角的对边，且满足，则的面积。
2．设，变量满足，且的最小值为，则。
3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于。
4．一个直径ＡＢ＝２的半圆，过Ａ作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点Ｓ，使ＡＳ＝ＡＢ，Ｃ为半圆上一个动点，Ｍ、Ｎ分别为Ａ在ＳＢ、ＳＣ上的射影。当三棱锥Ｓ－ＡＭＮ的体积最大时，ＳＣ与平面ＡＢＣ所成角的正弦值是。
5．若定义在Ｒ上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则方程在区间（0，10）内的所有实根之和为。
6．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点Ａ、Ｂ，直线与线段ＡＢ、ＯＡ分别交于点Ｃ、Ｄ，且平分三角形ＡＯＢ的面积，则的最小值为。
7．若对于任意的实数，函数的值都是非负实数，则实数的最大值为。
8．集合｛1，2，3，…，2009｝的元素和为奇数的非空子集的个数为。
9．方程的实数解是。（其中表示不超过的最大整数）
10．满足且的有序整数组的个数为。
二、解答题：每小题20分
11．已知，方程有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍。等差数列与的前项和分别为与，且。
（1）设，求的最大值。
（2）若，数列的公差为3，探究在数列与中是否存在相等的项。若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式，若没有，请说明理由。
12．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，点的坐标为。
（1）设过点斜率为1的直线交抛物线于两点，若关于原点的对称点为。求面积的最大值。
（2）设过点斜率为的直线交抛物线于两点，在轴上是否存在一点，使得与轴所成的锐角相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
13．如图，与线段相切于点，与以为直径的半圆相切于点。于点，与以为直径的半圆交于点，且与相切于点，连接。
求证：（1）三点共线，（2），（3）。
14．设。令。
（1）能否等于2010？证明你的结论，（2）能取到多少个不同的整数值？
15．已知正实数满足。求证：
（1），（2）。
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