浙教版七年级（下）数学
复
习
纲
要
2012年05月27日
目录
初始篇学习方法……………………………………………01
第一篇知识要点……………………………………………02
第二篇基础巩固……………………………………………13
第三篇拓展题高……………………………………………35
第四篇专题难题……………………………………………49
第五篇易错辨析……………………………………………67
结尾篇考试六忌……………………………………………84
初始篇学习方法
吴仁松
数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的，这是事实，但不等于说数学是多么难学的一门学科。相反，如果你掌握了优质高效的学习数学的方法，你会学得非常轻松和愉快。
最近几年我一直在探究一种能在最短时间内学到最有效数学的学习方法，现概括整理如下，望能对你有所启迪！
一、熟悉基本流程
课内三件事——预习、听课、检测课外两件事——纠错、作业
二、拥有“三个本”
课本、笔记本和错题本
三、学会看数学书
方法：读懂三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）；学会自我提问；勤于归纳总结
流程：读懂标题图--找出重点难点—细看例题—模仿练习
四、培养四种基本学习能力
发现研究对象的能力、围绕研究对象确定研究角度的能力、寻找知识之间联系规律的能力、建构知识网络制作联系导图的能力。的范围为_________________。若周长为偶数，第三边为_______________,若周长为奇数，则周长为________________.
三角形三个内角之和等于______.三角形的一个外角等于_________________________之和，三角形的一个外角与相邻内角它们互为__________.
三角形按_________分类，可分为三类：____________、____________、____________。
三角形有_____条角平分线，是________.都在三角形_____部，相交于______点。画图时都要经过三角形的一个______点.
三角形有_____条中线，是线段，都在三角形______部，相交于_________点。画图时都要经过三角形的一个______点。
三角形的一条中线把三角形分成相等的两部分，但不把周长分成相等的两部分。
10、三角形有________条高，是线段，都从三角形的一个顶点出发画高。
11、高的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的_____部。交于内部的一点；直角三角形一条高在内部，另两条高在边上（就是直角边）相交于直角顶点；钝角三角形一条高在内部，夹_____角的两边上的高在外部。高的________相交于外部的一点。
12、（面积法求RT△斜边上的高）。已知直角三角形三边为
AB=4,AC=3,BC=5求BC边上的高
13、全等三角形的对应边,也相等。对应边
上的高、中线，角平分线也相等，面积相等，周长相等。
14、_________边对应相等的两个三角形全等，简写成_______或________.
15、三角形全等的书写格式：____________________
16、有两边和它们的______角对应相等的两个三角形全等，即SAS，
注意，这个角必须为夹角才能判定全等。
17、SSA（即两边及一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等）。
如右图，在△ABD和△ABC中，AB=AB,AD=AC,∠B=∠B,但它们不全等。
18、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离________。
19、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形_____________________的交点。
20、有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等（有________和________两种）
21、角平分线上的点到_____________距离相等。应用此性质书写时，“∵”后面要写上条件。
22、到三角形三边距离相等的点是三角形______________________的交点。
23、①作△ABC,使BC=a，∠B=∠，∠C=∠。并且在△ABC中，画出角平分线CD，中线AE，高BF。
②作到三角形三个顶点距离相等的点。（是三边垂直平分线的交点，只需画两条）；作到三角形三边距离相等的点。（是三个角的平分线的交点，只需画出2条）
第二章轴对称图形
1、把一个图形沿着一条________折过来，________两旁的部分能_______________.这个图形叫轴对称图形。这条直线叫_____________.对称轴可能不止一条。
2、常见轴对称图形有：线段，角，圆，长方形，正方形。对称轴条数分别为____条，____条，
_______条，_______条，_______条。（但三角形、平行四边形、梯形不一定是轴对称图形）
3、线段的对称轴是__________________；角的对称轴是____________________；圆的对称轴是_________________；长方形的对称轴是__________________；正方形的对称轴是__________________.
4、对称轴___________连结两个对称点之间的线段。
5、由一个图形变为另一个图形，并将这两个图形关于某一条__________对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫_____________，简称反射。经变换所得的新图形叫做原图形的_______.
