浙教版七年级（上）数学
复
习
纲
要
2011年12月20日
目录
最成功的学习方法………………………………02
第一章《从自然数到有理数》…………………03
第二章《有理数的运算》………………………08
第三章《实数》…………………………………16
第四章《代数式》………………………………22
第五章《一元一次方程》………………………27
第六章《数据与图表》…………………………34
第七章《图形的初步知识》……………………40
考试“六忌”…………………………………47
最成功的学习方法
一、三步学习法：
简单学习（掌握知识点）→系统学习（建立体系）→理清思路（解题）
?二、掌握知识点，抓住关键词，形成知识网络，画体系结构图。???1、我们的世界是按照“中心——四周”模式运转的；???2、我们的大脑也是按照这个模式思考的；???3、画思维导图的原则：逐级发散、相互独立、全面包含。???4、对知识点做总结，画知识体系图，理清思路，弄清楚知识的
脉络结构。三、“三个本”，即课本、笔记本和错题本四、所谓难题
难题无非难在两个方面：第一考了很多知识点；第二知识点之间跨度大。只要我们脑子里面有一张清晰的知识结构图和解题思路图，难题就不再是难题了。
五、解题的正确步骤1、从题目的条件和问题当中找出关键词，列举出来；2、从关键词展开联想，逐级扩散，尽可能把相关的知识点都想出来（横向思维）；3、逐一思考，逐一排除，最后找到解题的思维路径（纵向思维）。
?六、“不是抓紧每一分钟学习，而是抓紧学习的每一分钟。”
?七、成功=正确的方法＋坚持不懈＋少说空话。
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二、考题解析
本章是中考的重要考点之一，单独考查较少，主要和其它知识综合考查，主要题型以填空、选择为主.
考点1：有理数的分类
引入负数后，数扩充到有理数集合，有理数可用以下两种方法来分类：
1.按数的整与不整这个性质为标准分类：2.按数的方向性质为标准进行分类：
两种分类有一共同点：最后将有理数细分为五类：即正整数、正分数、0、负整数、负分数.
习惯上，把正整数、0，统称为非负整数（也叫自然数）；把负整数、0统称为非正整数.正有理数、0统称为非负有理数，负有理数、0统称为非正有理数.
例1.（2004年荆州中考题）在5，－2，－0.3，，0，－，0.5，7，－1，102，－17中，属于正数集合的有，属于正整数集合的有，属于负数集合的有，属于整数集合的有.
解析：首先明确正数、正整数、负数、整数、集合这5个概念，然后根据概念分析、求解.
正数集合的有：5，，0.5，7，102；属于正整数集合的有：5，7，102；
属于负数集合的有：－2，－0.3，－，－1，－17；
属于整数集合的有：5，－2，0，7，102，－17.
练习：
1.（2004，十堰实验区）下列说法正确的是（）.
（A）有理数是正数（B）有理数包括正有理数和负有理数
（C）零不是有理数（D）有理数包括正有理数、零和负有理数
2.（2003，宁波）在中，分数有（）.
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
考点2：数轴的画法和应用
1.数轴的意义：一般地，在数学中，人们用画图的方式把数“直观化”.通常用一条直线上的点表示数，这条直线就是数轴.即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
2.数轴的画法
①画一条直线（一般是水平的直线）；
②在这条直线上任取一点作为原点，并用它来表示数字0；
③规定正方向（一般规定向右为正），并用箭头表示出来；
④选取适当的长度为长度单位，并从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1，－2，－3，…
3.数轴上的点与有理数的关系
一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长度；表示－的点在原点的左边，与原点的距离也是个单位长度.
例2.（2004，南通）在所给数轴上画出表示数－3，－1，的点.并把这组数从小到大用“＜”连接起来.
解析：先求出=2后再表示，－3<－1< ，图略.
练习：（2005，荆门）在数轴上，与表示－1的点距离为3的点所表示的数是________
考点3：相反数的意义和求法
1.相反数的概念
①几何意义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数.
②代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0.
2.相反数的表示方法，以及多重符号的化简
数的相反数是－，这里的是任意有理数，可以是正数，负数或0.
多重符号的化简方法：一个正数前面有偶数个“－”号，可以把“－”号一起去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简符号后只剩一个“－”号.
例3.（2005年北京海淀中考题）一个数的相反数是3，则这个数是（）.
（A）－（B）（C）－3（D）3
解析：（C）.
练习：1.（2005年江苏无锡）－5的相反数是________.
2.（2005年江苏苏州）－的相反数是________.
3.（2005年山东济南）若与2互为相反数，则等于（）.
（A）0（B）－2（C）2（D）4
考点4：绝对值
（1）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做该数的绝对值.在数轴上表示数的点与原点的距离叫的绝对值，记作.因此，当为正数时，是正数，当为负数时，为的相反数，当是0时，是0，故有：≥0（为任意有理数）.又有：
.
（2）绝对值的作用
①比较两个负数的大小
由绝对值的几何意义可知：一个数离原点越远，它的绝对值就越大，而负数越小离原点越远，由此可得结论，两个负数比较大小，绝对值大的反而小.因此，两个负数比较大小，先求两数的绝对值，再比较大小.
②绝对值的化简
由上可知：一个数的绝对值绝不可能是负数，即任何数的绝对值都是非负数.因此化简绝对值，首先要确定绝对值符号内的数是正数、负数还是零，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值还是零.
例4.（2005，无锡）比较的大小，结果正确的是（）.
（A）（B）（C）（D）
解析：首先确定最大.因为，，所以，根据“两个负数，绝对值大的反而小”确定，故可得，应选（A）
练习：（2005，绵阳）绝对值为4的有理数是（）.
（A）±4 （B）4 （C）－4 （D）2
考点5.有理数的大小比较
到目前为止,我们学习了哪些用来比较有理数大小的方法呢?
(1)可利用小学阶段所学知识来比较正数之间的大小关系;
(2)可利用数轴来比较有理数的大小.首先在数轴上将要比较大小的各个有理数表示出来,然后利用“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”进行比较.
(3)可利用“正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数”来比较正数与零、负数与零、正数与负数之间的大小关系；
(4)可利用绝对值来比较两个负数之间的大小关系.此时,基本步骤有：①求出各负数的绝对值;②比较绝对值的大小;③根据“绝对值大的负数反而小”来加以确定.
当然,在各数比较大小前,应先对各数进行化简,选用哪种方法来进行比较也是解题的关键之一.
例如：试比较的大小.
分析由于0<<2是容易得出的,因此解本题的关键在于比较与之间的大小.
解因为＜,所以.
