课程标题中考模块复习---特殊三角形
第1节：全等三角形的概念、性质与判定
知识点精析
1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等。
3.全等三角形的判定
（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。
4.常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。
（1）平移
（2）翻折
（3）旋转
5.判定两个三角形全等所需条件：
（1）需要三个条件；
（2）至少有一个条件为边。
注意：“边边角”不一定成立。
反例：如图，△ABC与△ABC''中，AB＝AB，AC＝AC''，∠ABC＝∠ABC''，但△ABC与△ABC''不全等。
典型例题
例1.如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。
例2.如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。问：在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。
同步练习
1.已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中的全等三角形共有（）对。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知：如图，AC＝DF，∠ACB＝∠F，下列哪个条件不能判定△ABC≌△DEF。（）
A.∠A＝∠D B.BC＝EF
C.AB＝DE D.AB∥DE
3.已知：如图，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，DE＝CF，则图中全等三角形共有（）
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
4.已知：如图，点A、E、F、C在一条直线上，BF＝DE，AB＝CD，AE＝CF。求证：DE∥BF。
5.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，AD平分∠BAC，AC平分∠DAE，且∠1＝∠2，求证：△ABC≌ADE。
6.已知：如图，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，求证：△ABE≌△ACD。
第2节：等腰三角形
知识点精析
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5.等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6.含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
典型例题
例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠D
例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。
同步练习
1.如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。
2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。
3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。
4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF
5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE
6.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。
第3节：直角三角形
知识点精析
1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝ACA＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：
1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。
典型例题
例1已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，，求其斜边AB的长。
例2如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2E=A。
同步练习
一.填空题
1.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。
2.已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35DBC＝3.已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35DBC＝
4.△ABC中，∠C＝90AB＝c,BC＝a,AC＝b,c＝34,ab＝815,则a＝。
二.选择题
5等腰三角形的腰长为，底角等于30°，那么底边长为（）
A.B.3C.6D.6
6如图，BE、CD分别是△ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则△DEM是（）
A.不等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
三.解答题
7用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm。
8某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,AD、BC的长。
第4节：勾股定理及逆定理
知识点精析
一、勾股定理及其证明
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）
证明：进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.
二、勾股定理的应用：
（1）已知两边（或两边关系）求第三边；
（2）已知一边求另两边关系；
（3）证明线段的平方关系；
（4）作长为的线段.
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.
1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；
2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
1．先找出最大边（如c）；
2．计算与，并验证是否相等.
若，则△ABC是直角三角形.
若，则△ABC不是直角三角形.
注意：（1）△ABC中，若，则∠C=90°；而时，则∠A=
90°；时，则∠B=90°.
（2）若，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形.
若，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.
三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.
典型例题
例1如图所示，已知：∠ABD=∠C=90°，AC=BC，∠DAB=30°，AD=8，求BC的长.
例2若a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判定三角形的形状.
例3如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm.求证：△DEF是等腰三角形.
同步练习
1.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=___________.
2.如图所示，已知：∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积.
3如图所示，沿AE折叠长方形，使D落在BC边上的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
4如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AE⊥EF.
5如图所示，△ABC为等边三角形，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=19，DF=89，则△ABC的周长为（）
A.216 B. C.648 D.
6如图所示，△ABC中，2AD=DC，且，求AB及高AE.
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