6、轴对称变换不改变原图形的_________和________,但改变了图形的________;经轴对称变换所得的图形和原图形是_________图形。
7、作点P关于直线的对称点（画在右图上）；
其它图形的轴对称变换均以点的变换为基础。
8、镜面成像：反过来看就是实际物体。
水面成像：反过来，再倒过来看就是实际物体。
9、平移变换不改变图形的________、_________和________.连结对应点的线段_________(或在同一条直线上)，而且__________.像和原图形是__________图形。
描述平移变换需指明平移的_________和__________.具体描述格式为：某个图形沿什么方向平移，平移的距离为线段某某的长度。
10、画△ABC平移后的像，使C移到Cˊ
11、旋转变换不改变图形的________和_________,对应点到旋转中心的_____________,对应点到旋转中心连线所成的角等于__________,旋转变换后的图形与原图形是___________图形。
12、等边三角形经中心至少旋转_________度能与自身重合。正方形呢？_________度；正五边形呢？__________,正六边形呢？_________度。
13、作四边形ABCD绕O点顺时针方向旋转180°所成的像。
14、旋转变换的描述格式为：原图形什么绕某个点顺（或逆）时针方向旋转多少度。
15、由一个图形变为另一个图形，在改变的过程中保持_______不变。这样的图形改变叫图形的相似变换。图形的________与__________都是相似变换。
16、相似变换不改变图形中每一个_________的大小。图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数，面积扩大（或缩小）线段的平方倍。
17、能用于镶嵌的图形有三角形、四边形、六边形。
18、镶嵌图中，共顶点处的几个角的和为_________度。
第三章认识事件的可能性
1、事件可分为三类：________________,_________________,_________________.其中__________事件也叫___________事件。
2、树状图：把选择的项目写在树枝上。（连线的后面）
3、在分步进行的事件中，第一步有m种选择，第二种n种选择，则事件的可能性结果共有_____种。
4、不可能事件的概率为_________,必然事件概率为___________.随机事件的概率P满足__________________.
5、等可能事件的概率P(A)=.
第四章二元一次方程组
1、含有一个未知数，且含有未知数的项的次数都是______次的方程叫二元一次方程。若出现以下情况就不是二元一次方程：①一个项中出现两个或多个字母,②分母中或中含有字母（未知数）。
2、二元一次方程有_________个解，解要用“｛”表示。
3、求二元一次方程特殊解的方法：先写成x=…，或y=…。如，求3x+2y=12的自然数解。
4、由两个_________方程组成，并且含有______个未知数的方程组叫二元一次方程组。共有三类,；;.
5、同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫二元一次方程组的解。二元一次方程方程组的解一般只有___________个。
6、写一个二元一次方程组，使解为.__________________________
7、小王解方程组时看错了a,解得小明看错了b，解得，则方程组正确的解为_____________.
8、解二元一次方程组的基本思想是________,具体的方法为___________消元法和___________消元法。通过消元，把二元一次方程组化为______________方程。
9、用代入消元法的步骤为:①化其中一个方程为x=…，或y=…,②将化得的方程代入另一个方程，求得一个未知数的值。③求另一个未知数的值④写出方程组的解并检验，但检验过程不必写出。
10、已知是二元一次方程，则m=__________,n=________.
11、用代入法解方程组：（1），（2）。
12、加减消元法解方程组的步骤为：①未知数字母对齐排列，常数一般在右边，乘以一个适当的数，把其中一个未知数的系数化为相同或相反数。②两个方程相加或相减（能用加法尽量用加法），消去一个未知数，求出一个未知数的值。③代入任一个方程，求出另一个未知数的值。④写出方程组的解。
13、用加减法解方程组：，，（3）.
14、增长率问题公式:，其中a为原来的基础量，b为增长后的量，x为增长率，n为增长次数。
第五章整式乘除
1、幂的乘方法则之一：同底数幂乘法。其法则为：同底数幂相乘，底数______,指数_______.使用时用字母表示这个法则为____________。先检查是否为同底数。底数可以是任何代数式。
2、计算：，
3、若，则自然数x，y有________对。
4、幂的运算之二：幂的乘方。其法则为：幂的乘方，底数______,指数_______.用字母表示幂的乘方法则：_________________.
5、若
若.
6、幂的运算之三：积的乘方。其法则为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘。用符号语言表示为__________________________.
7、
8、
9、
10、
11、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_________乘以另一个多项式的_________,再把所得的_____相加。
12、多项式与多项式相乘，积仍为多项式。有同类项的要________.
13、多项式乘以多项式，积的项数是原来各个多项式的项数的积（没有合并项前），合并后项数会减少，但肯定还是多项式，积的次数是原各项式次数的和。如A为一次二项式，B为二次三项式，则A·B是_____次多项式，在没有合并前有_____项。
14、若与的积中不含和项，求a和m的值。
15、对任何x都成立，则m=______,n=_____.(对任意x都成立，则“=”号两边完全一样)
16、一个算式减去多项式乘以多项式的积，减号后面应加上括号。
17、整式乘法中的平方差公式用字母表为___________________,文字表述为：两数和与_______差的积，等于__________的_______差。能使用平方差公式的前提是：相乘的两个多项式项数相同，且有相同数也有相反数（相乘的两个多项式的项要么相同，要么是相反数）。结果为相同项的平方减去相反项的平方。
18、=______,(a___0).,(a为__________数)。
19、运用平方差公式简便运算：，如:
计算70.8×69.2=_________________
20、用字母表示整式乘法中的完全平方公式：__________________________.
21、计算：，，
，，
22、，其中是不等于0的任何代数式。
23、a0=_____（a____）,a-p=_________（a_____）,
24、科学记数法：32500=_____________,-10250=_______________,
0.000303=_____________,-0.027=________________
25、整式（单项式、多项式）的除法都可以化为分式的形式，先对多项式因式分解，再约分。
26、m÷(a+b+c)不能用分配律。但（a+b+c））=___________,____________________.