又因为0<<2,所以这五个数的大小关系为:
三、错因细探杜绝再犯
初学有理数，有些同学由于对数轴、相反数和绝对值等几个重要概念的认识不够深刻，常会出现一些错误。现将这些错误列举出来加以剖析，望同学们不再犯同样的错误。
1、相反数与倒数混淆
例1求－3的相反数。错解：－3的相反数是－。
剖析：误将相反数的概念与倒数混淆了，求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号即可。
正解：－3的相反数是－（－3），即3。
2、相反数的概念理解不透
例2符号相反的两个数叫做互为相反数，这种说法正确吗？
错解：正确。
剖析：只有符号不同的两个数互为相反数，这里有两层含义：①符号相反；②绝对值相等。
正解：不正确，如－1和3符号相反，但它们不是互为相反数。
3、绝对值的意义理解不透
例3如果一个有理数的绝对值是它的相反数，那么这个数一定是（）
A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数
错解：A
剖析：根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，也是它的相反数，也就是说负数和零的绝对值都等于它的相反数。
正解：B
4、忽视数轴的三要素
例4判断下列数轴画得是否正确，如果不正确，请指出错在哪里？
（1）
（2）
（3）
错解：（1）√；（2）√；（3）√。
剖析：错解的原因在于数轴的“三要素”未能掌握。画数轴时，原点、正方向、单位长度三要素，一个也不能忽视。
正解：都不正确。（1）缺少原点；（2）单位长度不一致；（3）有两处错误：①缺少正方向，②负数的排序错误，从原点向左依次应是－1，－2，－3，…。
5、考虑不够全面
例5（1）一个数的绝对值是2，这个数是；
（2）若＝，则与的关系是。
错解：（1）2；（2）相等。
剖析：（1）根据绝对值的几何意义可知，绝对值等于2的数是指到原点的距离为2的数，因此这样的数有两个，分别位于原点的两侧；两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等或互为相反数。
正解：（1）2和－2；（2）相等或互为相反数。
6、误认为两个负数绝对值大的数就大
例6比较－3与－4的大小。
错解：－3＜－4。
剖析：两个负数相比较，应先求绝对值，比较绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”确定两个负数的大小。
正解：因为︱－3︱＝3，︱－4︱＝4，而3＜4，所以－3＞－4。
第二章《有理数的运算》
吴仁松
一、本章知识结构框图如下：
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二、考题解析
“有理数的运算”是初中数学知识领域中极为重要的基础知识之一，为使同学们能完整地了解和掌握有理数运算的相关知识，现将本章中的有关考点分类解析如下。
考点1:考查正、负数的意义
例1．若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（）．A．－10秒B．－5秒C．＋5秒D．＋10秒
的结果是（）。
A、1B、-1C、-2D、2
解析：本题是绝对值不相等的异号两数相加，根据有理数加法法则可知和应该取“+”号，所以，故本题应选A。
评注：本题主要是对有理数加法意义的考查，当然，如果采用加法交换律，本题也可以利用减法来解决：。
考点3:考查基本概念
例3．（2008北京）的绝对值等于（）A. B． C． D．
例4．（2008贵州遵义）－2的倒数是（）
A．B．C．2D．－2
例5．（2008山东威海）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是（）
分析：三例分别考查了绝对值、倒数、相反数这些最基本的知识点，难度较小，属于同学们所说的送分题，三题的答案分别是A、B、B.
评注：有关有理数的概念，主要考查相反数、绝对值、倒数、数轴等知识点，对于这些概念同学们一定要透彻理解，切实掌握.
考点4:考查有理数的大小比较
例6．（2008海南）在0，-2，1，这四个数中，最小的数是（）
A.0B.-2C.1D.
分析：此题主要考查有理数的大小比较.在这四个数中，有两个正数，一个0，一个负数，由正数大于0，因此，可排除C、D；又0大于负数，可排除A；故应选B．
评注：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（2）正数大于零；负数小于零；正数大于一切的负数；两个负数绝对值大的反而小.
考点5：有理数的乘法运算
例7．（金华）计算所得结果正确的是（）A、5B、6 C、-5D、-6
解析：本题是异号两数相乘，根据有理数乘法法则可知积应该取“-”号，所以，本题应选D。
评注：本例主要是对有理数乘法意义的考查。与前面有理数的加减运算一样，解决有理数的运算问题，合理掌握相关的运算法则和运算律是关键。
考点6：科学记数法、近似数的表示
例8．（衢江区）2006年，衢江区深入实施“811”环境污染整治行动，沈家经济开发区的49家化工企业中已关停33家，每年排放的污水减少了167900吨.将167900吨用科学记数法（保留三个有效数字）表示的结果为吨。
解析：本题涉及两个知识点：⑴科学记数法（任何一个有理数M都可以写成（）的形式，其中为M的整数位数减1）；⑵有效数字（将一个数四舍五入后从左边第一个不为零的数字起到末位数字为止的所有数字叫做这个数的有效数字）。根据以上两个知识点可知167900这个数用科学计数法应表示为。
评注：对科学记数法及近似数表示方法的考查是历年中考的必考内容，学习时应重点加以关注。
考点7:考查非负数的性质
例9．（2008安徽芜湖）若，则的值为（）
A． B． C．0 D．4
分析：根据绝对值及平方的非负特征，得，，又.故只能有，，所以m=3,n=-2.进而代人计算=3+2×（-2）=3-4=-1.所以选B.
考点8:考查对开放性问题的理解
例10.(2008浙江杭州)写出一个比-1大的负有理数是_____.
分析：此题是一道开放性试题，给同学们的思维留下了很大空间，有利于培养独立自主学习的能力，因而这类题很受命题者的青睐.这类题的答案一般不唯一，只要符合条件即可.如：－0.2，-0.5，等等.
考点9：有理数在现实生活中的应用
例11．（湖州）甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值为（）A、3B、5C、3或5D、3≤d≤5
解析：本题为现实生活中的距离计算问题，可利用有理数的加减运算来解决，方法如下：将甲地、乙地和学校这三个位置放在同一直线上，则有：⑴甲、乙在学校同侧，此时甲乙距离最近；⑵甲、乙在学校异侧，此时甲乙距离最远。所以d最近为km，最远为km，故本题应选D。
例12．（绍兴）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：⑴将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；⑵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；⑶再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）
A、20cm3以上，30cm3以下B、30cm3以上，40cm3以下
C、40cm3以上，50cm3以下D、50cm3以上，60cm3以下
解析：本题类似于求平均值的计算，可转化为有理数的除法运算来解决：⑴4个小球总体积为200cm3，求每个小球的体积；⑵5个小球总体积为200cm3，求每个小球的体积。所以小球的体积应介于与cm3之间，故本题应选C。
评注：解有理数应用类试题，对题目进行合理分析是关键，一旦摸清了问题的本质之所在，那么解决起来就简单多了。
考点10：与有理数的运算有关的数字、图形规律探究
例13．（萧山）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是_________。
解析：经观察可知，这一列数字以“1、2、3、4、5、4、3、2”这样8个数为一组成周期性重复变化，所以可考虑用2007去除以8，利用有理数的带余除法来进行解决。由，可知，第2007个数正好是经过125个周期重复变化后的第7个数，所以第2007名学生所报的数应该是3。
例14．（衢江区）如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，用2007根火柴可以搭成几个这样的三角形？
A、669B、1002
C、1003D、1004
解析：经观察可知，搭1个三角形共需火柴根，搭2个三角形共需火柴根，搭3个三角形共需火柴根……，照此规律下去，搭个三角形共需火柴根，所以用2007根火柴可以搭成的三角形总数为个，故本题应选C。
评注：解决数字、图形类规律探究问题通常需通过，认真分析各个特，确定其规律A、B两点所表示的两数的（）
A.和为正数B.和为负数
C.积为正数 D.积为负数
分析：考查数形结合思想，先判断出B点表示的数是3，再分别计算四个选项，选D.