_____________,_________________,
___________________.
5、添括号法则：括号面前是“+”号。括到括号里的各项_________,括号面前是“-”号。括到括号里的各项都_________。
6、提取公因式后再考虑用公式法。公式法有两种：①平方差公式：②完全平方公式：
7、若要分解的多项式是二项或两个整体（即有括号的式子）时可考虑用平方差公式。这两项的符号要一正一负，负在前面时可交换位置，如变成，再分解=________.在用平方差公式时一定要先改写成的形式，括号外面没有数字或字母。分解的结果为两个括号里的式子“加起来”乘以“减一减”，即（A+B）·（A-B）,在减时后面的多项式应加上括号。
8、要分解的多项式是三项或三个整体时，可以考虑用完全平方公式分解。分解前先变成的形式。有时在变形前先提取“-”号，或一个适当的数字（分数或整数）。如___________________,
_________________________________________________.
变成后，结果为,注意加还是减。解完题后要注意及时回顾检查。
9、换元法在因式分解中也能运用。通过换元，使多项式变得简单，转化为更熟悉的题目。如：.可设___________=a,则原多项式变为________________,它分解为_______________,从而原多项式分解为_______________.
.可设________=x,则原多项式为____________,它可分解为___________从而原多项式分解为________________.(分解要彻底，分解的结果中可处出现等数字，但不能出现)。
10、因式分解的应用一：在解一元二次方程时，根据为：若A·B=0,则A=0,____B=____.在用因式分解的方法解方程时，方程的右边一定先要变为0，再把左边因式分解成A·B=0的形式，转化为一元一次方程A=0,或B=_____.一元二次方程一般有两个解.最后应写成，，但不能用大括号连起来。
11、形如类型的方程，可转化为A=B或A+B=0来解，注意括号外面没有什么了。
12、只有一个未知数的方程的解也叫__________.方程有多个解时，用上下标。如，。
13、因式分解的应用二：用在多项式除以多项式时。此类题目可化为分式。再将分子分母分别分解因式，最后再约分。结果可化为整式，也可能为分式。
14、①若则x=______,y=_______;
②
③求的最小值；求的最大值。
第七章分式
1、分式的概念：分母中必须有字母，分子中的字母可有可无。但内不能出现字母，如是__________式，是_________式。
2、当分母_________时分式没有意义。当分母_________时，分式有意义。当分子_________且分母_____________时中，分式值为0。
3、行程问题中：追赶的距离=速度差×追赶的时间。
4、当x_______时，值为0。当x_______时，有意义？当x_______时，没有意义。
5、分式的基本性质：分式的分子，分母都乘以（或除以）_________________的整式，分式的值不变，即,,(其中M≠0)。
6、分式的符号法则：分式的分子，分母，分式本身的“-”号可以随意移动位置，即，当分子或分母为多项式时，应当变成“-（）”，再可以把“-”号移动位置，作为答案。“-”应放在最前面（即分式本身）。
7、把一个分式的分子分母的公因式约去，叫做分式的________.约分前先把分子，分母的多项式分解因式，才可以约分。多项式要约去，则整个多项式都要约去，不能约去多项式的某一部分。
8、化分式的分子，分母各项系数为整数：=___________,=________.
9、化分子，分母的最高次项的系数为正数：=________,=___________.
10、分式的乘法：把分子，分母分别相乘，再约分。
分式的除法：把除式的分子，分母颠倒，改成乘法，再约分。
注：①约分前应先把多项式分解因式，再约分，相同的因式约去，相反数约去时添加“-”号，“-”号在最前面。②任何整式之间的除法，都可以统一化成分式，再约分。③含有分式的各类计算，其结果为分式（一个分子，一个分母）或整式。④整式与分式之间运算时，整式可看成分母为1的式子。如（或）.（或）；⑤分式的运算中，如有多项式即应先分解因式再做运算。
11、分式的乘方：和倒过来，用一样，。
12、同分母分式的加减：分母不变，分子相加减，最后约分。约分前先对可分解因式的多项式分解因式。.有时需倒过来：。
注：分母有时是互为相反数，可改成相同，有时需要添补一个“-”号,如：______________________,,
=_______________________,.
13、异分母分式的加减：通分，化为同分母分式。通分时先确定各个分母的最简公分母（即最小公倍数）。必须先把各个分母分解因式，再确定公分母，选取的公分母应是每一个分母的倍数。（包含每一个分母；公分母不会比原来的每一个分母少），最后的结果必须化简（约分）。步骤为：（1）确定最简公分母，化为分母相同的分式；（2）分母不变，分子加减；（3）把分子化简计算；（4）对分子分母分解因式，约分.如。
14、由分式或整式组成，且_________里含有未知数的方程叫分式方程。
注：分式方程可能会有_________根，使某个分母为0的根就是增根。分式方程的增根可能不止_________个。增根必定能使最简公分母为0，但不一定能使每个分母都为0。解出分式方程以后，必须验根，在应用题里也一样。
15、经济类应用题：售价-成本=利润，注：利润率是相对成本来说的。
16、若，求①，②，③；
17、若，求的值。
第二篇基础巩固
1、（1）如图三角形ABC（记作:）中，
∠B的对边是，夹∠B的两边
是和。
（2）图中有几个三角形？请分别把它们表示出来。
2、已知四组线段：
第①组长度分别为5，6，11；第②组长度分别为1，4，4；；
第③组长度分别为4，4，4；第④组长度分别为3，4，5，
其中不能成为一个三角形的三条边的是()
A、①B、②C、③D、④
3、已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是（）
A．1
4、在△ABC中(1)若∠A=45°，∠B=30°，则∠C=.
变式1：在△ABC中，∠A=45°，∠B=2∠C，求∠B、∠C的度数。
变式2：在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，求∠B、∠C的度数。
变式3：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数。
变式4：在△ABC中，∠A+∠B=∠C，求∠C的度数。
5、在△ABC中，∠ACD是外角.
(1)若∠A=74°，∠B=42°，则∠ACD=.
(2)若∠ACD=114°36′，∠A=65°，则∠B=.
6、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，已知∠B=500，∠C=400，则∠BAD=度。
变式：∠BAC=900，AD平分∠BAC，∠C=400，则∠ADB的度数是。
7、已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个小三角形，
且△ABD的周长比△ADC的周长短2cm。你能求出AB的长吗？
变式1：若将条件变为：“这两个小三角形的周长的差是2cm”，你能求出AB的长吗？
变式2：已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AC=8cm，AB=5cm，求△ADC与△ABD的周长差？
8、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()
9、如图在三角形ABC中,AD是三角形ABC的高,AE是∠BAC的角平分线.已知∠BAC=82°,
∠C=40°,(1)求∠DAE的大小.
(2)若AE是中线且BC=10，AD=4，图中有面积相等的三角形吗？面积是多少？
10、找一找：
（1）、若△ABD≌△ACD，对应顶点是，
对应角是；对应边是；
（2）、若△ABC≌△CDA,对应顶点是，
对应角是；对应边是；
（3）、若△AOC≌△BOD，对应顶点是，
对应角是；对应边是；
11、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，则∠B=∠C，请完成下面的说理过程。
解：∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADB==Rt∠（垂线的意义）
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC，
∵BD=CD（），
∴点B与点重合，
∴△ABD与△ACD，
∴△ABD△ACD(全等三角形的意义)，
∴∠B=∠C（）。
12、如图、点B、E、C、F在同一条直线上。
且AB=DE，AC=DF，BE=CF。请将下面
的过程和理由补充完整
解：∵BE=CF()
∴BE+=CF+既BC=.
在△ABC和△DEF中，
∵AB=()
=DF()
BC=()
∴△ABC≌△DEF()
13、如图，AB=AC,BD=CD,则∠B=∠C,请说明理由。
14、如图，点D、E分别在AC、AB上。已知AB=AC，AD=AE，则BD＝CE。请说明理由。
解：在⊿ABD和中，
AD=(已知)
∵=（公共角）
AB=AC（）
∴≌()
∴BD=CE（）
补：若BD=5,EF=1,则FC=()
15、如图，已知B，C，E在一直线上，∠1=∠2，AC=DC，说出AB=DB的理由。
16、如图，O是线段AB的中点，直线m⊥AB于O,
则直线m是线段AB的。
AO=.CA=.
17、如图，线段AC、AB的中垂线交于点O，已知OC=2,
那么OB的长为（）
A.1B.2C.4D.不能确定
18、已知∠A=∠,∠B=∠,AB=,则
△ABC≌△的依据是（）
A.SASB.SSAC.ASAD.AAS
19、如图，已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,
由此可判定三角形全等的是（）
A.△ABD≌△DCOB.△ABC≌△DCB
C.△ABD≌△BCAD.△OAD≌△OBC
20、如图，△ABC中，∠C=90°,AC=40cm,BD平分∠ABC,
DF⊥AB于F,AD:DC=5:3则D到AB的距离为cm.
21、判断下列条件能否使△ABC≌△
（1）∠A=30°，∠B=45°，AB=2cm，∠=45°，∠=80°，=2cm()
(2)∠A=25°，∠B=30°,BC=2cm,∠=25°,∠=30°，=2cm()
(3)∠A=∠,∠B=∠,BC=()
(4)∠A=∠,AB=，BC=()
22、已知线段，用尺规作使得。
abc
23、已知线段，用尺规作使得
24、利用尺规不能唯一作出的三角形是（）
A、已知三边B、已知两边及夹角C、已知两角及夹边D、已知两边及其中一边的对角
25、利用尺规不可作的直角三角形是（）
A、已知斜边及一条直角边B、已知两条直角边C、已知两锐角D、已知一锐角及一直角边
26、以下列线段为边能作三角形的是（）
A、2厘米、3厘米、5厘米B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、3厘米D、2厘米、3厘米、4厘米
27、已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。
28、下列图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形,请分别写出它们的对称轴.