例16．（2008湖北十堰）已知，|x|=5，y=3，则．
分析：考查分类讨论思想，（1）当x=5，y=3时，；（2）当x=-5，y=3时，，所以，应该填2或-8.
三、错因细探杜绝再犯
在教有理数时，发现学生由于对概念、法则理解不清，在作业过程中经常出现意想不到的错误。现列举数例，供同学们借鉴。
1、误认为只有带“+”号的数才是正数
例1：下列各数哪些是正数？
+2004，-3.2，，10.58，-9，+1。
错解：正数有：+2004，+1。
分析：没有明确正数的含义及其表示方法。正号“+”是可以省略不写的。
正解：正数有：+2004，，10.58，+1。
2、误认为凡不带“—”号的数都是正数
例2：下列各数哪些是正数？
-45，6.2，0，+，-2，14。
错解：正数有：6.2，0，+，14。
分析：误认为一个数不是正数就是负数，凡是不带负号“—”的数都是正数。注意：0既不是正数，也不是负数。
正解：正数有：6.2，+，14。
3、忽略“0”是整数、误认为小数不是分数
例3：把下列各数填在相应的集合内：
1，-，8.9，-7，，-3.2，+1008，0，-0.05，28，-9。
整数集合：{…}
负分数集合：{…}
错解：整数集合：{1，-7，+1008，28，-9，…}
负分数集合：{-，…}
分析：整数集合中漏掉了“0”。负分数集合中漏掉了“-3.2，-0.05，”。
正解：整数集合：{1，-7，+1008，0，28，-9，…}
负分数集合：{-，-3.2，-0.05，…}。
4、用等号连接相反数、相反数与倒数相混淆
例4：求12的相反数。
错解：12=-12
分析：没有理解相反数的意义。正解：12的相反数是-12。
例5：求5的相反数。
错解：5的相反数是。
分析：错误的原因是误将相反数的概念与倒数相混淆了。
正解：5的相反数是-5。
5、误认为|a|=a、忽略对字母a的分情况讨论
例6：如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（）
A：负数B：负数或零C：正数或零D：正数
错解：D
分析：根据绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，也是它本身，也就是说正数和零的绝对值都等于它本身。所以错解的原因是漏掉一个零。
正解：C。
例7：已知a=-5,|a|=|b|，则b的值等于（）
A：5B：-5C：0D：±5
错解：B
分析：上述错解的原因是错误地认为由|a|=|b|推出的结论是a=b。事实上a=-5,|a|=|-5|=5。那么|a|=|b|，也即|b|=5。因为|5|=5，|-5|=5。所以b=±5。
正解：D。
例8：绝对值不大于3的整数有哪些？
错解：绝对值不大于3的整数有1，2，3。
分析：漏掉了负数和零。绝对值不大于3即绝对值小于或等于3。可借助数轴分析。根据数轴（图1）可知绝对值不大于3的整数有0，±1，±2，±3。
6、运算符号和性质符号混淆
例9：计算：（-0.5）-（）+2.75-（+）。
错解：（-0.5）-（）+2.75-（+）
=-0.5+2.75-
=（-0.5-）+（+2.75）
=-8+（-0.5）
=-8.5。
分析：上述错解的原因是随意省略运算符号。事实上，只有当把减法统一成加法以后，加法中的加号“+”才可以省略。
正解：（-0.5）-（）+2.75-（+）
=（-0.5）+（）+2.75+（-）
=--
=（3+2-7）+（--）
=-2。
7、乘法运算中，确定符号与加法的符号规律相混淆
例10：计算：
错解1：=。
错解2：=6。
分析：误解1的误区是混淆了有理数的乘法法则和加法法则，确定积的符号时，应根据“两数相乘，同号得正”。误解2的误区是把带分数中的整数部分与真分数部分看成是相乘的关系。通常，因数中有带分数时，先化成假分数再相乘。
正解：=。
8、利用分配律时，漏乘或弄错符号
例11：计算：-24。
错解1：-24=-24
=-14-20-24
=-58。
错解2：-24=-24
=-14-（-20）=-14+20
=6。
分析：错解1的误区是（-24）乘以括号内每一个数时，混淆了运算符号和性质符号。错解2的误区是漏乘了-1。
正解：-24=-24
=-14-（-20）-（-24）=-14+20+24
=30。
9、忽略或不清楚运算顺序
例12：计算：。
错解：=
==
=。
分析：按照运算顺序，同级运算应从左向右进行计算，而上述解答过程先算了后面的乘法，运算顺序出现错误。
正解：===
=。
10、幂的运算出现符号错误
例13：计算–14-(-2)3×0.125×(-2)2×[1-(-1)3].
错解:–14-(-2)3×0.125×(-2)2×[1-(-1)3]
=1-8×0.125×4×0=1.
剖析:错解的原因是错在-14=1,(-2)3=8,(-1)3=1.
正解:–14-(-2)3×0.125×(-2)2×[1-(-1)3]
=-1-(-8)×0.125×4×(1+1)=-1+8=7.
11、分离整数部分与分数部分出错
例14：计算.
错解:
=(-72-)×16=-72×16-×16=-1152-1=-1153.
剖析:错在将拆成–72-.实际上=-72+.
正解:=(-72+)×16=-1152+1=-1151.
第三章《实数》
吴仁松
一、本章知识结构框图如下：
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二、考题解析
在中考试题中，实数部分的考点有以下几个方面：
无理数无限不循环的小数叫做无理数．
例1（浙江省衢州市）下列各数中，是无理数的是（）
（A）（B）－2（C）π（D）1.732
分析：判断一个实数是有理数还是无理数，主要根据有理数和无理数的意义．实数包括有理数和无理数，把有限小数和无限循环小数称为有理数，所以（A）、（B）、（D）是有理数；π是无限不循环的小数，所以是无理数．
例2（南京）写出一个无理数，使它与的和是有理数：．
分析：解决本题的关键是无理数的定义，以及题目的要求．根据互为相反数的两个数的和为零．所以这个无理数是-．
例3（北京英才苑）写出一个你熟悉的且满足条件1
分析：解决本题的关键是根据无理数的定义，可以写无限不循环的小数，也可以写个根号的形式的数如：π,等.
练一练:1.（芜湖）下列四个实数中是无理数的是（）
(A)2.5(B)(C)π(D)1.414
2.（常州）在下列实数中，无理数是（）（A）（B）0（C）（D）3.14
实数与数轴
例4(长沙)设a＝，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是：（）
(A)(B)
（C）(D)
分析:无理数可以用数轴上的点表示,可以将近似取有限小数即可解决.
因为≈3.873,所以选(B).
例5（山东烟台）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（）
①b＋c＞0②a＋b＞a＋c③bc＞ac④ab＞ac
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
分析:解决本题可取特殊值代入验证.观察数轴取a=2.4,b=1.8,c=-1.6,通过计算可知b+c>0,a+b>a+c,ab>ac,所以正确的个数有3个,故选(C).
程序式试题
例6（长沙）如图是一个数值转换机，若输入的a值为，则输出的结果应为（）（A）2 （B）－2（C）1 （D）－1
分析：解决本题的关键是看懂程序，因为a的平方是a2，所以a是a2的平方根，所以，所以结果是（2-4）×0.5=-1.，6．
例8若一个正数的平方根为与，则______．
析解：由“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”，得，解这个方程，得．
例9如果的平方根是，则________．
析解：本题要注意认真审题．的平方根是，说明=，则．
考点5：实数的运算
例11计算．
析解：本题是一道计算题，应根据实数的混合运算的顺序进行．在实数的运算中，往往涉及乘方、乘除法、加减法等，在复习中要重视对这些知识的理解与掌握，同时，还要熟练掌握实数的运算法则和运算顺序．答案：．
考点6：非负数的性质与应用
知识要点：非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有：①绝对值；②实数的平方；③算术平方根．非负数有如下性质：如果是实数，且满足，则有．
例12若，则________．
析解：根据题意，得．即．故．
例13若，则______，______．
析解：根据题意，得，，所以．
例14已知是实数，，则值是（）
A．4B．－4C．D．
析解：由题意，得，则有，即．
故．故选B．综合题
(湖南岳阳)计算：．
解：
=-1+（-8）×-3×+1
=-1-1-1+1=-2．
的平方根．
误：因为，故的平方根是．
析：一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根．
正：．
2、增解的陷阱
例2计算．
误：因为，所以．
析：混淆了平方根与算术平方根的概念，表示的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解．
正：=12．
3、隐含条件的陷阱
例3的算术平方根是______．
误：．
析：错在忽视了，即．
正：．
4、相近概念混淆的陷阱
例4的平方根是______．
误：的平方根是±4．
析：这里错误地将的平方根当成的平方根，其实这里是求的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中．
正：的平方根是．
5、错误理解题意的陷阱
例5的立方根是______．
误：的立方根是．
析：是的立方根，而不是的立方根，错在没有很好地理解题意．
正：．
6、平方根与立方根混淆的陷阱
例6判断：已知一个数的立方根是，则这个数的平方根是（）．
误：对．
析：错在没有理解平方根与立方根的区别，负数有立方根，却没有平方根．立方根若是负数，则也是负数．题中没有说明的正负性，则两种情况都有可能．
正：错．
7、求立方根用平方根解的陷阱
例7求27的立方根．
误：27的立方根为±3．
析：错解的原因是将平方根与立方根混淆了，一个正数的立方根仍为正数．
正：．
8、无限循环小数与无限不循环小数混淆的陷阱
例8有限小数都是有理数，无限小数都是无理数．
误：正确．
析：“有限小数是有理数”是对的，而“无限小数是无理数”的说法不正确，只有无限不循环小数才是无理数．
正：这种说法是错误的．
9、实数运算错例
例9计算：（1）；（2）．
【误】（1）；（2）．
【析】上述解法错在把被开方数是和（或差）的形式模仿进行运算了．实际上（1）；（2）．
【正】（1）；（2）．
例10已知：如图，三点分别对应着实数且和关于点对称，求的值．
【误】由和关于点对称得，．
【析】和关于点对称，若是原点，上面的答案是正确的，但这里不是原点，我们同学们可以结合图形发现，点在点左边，则点表示的数要比点表示的数小．
【正】因为和关于点对称，三点分别对应着实数，则，点在点左边，则点表示的数要比点表示的数小．即．
第四章《代数式》
吴仁松
一、本章知识结构框图如下：
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二、考题解析
整式的加减一章中，常见的考点有以下几种情况：
考点1：整式的有关概念
整式的加减中有关的概念：整式、单项式、多项式、单项式的系数和次数、同类项.
例1如果3xmy2与―x3yn是同类项，则m―n=__.
分析:本题主要考查同类项的的定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.根据定义可知m=3,n=2,所以m-n=3-2=1.
例2下列整式是一次式的是（）.
(A)8(B)4s+3t(C)ah(D)5x3
分析:本题主要考查单项式的次数和多项式的次数.单项式的次数是单项式中所有字母指数的和,单独一个常数的次数是0;多项式的次数是多项式里次数最高项的次数.因为8的次数是0,4s+3t的最高项的次数是1;ah的次数是1+1=2;5x3的次数是3,所以选(B).
例3写出一个系数是2011,且只含有x、y两个字母是三次单项式_____.
分析:本题主要考查单项式的意义,以及对单项式的系数、次数的理解.本题是一道开放性试题,答案可以是2011x2y或2011xy2.
考点2：整式的基本运算
整式运算的实质是去括号,合并同类项.
例4化简x-y-(x+y)的最后结果是()
A.0B.2xC.-2yD.2x-2y
分析:本题是一道比较简单的中考试题,主要考查去括号,合并同类项.注意本题去括号时,括号内的各项要变号.
解:x-y-(x+y)=x-y-x-y=-2y.选C.
考点3：整式的化简与求值
一般是先化简,后求值.
例5先化简,再计算:(3a2-ab+7)-(5ab-4a2+7),其中,a=2,b=
分析:本题主要考查整式的加减运算.整式加减运算的基本步骤是先去括号,后合并同类项.
解:(3a2-ab+7)-(5ab-4a2+7)=3a2-ab+7-5ab+4a2-7=7a2-6ab
当a=2,b=原式=7a2-6ab=28-4=24.
例6计算5x2-(3y2+5x2)+(4y2+7xy),其中x=,y=-1.
解:5x2-(3y2+5x2)+(4y2+7xy)
=5x2-3y2-5x2+4y2+7xy
=y2+7xy.
当x=,y=-1时.原式=(-1)2+7×()×(-1)=.
考点4：探索与创新题
从简单的问题中总结出一般的规律,然后根据规律再解决特殊的问题.
例7观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，……，按此规律写出第13个单项式是______.
分析:从第2个单项式开始,观察每个单项式的系数,可知第n个为n2-1,x的次数为n,(n为正整数),所以第13个单项式为(132-1)x13即168x13.