线段：角:
圆：直角三角形：
长方形：平行四边形：
29、在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这几个数字中，哪几个是轴对称图形？
30、在26个英文字母中，有几个是轴对称图形？ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
31、你能举例说出汉字中是轴对称图形吗？（至少举3个）
32、小红驾驶着摩托车行驶在公路上，他从反光镜中看到后面一辆汽车的车牌为“”，根据有关数学知识，此汽车的牌照为______________
33、以直线m为对称轴,画出△ABC关于直线m的轴对称图形.
34、将面积为30cm的等腰直角三角形ABC向下平移20cm，得到△MNP，则△MNP是
三角形，它的面积是.
35、“小小竹排水中游，巍巍青山两岸走”，所蕴涵的图形变换是__________变换?
36、如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．
（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
37、如图，画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．
38、把如图所示的直角三角形ABC作相似变换,放大到原来的2倍.放大后所得的图形面积是原图形面积的多少倍？
39、在沙漠中，一位旅行者带着罗盘和计程器从营地A出发，向北偏东37度方向行走３km,到达B地．然后他由B地出发，向正西方向行走5km，到达C地．比例尺为1:100000旅行路线图如下图所示：
(1)确定你所画的路线图与实际路线图经过那一种图形变化，缩小的倍数是多少；
(2)若要求旅行者返回营地的路线最短，请在路线图上画出了旅行者返回营地的路线．
40、任意抛掷一枚硬币2次，朝上面共有多少种可能，用树状图表示出来。
41、从1、2、3、2、3、4这几个数中任取一个，则取到的可能性最大。
42、从一副扑克牌中任抽一张，可能性相同的是抽到（）
A.K和黑桃B.梅花和大王C.大王和6D.10和A
43、掷一枚骰子，则
（1）P（朝上数字为3）=。（2）P（朝上是2的倍数）=。
（3）P（奇数朝上）=。（4）P（朝上的数小于5）=。
44、袋中装有3个绿球、5个黑球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，用画树状图的方法计算下列事件的概率：
（1）两次都是绿球，（2）一次绿球、一次黑球，（3）两次都是黑球。
45、下列方程是二元一次方程的是（）
(A)x2+y=0(B)x=+1(C)(D)y+
46、已知关于x、y的方程3x-2y=1是一个二元一次方程，则m=.
47、检验下列各组数值是不是方程2a=3b+20的解
①②③
48、已知方程3x-2y=5
（1）用含x的代数式表示y（2）用含y的代数式表示x（3）写出方程的3个解
49、判断下列方程组是否是二元一次方程组的是（）
（A）(B)(C)(D)
50、方程组的解是（）
（A）（B）（C）（D）
51、下列方程组中，解是的方程组是（）
（A）（B）（C）（D）
52、某年级共有246名学生，男生比女生的2倍少2人，设男生x人，女生y人，则下列方程组正确的是（）
A.BCD
53、已知，用含的代数式表示，得=______________.
54、已知3x+2y+4=0,用含的代数式表示，得=______________．
55、用代入法解下列方程组
（1）（2）
56、用加减法解下列方程组
（1）（2）
（3）（4）
57、香蕉的售价为5元/千克,苹果的售价为3元/千克,小华共买了9千克,付款33元.香蕉和苹果各买了多少千克？
分析： 售价 质量 付款 香蕉 苹果
58、甲、乙两人相距6千米，两人同时出发，若同向而行，则甲3小时可追上乙；若相向而行，1小时相遇，求两人的速度?
分析： S V t 同向 甲： 乙： 甲： 乙： 相向 甲： 乙： 甲： 乙：
59、计算，并用幂的形式表示结果：
（1），（2），（3），
（4），（5），（6）
60、1克水中水分子的个数大约是3.34个，请估计相同条件下1千克水中含有水分子的个数（结果用科学记数法表示）。
61、计算：（1）；（2）
62、说明下列每一步计算的理由，将它们填在括号内：
=（）=（）=
63、计算下列各式，结果用幂的形式表示:
（1）；（2）；
（3）;(4).
64、若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为多少？
65、填空：①＝（）；②81=（）；
③；④
66、计算下列各式，结果用幂的形式表示:
（1）=（2）=
67、用简便的方法计算：
（1）；（2）；（3）
68、计算：
(1)(2)(3)
69、计算：
(1)(2)(3)
70、1cm干洁空气中大约有2.5×10个分子,6×10cm干洁空气中大约有多少个分子?
71、先化简，再求值：
(1)(2)
72、化简：⑴(ab-8)(ab+8)⑵(2+a)(a-2)（3）(3a+2b)(3a-2b)
（4）(1-x)(-x-1)（5）(-x-1)(x+1)（6）(x+3)(x-2)
73、用平方差公式计算:
（1）102×98(2)59.8×60.2（3）50
74、一养鸡专业户改建一个边长为a(m)的正方形养鸡场,计划纵向扩大3m,横向缩短3m,改建为长方形养鸡场.问改建后的养鸡场面积有没有变化?如果有变化,变化多少?
75、利用完全平方公式计算：
（1）（3+x）(2)(y-7)(3)(3-t)（4）(-2x+y)
76、填空：(1)（3x+2y)=+12xy+4y(2)(5m-4n)=25m-40mn+
(3)(4a+3b)=16a++9b(4)(2x-8y)=4x++64y
77、一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m2？
78、填空：（1）、一块手表原价a元，降价x％，则现价为_______元。
（2）、一块手表原价a(1-x％)元，降价x％，则现价为元。
（3）、一块手表原价a元，连续两次涨价x％，则现价为元。
79、化简：（1）（2）
（3）（4）
80、化简求值：已知x=，求（-3x-1）（3x+1）+（-3x-1）（1-3x）的值。
81、解方程：
82、甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x％，而乙超市的销售额平均每月减少x％.
(1)5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
(2)如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
83、计算：（1）（2）（3）（4）（5）
84、计算:（1）（2）（3）（4）
85、如图是洋葱的根尖细胞，细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞。洋葱根尖细胞分裂的一个周期大约是12时，2个洋葱根类细胞经过分裂后，变成2个细胞大约需要多少时间？
86、求下列各式的值
（1）10(2)3×3(3)(-3)（4）(5)95×(-5)
(6)a÷(-10)(7)(-3)÷3(8)(-0.5)
87、把下列各数表示成a×10（1≤a＜10，n为整数）的形式：
（1）12000（2）0.0021（3）0.0000501
(4)325800(5)0.000129(6)0.00000087
88、计算：
（1）（2）（3）
89、下列错在哪里？应怎样改正？
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
90、计算：(1)（2）
（3）（4）
91、计算：（1）（2）
（3）（4）
92、检验下列因式分解是否正确？
(1)(2)
93、计算下列各题，并说明你的算法
(1)(2)
94、把下列各式分解因式
(1)(2)6a(3)8a-12ab
95、下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
(1)2x(2)a
(3)-2s(4)a
96、把下列各式分解因式：
(1)(2)2a(3)-3ab+abx-9aby
97、判断下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？若可以请分解。
(1)(2)
(3)-4(4)-
(5)4x-3(6)
98、把下列各式分解因式
(1)25(2)121-4a(3)1-81(4)a
99、分解下列因式
（1）4x3y－9xy3（2）27a3bc－3ab3c（3）（2n+1）2－（2n－1）2
100、对下列多项式因式分解：
(1)(2)3ax(3)
101、计算：
(1)(2)
102、解下列方程
(1)2x(2)(3)4(4)
103、填空:
(1)当时,分式有意义;
(2)当时,分式的值是零;
(3)当x=2时,分式没有意义,则b=
(4)要使分式没有意义,则的值是()
(5)要使分式有意义,x的取值满足()
104、甲﹑乙两人从一条公路的某处出发，同向而行．已知甲每时行a千米，乙每时行b千米，
a＞b．如果乙提前１时出发，那么甲追上乙需要多少时间？当a=6，b=5时，求甲追上乙所需要的时间？
105、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
（1）（2）
106、不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
107、不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：
108、化简下列分式：（1）（2）
109、下面的计算对吗？如果不对，应如何改正？
（1）（2）（3）（4）
110、计算：（1）（2）
（3）（4）
111、填空：（1），（2）。
112、计算：
（1），（2），
（3），（4）。
113、先化简，在求值：，其中m=2011,n=-1.
114、计算：（1），（2）,（3）
（4）,（5）,(6)
115、解方程去分母，化为整式方程，正确的是（）
116、解方程:
解:方程两边同乘以,化简,得
解得==检验:把x=代入最简公分母,
x(x-2)==≠0;
把=,代入最简公分母：x(x-2)==0
∴x=是增根,舍去.∴原方程的根是x=.
117、解下列方程：
（1）（2）（3）
118、将下面的公式变形
(1)（用p和b表示a）(2)用f，v表示u）
119、工厂生产一种电子配件，每只的成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）
分析：（1）本题等量关系是：
（2）售出价是：
（3）成本是：
(4)根据等量关系，你能列出方程:
(5)解方程：
120、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓。一部分同学骑自行车先行，经时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求汽车和自行车的速度。
第三篇拓展提高
1、已知三角形两条边长分别为12cm和6cm，第三边与其中一边长相等，那么这个三角形的周长为多少cm？
2、现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，组成三角形架，有几种情况？分别写出每组数据。
3、已知∠1,∠2,∠3是△ABC三个外角,则∠1+∠2+∠3=
4、如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线。
（1）若∠ABC=800，∠ACB=300，求∠BOC的度数。
（2）若∠A=600，求∠BOC的度数。
（3）若∠A=，求∠BOC的度数（用的代数式表示）。
5、如图，点D、E、F分别是△ABC的三条边的中点，
设△ABC的面积为S，
（1）连结AD，△ADC的面积是多少？
（2）由（1）题，你能求出△DEC的面积吗？
△AEF和△FBD的面积呢？
（3）求△DEF的面积
6、试把一块三角形煎饼分成大小相同的4块，有多少种分法？
7、如图，将△ABC绕其顶点A逆时针旋转30?o后，得△ADE。
（1）、△ABC与△ADE的关系如何？
（2）、求∠BAD的度数
（3）、求证：∠CAE=∠BAD
8、如图，△ABC中，已知AB=AC，当点D是BC的时，
可得△ABD≌△ACD。此时AD与BC的位置关系是
9、有A,B,C三农户准备一起挖一口井，使它到
三农户家的距离相等.这口井应挖在何处？请在
图中标出井的位置，并说明理由.