解：168x13
考点5：数形结合题
根据图形中的数据,结合图形的特征,利用图形间的面积等关系解决问题.
例8如图，小红房间的窗户由六个小正方形组成，装饰物是两个四分之一圆，用只含a（或只含b）的代数式表示窗户中能射进阳光部分的面积是.
分析：本题是一道数形结合题，根据图形可知，能射进阳光部分的面积等于大长方形的面积减去一个半圆的面积，即ab-=ab-，然后由进行转化。
三、错因细探杜绝再犯
同学们刚接触整式的概念、整式的加减运算不习惯，常出现这样或哪样的错误，现剖析如下，以期对同学们有所帮助。
1、对概念理解不深出错
例1单项式-x2y5，的系数分别是、。
错解：，
错解剖析：单项式系数是指单项式的数字因数，其中对同学们来说，最易混淆的是“π”也是一个数；另一易错点是往往忽略“-”号。
正解：-，
例2写出下列多项式的次数：6x2y3-3x4，24x+4y+7，-8uv2+u+v
错解：它们的次数依次是：4次，5次，2次
错解剖析：多项式的次数是指多项式里次数最高的项的次数，这样在判断一个多项式的次数时，先要判断这个多项式是由哪几个单项式组成的，再逐个去判断每一个单项式的次数，在6x2y3-3x4中，6x2y3的次数为5，比-3x4次数高；在24x+4y+7中，24是x的系数不能将4与1合为24x的次数；在-8uv2+u+v中，-8uv2的次数为3次。
正解：它们的次数依次是：5次，1次，3次。
2、合并同类项出错
（1）找错同类项
例计算：错解
＝
＝
剖析本题的错误是而造成的，”与“、”不是同类项，不能进行合并.
正解
＝
（2）忽视项的符号
例计算：-3x+8x-5x-6x
错解-3x+8x-5x-6x
=（-3x+5x）+（8x+6x）
=2x+14x
剖析本题的错误是忽视了第三、四项的符号而造成的，特别注意，项的符号为负时，一定不要漏掉该项的符号.
正解-3x+8x-5x-6x
=（-3x-5x）+（8x-6x）
=-8x+2x
例计算：错解
＝
＝
剖析本题的错误是”项。在计算时，式子中没有同类项的项不可丢.
正解
＝
＝
（4）违背运算法则
例计算：（1）（2）
错解（1）原式=（2）原式=2．
剖析是合并同类项，只把它们的系数相加，字母与字母的指数不变；是同类项，把系数相减即可．
正解（1）（2）
例错解：6a2b+5a2b=11a4b2
错解剖析：合并同类项时，只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，错解将合并同类项的法则理解错误，误将a、b的指数分别相加。
正解：6a2b+5a2b=11a2b。
3、去括号出错
例4计算（3x2+4x-5）-（-2x2+3x-4）
错解：原式=3x2+4x-5+2x2+3x-4=5x2+7x-9错解剖析：错解在于去掉“-（-2x2+3x-4）”的括号时，括号前是“-”号，把括号和它
前面的“-”号去掉后，括号内的各项都改变符号，即-（-2x2+3x-4）=2x2-3x+4
正解：原式=3x2+4x-5+2x2-3x+4=5x2+x-1
例5计算：8x2-4（2x2+3x-1）
错解：原式=8x2-8x2+3x-1=3x-1
错解剖析：本题括号前是-4，在去括号时，应乘以括号内的每一项，错解只将-4与括号内的第一项乘了，未将-4与第二项和第三项相乘。
正解：原式=8x2-8x2-12x+4=-12x+4。
4、添括号出错
例6计算5x2+10xy-5y2+5x2-10xy-y2
错解：原式=（5x2+5x2）+（5y2-y2）+（10xy+10xy）=10x2+4y2+20xy
错解剖析：错解忽视了原式中第三项、第五项的符号，注意移动每一项时要连同它前面的符号一起移动。
正解：原式=（5x2+5x2）+（-5y2-y2）+（10xy-10xy）=10x2-6y2。
第五章《一元一次方程》
吴仁松
一、本章知识结构框图如下：
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二、要点知识归纳
（一）、概念
1.方程：含有未知数的等式做方程（equation）.
2.一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），未知数的指数都是1次，这样的方程叫做一元一次方程（linearequationwithoneunknown）.
（二）、规律
1.等式的变形规律
（1）等式两边都加（或减）同一个数，结果仍相等；
（2）等式两边都乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
2.移项法则
方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边.
3.解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1.不要漏乘不含分母的项；
2.分子是一个整体，加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1.不要漏乘括号里的项；
2.不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 1.移项要变号；
2.不要丢项 合并同类项 把方程化成的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解 不要分子、分母搞颠倒 4.列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审与设：弄清题意和题目中的数量关系；设：用字母表示题目中的一个未知数；
(2）析：通过画线段示意图或列表格等方法找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；
（3）列：根据这个相等关系列出重要的代数式，从而列出方程；
（4）解：解出方程的解
（5）验：检验解是否符合实际情况；
（6）答：写出答案.
注意：“设”与“答”两步必须写清单位名称.
三、考题解析
考点1.概念型问题
概念型问题是利用学过的基本概念来解决问题的一类题.
例1下列各等式中为一元一次方程的是（）.
（A）（B）（C）（D）
例2若方程ax3－2m=b是一元一次方程，那么m=______.
例3（江苏省扬州市中考题）若x=－2是方程2x＋k－1=0的根，则k=_______.
例4（陕西省中考题）如果2(x＋3)的值与3(1－x)的值互为相反数，那么x等于
（）.（A）－8（B）5（C）－9（D）9
练习已知关于的方程的解是，则的值是（）．
Ａ.2Ｂ．-2Ｃ．Ｄ．-．
考点2.解一元一次方程的技巧
例5解方程：.
例6解方程：.
例7解方程：.
练习1.解方程.2.解方程.
3.解方程.4.解方程
5.解方程.6.解方程.
7.解方程.8.解方程.
考点3.列一元一次方程解应用题
列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法.根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义.
例8足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分.请问:
(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?
(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?
例9（吉林省中考题）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，“”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.
例10张欣和李明相约到图书城去买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出李明上次买书籍的原价.
例11《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
练习1、依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2008年3月1日起，公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按右表分段累进计算．黄先生4月份缴纳个人所得税税金55元，那么黄先生该月的工薪是元．
全月应纳税所得税额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% …… …… 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；
信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；
请根据以上信息，求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；
4、一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为元.