10、如图，直线l表示一条公路，点A和点B表示两个村庄。现要在公路上造一个加油站到两个村庄的距离相等，问加油站应建在何处？请在图上标明这个地点，并说明理由。
11、如图，哪些图形是轴对称图形？哪些图形不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴。
12、如图请用三种方法，在已知图案上再添上一个小正方形后，使其成为轴对称图形，并画出对称轴.
13、如图，AD是△ABC的一条角平分线，以直线AD为对称轴，将△ABC作轴对称变换，所得的像为△AB′C′
(1)画出△AB′C′(2)若∠C=70°,∠B=42°,求∠C′DB的度数。
14、如图，将图形先以直线L1为对称轴作轴对称变换，
再将所得的像连同原图形以直线L2为对称轴作轴对称
变换，画出每次变换所得的像。
15、在下面的方格纸中，画出一个Rt△ABC，使得∠B=Rt∠，BA=3，BC=4，再画出把所画的
Rt△ABC向右平移3个单位的像。
16、如图，已知图形F和点O，以点O为旋转中心，将图形按顺时针方向旋转90°，作出经旋转变换后的像．经几次旋转变换后的像可以与原图形重合？
17、一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；第2012个图案是.
18、任意掷两枚普通的骰子，朝上面的数字共有几种不同的结果，朝上面的两个数字和为13的可能性有几种？两个数字和为偶数的可能性有几种？
19、一个盒子中有10个大小相同的球，根据下列事件给定的可能性，设计盒子中球的颜色。
（1）不可能摸到红球。（2）摸到黄球的可能性大，摸到蓝球的可能性小。
（3）摸到白球的可能性最大，红球的可能性其次，黄球的可能性最小。
（4）摸到绿球和蓝球的可能性同样大，摸到黑球的可能性最小。
20、小明和小刚玩游戏，他们各自从写有1----6这6个数字的卡片中抽出一张，然后把抽出的两个数相加，若和为偶数，则小明赢，否则小刚赢，这游戏公平吗？请说明理由.
21、写出解为的一个二元一次方程
22、已知,是方程2x+3y＝5的一个解，求a的值。
23、已知是方程组的解，求a、b的值
24、如图，用8块相同的长方形地砖能拼成一个大的长方形，每个小长方形的长为x，宽为y；
（1）根据图中的数量关系列出关于x,y的方程组
（2）写出这个方程组的解
（3）求出大长方形的面积
25、解方程组
26、关于x、y的二元一次方程组与的解相同，求a、b的值
27、已知2v+t=3v-2t=3,求v、t的值
28、小林骑自行车从甲地到乙地，先以24千米/小时的速度下坡，后以18千米/小时的速度通过平路，共花时间55分钟，返回时他以16千米/小时的速度通过平路，后又以8千米/小时的速度上坡，共1.5小时，求甲、乙两地的距离。
分析： S V t 去 下坡： 平路： 下坡： 平路： 下坡： 平路： 来 坡： 平路： 坡： 平路： 坡： 平路：
29、已知，，则
30、已知，且m-2n=1,求的值。
31、求下列各式中的x的值：
（1）；（2）。
32、填空：（1）；（2）；（3）。
33、已知，求n的值。
34、试比较的大小。
35、若（a）=，那么m+n=.
36、若，求的值。
37、已知2x+4y-4=0,求(2x+4y)的值。
38、已知：则m=a=b=
39、如果xyxy与-3xy是同类项,求4m-3n的值
40、观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：
(x+2)(x+3)=x+5x+6；(x+4)(x+2)=x+6x+8；(x+6)(x+5)=x+11x+30
(1)你发现有什么规律？按你发现的规律填空：
(x+3)(x+5)=x+(____+____)x+____×_____
(2)你能很快说出与(x+a)(x+b)相等的多项式吗？先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证。
41、计算(x+2x-3x-5)(2x-3x+x-2)时,若不展开,求出x项的系数.
42、已知，求的值
43、运用平方差公式计算:
（1）（2）5678×5680-5679（3）(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+1
44、如果则的值是（）
A、5B、4C、-4D、以上都不是
45、已知a+b=3，ab=，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）。
46、一个正方形的边长增长5厘米，它的面积就增加35厘米，求这个正方形原来的边长。
47、若，则a、b的值分别为（）
Aa=2,b=3Ba=-2,b=3Ca=-2,b=-3Da=2,b=-3
48、已知x+y=3，xy=1，求x+y与(x-y)的值.
49、已知x+y-4x-6y+13=0,求x-y的值.