四、错因细探杜绝再犯
一元一次方程是七年级数学中的重点、难点之一，七年级学生如果概念、法则模糊，方法不当，基础不扎实，在解一元一次方程时常常会出现一些错误，现结合学生作业中的错误，归纳几种典型的错误，加以辨析，望引以为戒．
1、误用等号连接
例1．解方程
错解：．
诊断：解方程是同解变形而不是恒等变形，所以方程之间不能连等．
正解：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．
2、移项不变号
例2．解方程．
错解：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．
诊断：根据方程同解原理，把某项移到等号的另一边时，必须改变该项的符号，这是出错率最高的一步．
正解：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．
3、去括号不按法则
例3．解方程．
错解：，移项合并同类项，得，∴．
诊断：去括号时除应遵循乘法的分配律，还应遵循去括号法则，特别是括号前面是负号时要特别小心．
正解：去括号，得，移项合并同类项，得，
∴．
4、去分母时漏乘
例4．解方程．
错解：去分母，得，整理，得，∴．
诊断：去分母的根据是等式性质（2），方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数，有分母的项要乘，没有分母的项也要乘，决不能漏乘不含分母的项（特别是常数项）．
正解：去分母，得，化简整理，得，∴．
5、系数化1时错除
例5．解方程．
错解：．
诊断：系数化为1时方程两边都除以未知数的系数而不是常数，即方程的解是，记住应把未知数的系数作分母．
正解：．
6、忽视分数线的“括号”作用
例6．解方程
错解：去分母，得，整理，得，
∴．
诊断：这里忽视了分数线的括号作用，去分母时，应将分子用括号括上，再运用去括号法则，即可避免错误发生．
正解：去分母，得，去括号，得
，∴，∴．
7、混淆分数的性质与等式的性质
例7．解方程．
错解：原方程可化为，整理，得，∴
诊断：把分母中的小数化成整数是利用分数的基本性质，不是运用等式的性质．本题错解混淆了这两个基本性质．
正解：原方程可化为，整理，得，∴．
第六章《数据与图表》
吴仁松
一、本章知识结构框图如下：
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二、考题解析
本章主要内容是数据的收集与整理的基本步骤与方法，调查表、统计表的结构与设计，条形统计图、折线统计图和扇形统计图的概念、绘制方法和应用，学会选择合适的统计图直观有效地表示数据。本章是小学统计内容的延续和深化，也是初中学习统计与概率的起点。本章中关于统计的数学思想对进一步学习有重要的作用,主要考点有：
考点1、考查扇形统计图
例1（2005山东潍坊）一次数学测验以后，张老师根据某班成绩绘制了如图1所示的扇形统计图（80～89分的百分比，因故模糊不清），若80分以上（含80分）为优秀等级，则本次测验这个班的优秀率为。
析解：本题是扇形统计图的读图问题，解答的关键是要明确统计图中各项所占比例（百分比）的总和为1。由此可得80～89分所占比例为1－12%－36%－20%=32%。故这个班的优秀率为32%＋36%=68%（也可用1－12%－20%=68%求解，即本题中看不清处并不影响解题）。
练习（2006年·无锡市）据国家统计局5月23日分布的公告显示，2006年一季度GDP值为43390亿元，其中，第一、第二、第三产业所占比例如图所示，根据图中数据可知，今年一季度第一产业的GDP值约为亿元（精确到0.01）。
考点2、考查条形统计图
例2（2005长沙市）某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行了社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比，学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如图2。请根据该图回答下列问题：
（1）学生会共抽取了份调查报告；
（2）若等第A为优秀，则优秀率为。
析解：这类题在中考中最常见，仔细观察图形可知，等第为A、B、C、D、E的各有8人，20人，15人，5人，2人。故（1）学生会共抽取了8＋20＋15＋5＋2=50（份）。
（2）等第为A的有8人，故优秀率为×100%=16%。
练习（2006年·陕西）2003～2005年陕西省财政收入情况如图所示，根据图中的信息，解答下列问题：
（1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？
（2）陕西省2004～2005年财政收入的年增长率约为多少？（精确到1％）
（3）如果陕西省2005～2006年财政收入的年增长率与（2）中求得的年增长率基本相同。请估计陕西省2006年财政收入约为多少亿元？（精确到1亿元）
点评：条形统计图能清楚地表示出各个部分的具体数目。
考点3、考查折线统计图
例3（2005山东）某地区就1970年以来的小麦生产情况提供了两条看起来似乎矛盾的统计信息（如图3、图4），结合图中信息回答下列问题：
（1）由图3可知，该地区的小麦平均亩产量从1970年到2000年在逐年；由图4可知，该地区的耕地面积从1970年到2005年在逐年（填“增加”或“减少”）。
（2）根据所给信息，通过计算判断该地区的小麦总产量从1990年到2005年的变化趋势。
（3）结合（2）中得到的变化趋势，谈谈自己的感想（不超过30字）。
析解：
（1）观察图象可知第一空填“增加”；第二空填“减少”。
（2）总产量=平均亩产量×土地亩数。结合两图可得：
1990年总产量：400×60=24000（万kg）；
2000年总产量：450×40=18000（万kg）；
2005年总产量：450×30=13500（万kg）。
由计算可知总产量逐年减少。
（3）为了我们的生活，为了子孙后代，不要再为眼前利益破坏耕地了。（注意根据自己的理解，写出正确的意思即可。）
例4（2006年·重庆）观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民人均收入每年比上一年增长率的统计图，下列说法正确的是（）
A．2003年农村居民人均收入低于2002年
B．农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有2年
C．农村居民人均收入最多时2004年
D．农村居民人均收入每年比上一年的增长率有大有
小，但农村居民人均收入在持续增加
析解：此题主要考查对折线统计图统计图）
根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）
A．甲户比乙户大B.乙户比甲户大
C．甲、乙两户一样大D.无法确定哪一户大
点评：三种统计图的综合应用是中考试题的趋势。
考点5、考查双统计图问题
例6（08年，烟台）为了减轻学生的作业负担，烟台市教育局规定：初中学段学生每晚的作业总量不超过1.5小时．一个月后，九（1）班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）该班共有多少名学生？
（2）将①的条形图补充完整．
（3）计算出作业完成时间在0.5～1小时的部分对应的扇形圆心角．
（4）如果九年级共有500名学生，请估计九年级学生完成作业时间超过1.5小时的有多少人？解：（1）该班共有学生：（名）．
（2）如图．
（3）作业完成时间在小时的部分对应的圆心角为．
（4）九年级完成作业时间超过1.5小时的有：（人）．
点评：读懂两个统计图的含义是解答问题
的关键。
练习1、（2006年山东济宁）某农机公司为更好地服务于麦收工作，按图1给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买了150台同种农机，公司技术人员对购买的这批农机全部进行了检验，绘制了如图2的统计图.
请你
图1图2
根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）求该农机公司从丙厂购买农机的台数；
（2）求该农机公司购买的150台农机中优等品的台数；
（3）如果购买的这批产品质量能代表各厂的产品质量状况，那么，①从优等的角度考虑，哪个工厂的产品质量较好些？为什么？②甲厂2005年生产的360台产品中优等品有多少台？
2、（2006年温州）图6是A、B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品情况的统计图：
(1)从图中你能否看出哪所学校收到的水粉画作品的数量多？为什么?
(2)已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺木作品的总数分别是多少件？
A校B校
图6
3、（2006年长沙）某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图3，图4），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全折线图．
图3图4
第七章《图形的初步知识》
吴仁松
一、本章知识结构框图如下：
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二、考题解析
考点1.角的度量与角的计算
1、度、分、秒之间的互化
度、分、秒之间的互化主要是运用关系式1°＝，，由度化分、分化秒是运用乘以进率的办法，而由秒化分、分化度则是除以进率的办法来进行互化的。
例1（1）将24.29°化为度、分、秒；（2）将36°化为度
解（1）24.29°＝24°+0.29×＝24°++0.4×＝24°++=24°
(2)∵∴
∴36°=36.675°
2、角度的和差倍分的计算
例2计算下列各题
（1）;(2);
(3);(4)
解：（1）＝＝
(2)＝－＝
(3)＝＝＝
(4)＝＝
3、互余互补角的角度计算
解这类题一般要弄清题意，紧扣角度之间的关系，运用方程思想来求解
例3已知一个角的补角是这个角的余角的5倍，求这个角
解：设这个角为，根据题意得180－x=5(90-x)
解得：x=67.5∴这个角是67.5°
4、根据图形推理进行角度计算
例4如图1所示，∠AOB=90°，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC
MON的度数．
解：∵ON、OM分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠NOC=∠AOC∠MOC=∠BOC
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=∠BOC-∠AOC
=（∠AOB+∠AOC）-∠AOC
=∠AOB=×90°=45°
5、与钟面有关的角度计算
时针、分针转动一周都经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动=30°，每分钟时针转动＝0.5°，每分钟分针转动=6°。解这类问题的常用方法是求差法。
例53点22分时，时针与分针的夹角是多少度？
解：3点22分时，分针从0刻度到22分时所转动的角度为6°×22＝132°。时针从0刻度到3点22分时所转动的角度为30°×（3+）＝101°，其度数差为132°－101°＝31°∴时针与分针的夹角是31°
例612点后，时针与分针何时首次重合？
解：设x时y分时针与分针重合，则时针转了（）×30°，分针转了度，∵时针与分针重合其度数差为0°∴（）×30°－＝0∴，当＝1时，得∴时针与分针何时首次重合为1点分
考点2.垂线、垂线段及其性质
1、“垂线的特征”的应用
例1如图1是建筑工人用来检验所砌墙面的一种方法，试说明其中的道理.
析解：因为铅垂线和水平线是垂直的，如果铅垂线的尺面与墙面能够重合在一起，就说明墙面和地平面是垂直的.此实际问题的数学依据是“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一特征.
图1图2图3
2、“垂直的线段最短”的应用
例2一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图2，
（1）汽车在公路行驶时，会对两个学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图上标出来.
（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对M学校的影响逐渐减小，而对N学校影响逐渐增大？
析解：离学校越来越近，对学校的影响越大，离学校的距离越远，对学校的影响越小.
（1）如图3，作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，根据“垂直的线段最短”，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对学校N的影响最大.
（2）由A向C行驶，对两个学校影响逐渐增大，由D向B行驶时，对两个学校的影响逐渐减小，由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大.
例3如图4，一个人从A地到河边某处挑水，问这人沿着什么方向走路最近？画图说明为什么.
图4图5图6
析解：我们学习了垂直，知道“垂直的线段最短”.所以可过点A向河岸作垂线，交河岸于点D，如图5，则沿着AD方向走最近.
3、“点到直线的距离”的应用
例4在运动会的跳远比赛中，裁判员是如何测量跳远成绩的？这样做的依据是什么？
析解：如图6，自落在沙坑中的脚印O点向起跳线l作垂线，垂足为P，线段OP的长就是某同学的跳远的成绩.也就是垂线段OP的长.这样做的根据是“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离”.所以测量时，一定要使皮尺与起跳线垂直.
考点3.两点确定一条直线
第1题.（2007广西南宁课改，2分）在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有个交点，8条直线两两相交，最多
有个交点．
答案：6，28
第2题.(2007湖南长沙课改，3分)经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（）
A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条
答案：A
第3题.（2007云南课改，3分）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意个点作一条直线，则可作直线的条数为______________________．
答案：3
考点4相交线、对顶角
例1（2008乐山中考题）如图（1），直线相交于点O，OM⊥，若α＝44°，则β＝（）
A、56°
B、46°
C、45°
D、44°
解析：本题考察相交线与垂线的概念。由对顶角相等，可将β转化为其对顶角，OM⊥
所以α与β互余，所以β＝46°，选B.
例2（2008江苏淮安中考题）如图,直线AB、CD相交于点O．OE平分∠AOD,若∠BOC=80°,则∠AOE的度数是A．40°B．50°C．80°D．100°
剖析：错！这两条射线的端点不同，所以不是同一条射线.
例5如果线段AC和CB的长度相等，且点C是它们的公共端点，则点C是线段AB的中点.
剖析：错！当点C在线段AB上，且线段AC和CB的长度相等时，点C才是线段AB的中点.而当点C不在线段AB上时，尽管线段AB和CB的长度相等，点C也不是线段AB的中点，如图2所示.
例6已知线段AB=8cm,直线AB上有一点C，且BC=3cm,则AC的长为5cm.
剖析：错！应分两种情形讨论.
（1）如图3（1），当点C在线段AB上时，AC的长为5cm.
（2）如图3（2），当点C在线段AB的延长线上时，AC的长为11cm.
例7三条直线两两相交，共有3个交点.
剖析：错！“两两相交”可以是每两条直线相交，这时有3个交点（如图4（1）），也可以是3条直线交于同一点，这时只有1个交点（如图4（2））.
例8如图5，可用图中字母表示的射线共有6条.
剖析：错！以点A为端点向左延伸的射线不能用图中的字母表示，同样，以点C为端点的向右延伸的射线也不能用图中的字母表示，因此能用图中字母表示的射线只有AB（或AC）、BA、BC、CB(或CA)4条.
例9经过A、B、C三点中的任意两点画直线，一定可画出3条直线.
剖析：错！当A、B、C三点不在同一条直线上时，可画出3条直线，如图6（1）；当A、B、C三点在同一条直线上时，只能画出1条直线，如图6（2）.
例10三条直线可将一个平面分成6个部分.
剖析：错！应分类讨论.如图7：（1）三条直线互相平行，可将平面分成4个部分；（2）两条直线互相平行，与第三条直线相交，可将平面分成6个部分；（3）三条直线交于一点，可将平面分成6个部分；（4）三条直线，每两条直线相交，可将平面分成7个部分.
（二）初学角的相关概念及简单运算，不少同学容易犯这样那样的错误,现分类点击如下.
1、与角的表示有关的错误
例1如图1，以A点为顶点的角有几个？把它们表示出来.
图1
错解：以A点的角有3个，分别是∠BAD、∠CAD、∠A.
剖析：错解的主要原因是没有切实掌握角的表示方法.实际上，当一个顶点含有多个角时，不能用顶点的一个大写字母来表示角，而要用三个字母.
正解：以A为顶点的角有三个：分别是∠BAD、∠DAC、∠BAC.
2、角单位换算中的错误
例2（1）把26.2°转化为度、分、秒表示的形式；（2）把33°24′转化成度表示的形式.
错解：（1）26.2°=26°2′;(2)33°24′=33.24°.
剖析：错解是习惯性地把度、分、秒之间的进制当成10进制。角度是60进制,在进行转化时,整数部分保留,小数部分向下一级单位转化，而且要牢记1°=60′,1′=60″，1°=3600″或1″=()°,1″=()′,1′=()°这些基本常识.
正解：(1)26.2°=26°+0.2°=26°+0.2×60′=26°+12′=26°12′.
(2)33°24′=33°+24′=33°+24×()°=33°+0.4°=33.4°.
3、角的计算方面的错误
例3计算:(1)33°52′+21°50′；(2)108°8′-36°56′；(3)20°23′×2
错解:(1)33°52′+21°50′=55°2′；
(2)108°8′-36°56′=71°52′；
(3)20°23′×2=20.46°
剖析：度、分、秒有关角计算，应把度、分、秒单独计算.还要注意度、分、秒之间是60进制的.（1）、（2）错解在把度、分之间的换算当成100进制了.而（3）把分直接按十进制的计算了.
正解：(1)33°52′+21°50′=(33°+21°)+(52′+50′)=54°+102′=55°42′.
(2)108°8′-36°56′=(107°+68′)-(36°+56′)=(107°-36°)+(68′-56′)=71°12′.
(3)20°23′×2=20°×2+23′×2=40°+46′=40°46′
4、忽视对多种情况的讨论
例4已知∠AOB=20°，∠BOC=30°.求∠AOC的度数.
错解：∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+30°=50°.
剖析：错解忽视了可能存在的两种情况，造成了漏解.考虑问题时，要细致全面。
正解：有两种情况.
根据图2可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°；
根据图3可得∠AOC=∠B0C-∠AOB=10°.
图2图3
5、不理解方位角的概念
例5下列说法中，正确的是（）.
（A）东偏北30°（B）北偏东30°（C）南偏北120°（D）北偏南60°
错解：选（A）、（C）、（D）.
剖析：方位角是物体运动方向与正北（或正南）方向之间的夹角.更没有像南偏北与北偏南这样的说法，因此，（A）、（C）、（D）均不对，故应选（B）.
考试“六忌”
置身考场，争分夺秒，时不待我.最忌以下几点：
一、忌心慌
心慌则意乱，意乱则一事无成.因此，同学们置身考场应善于控制自己的情绪，始终做到沉着冷静.冷静能使你保持最佳心理状态，从而获得灵感，考出自己最真实的成绩.
二、忌自卑
自卑如潮湿的火柴，永远也燃不起成功的火焰.要牢牢的记住，自信是力量的源泉、胜利的保证.进入考场，应信心百倍的藐视“敌人”，相信自己的勤奋踏实，终能“棋高一招”，就能使思维更加活跃，奋力攻破一个个“堡垒”.
三、忌“轻敌”
轻敌必然导致失败.有些同学拿到试卷，粗略扫一眼，认为很简单，殊不知，你觉得简单，别人一定也觉得简单，你会做，别人难道就做不出？同学们一定会有这样的体验：往往自己觉得很难的题目，却考得不错，觉得很简单的题目，却考得一塌糊涂，原因何在？轻敌也.
四、忌马虎
马虎粗心是成功的大敌.拿到试卷后，首先要检查试卷的页数、题数，防止漏页或漏题，做到心中有数.做题时应认真审查，弄清题意，不要答非所问，张冠李戴，把本来可以得分的题做错了，实在可惜.做过的题要逐一检查，纠正文题不符之处，力求全胜.
五、忌潦草
答题时，字迹清晰，书写工整，符合规范.书写的好坏、卷面整洁与否直接关系到得分的高低.书写中往往含有很高的“附加值”，书写潦草，让老师无法辨认，得了低分也就不足为奇了.
六、忌硬碰硬
考试做题应先易后难，遇到难题暂时放一放，等做完会做的题后再集中精力去攻破难关，否则影响情绪，造成顾此失彼，甚至二者皆失.
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自然数的用处
自然数的意义
分数（小数）的形式
分数（小数）的意义
分数（小数）
自然数
有理数
有理数的意义
有理数的有关概念
具有相反意义的量
正有理数
gh
负有理数
数轴
gh
相反数gh
绝对值
gh
有理数大小的比较
有理数的运算
乘法
乘法法则
倒数
乘法运算律
交换律
结合律
分配律
减法
减法法则
加减混合运算
转化为加法
统一成加法
加法
加法法则
加法运算律
交换律
结合律
乘方
乘方的意义
乘方运算
科学记数法
除法
除法法则
除法与乘法间的关系
有理数的混合运算
加、减、乘、除、乘方混合运算的法则
准确数和近似数
准确数和近似数的概念
有效数字
计算器的使用
加、减、乘、除、乘方运算按键方法
-1
0
-3
-2
A
B
C
D
A
B
O
-3
实际计算的需要
平方根
开平方
算术平方根
用计算器求算术平方根
无理数
实数
立方根
开立方
用计算器求立方根
实数的运算
输入a
输出
a2
-4
×0.5
A
C
BC
xC
1C
实际问题情境
求代数式的值
代数式
用代数式
表示简单的数量关系
单项式
整式
多项式
用字母表示数
合并同类项
去括号
整式的简单加减运算
单项式的系数
单项式的次数
多项式的项
多项式的次数
常数项
实际问题情境
方程
一元一次方程
等式的性质
等式
解法
应用
问题解决的基本步骤
直接途径：数数、观察、测量、实验并记录等
生活中的数据
收集
数据整理(分类、排序、分组、编码等)
制作数据统计表
间接途径：查询、查阅文件、报刊、上网及计算等
制作统计图
条形统计图
折线统计图
扇形统计图
（例1题图）
①②
（例1题图）
物体
点、线、
面、体
几何图形
立体图形
平面图形
角
射线
线段
直线
角
的
画法
角
的
平分线
角
的
比较
角
的
特殊关系
概念与
表示法
概念与
表示法
线段的中点
线段的作法与和差
大小比较
性质
两点间的距离
概念与
表示法
性质
概念与
表示法
平行线
相交线
垂线
画法
概念与
表示法
性质
点到直线的距离
概念与
表示法
画法
性质
性质
C
N
A
M
B
O
图1
α
β
O
M
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