50、已知a-5a+1=0，求：（1），（2）的值
51、
52、
53、已知2x－5y－4=0，求4÷32的值。
54、已知多项式可分解为你能求出m的值吗？
55、分解因式计算：
56、利用简便方法计算：4.3
57、已知a+b=3,ab=2,求代数式a的值
58、把9分解因式
59、观察下表，你还能继续往下写吗？
1 1=12－02 3 3=22－12 5 5=32－22 7 7=42－32 … … 请写出下一个变化
你发现了什么规律，能用因式分解来说明你的发现吗？（用含n的等式表示这一规律）
60、你能用口算求出20052-4010×2003+20032的值吗？
61、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
62、若，则求a、b的值.
63、已知：则判断a，b，c的大小关系.
64、解方程：
65、计算：
66、计算：（1）(2)
67、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）
（A）（B）(C)(D)
68、在分式中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？若分式
69、的值为0，则x的值是多少？
70、已知，求的值
71、先化简，再求值：其中
72、若2x+y=0,求的值。
73、
74、如果有增根,那么增根为.。
75、若分式方程有增根x=2,则a=。
76、在下渚湖里划船发现逆流划行400米的时间比顺流划行400米的时间多用了５分钟。已知水流速度为20米/分,求我们在静水中划船速度.
第四篇专题难题
一、关于速算
1、计算：
-的结果应该是
2、（-1）2013是（）
A．最大的负数B．最小的非负数C．最大的负整数D．绝对值最小的整数
3、－32－(－2)3等于()（A）－17（B）1（C）－1（D）17，再减去余下的，再减去第二次余下的，…，依次类推，一直到减去余下的，那么最后余下的数是__________。
5、(－0.125)20×(－8)20的值为（）
7、计算：
8、在，，，18这四个有理数中，负数共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
9、计算：1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋……＋4999－5000＝
10、在数学中，规定。若=3，则的值为
11、2，3，5，6这四个数中最小的数是()
（A）2（B）3（C）5（D）6
现定义两种运算”，“”。对于任意两个整数，，则（68）（35）的结果是（）
A、60B、9 C、112D、9＝3，3＝9，3＝27，3＝81，3＝243，3＝729，3＝2187，3＝6561…请你推测3的个位数是。
14、定义ab=ab+a+b,若3x=27，则x的值是________。
15、若表示一个整数，则整数x可取值共有().
A.3个B.4个C.5个D.6个
16、方程的整数解有()
(A)4个(B)3个(C)5个(D)无数多个
17、已知，则……＋，按以上式子,那么
……＋50＝
20、若，，那么的值有()个
（A）4（B）3（C）2（D）1=0，则=.
22、若|x-y+1|+（y+5）2=0，则xy=.
23、若，则的取值不可能是（）
A、0B、1C、2D、－2
二、关于规律
1、请在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形：
2、请按数列的规律填出空缺的数：3，15，35,63，99，，195,……
有一列数，按照下列规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，7，…这列数的第200个数是.
4、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________cm3。
把1000个黑球与白球按如图规律摆放，则黑球有个，白球有个。●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…
6、春节联欢会上，电工师傅在礼堂四周挂了一圈彩灯，其排列规则是：绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红…那么，第2012个彩灯是________色的.
7、如果有2009名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2013名学生所报的数是（）
A、1B、2C、3D、4
8、观察这一列数：，,,,，依此规律下一个数是（）
A.B.C.D.
9、规律探索：；=-；
=—；=—；
根据以上规律计算：.
10、今天是星期六，101000天之后是星期________．
11、公园里有一排彩旗,按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列,小红看到这排旗子的尽头是一面粉旗。已知这排彩旗不超过200面,这排旗子最多有______面。12、观察各式，你发现什么规律：你猜想到的规律用只含有一个字母的等式表示出来.
13、如果用“★”表示一种新的运算符号，而且规定有如下的运算法则：
m★n=m(m-3n)，则2x★y的运算结果是______．
14、观察表中三角形个数的变化规律：
图形
横截线
条数 0 1 2 … n 三角形
个数 6 ? ? …
? 若三角形的横截线有0条，则三角形的个数是6；若三角形的横截线有条，则三角形的个数是______________（用含的代数式表示）。
15、(1)观察下列各式：，，……试用你发现的规律填空：，；
(2)请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性.
16、如图4，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有
个（用含的代数式表示）.
三、代数计算与整体思想
1、当x=-7时，代数式的值为7，其中a、b、c为常数，当x=7时，这个代数式的值是.
2、如果，则代数式
=.
3、若，，则=.
4、已知a2-3a+1=0，求代数式的值
5、当x＝3时，代数式px3＋qx＋3的值是2009，则当x＝－3时，代数式px3＋qx＋3的值为()A：2003B：2006C：－2009D：－2003
6、已知，则＝；
7、若a3m＝3b3n＝2,则(a2m)3＋(bn)3－bnb2n＝.
9、(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1=
10、若互为相反数，则
11、解方程组
12、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元，问甲、乙、丙货物各购一件共多少元？
13、a、b、c是△ABC三边，且a2+2ab=c2+2bc,则△ABC一定是（）
A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形
14、如果a=2008,b=2007,c=2006，那么a2+b2+c2－ab－bc－ca的值是。
15、已知x2+xy=3,xy+y2=－2，则2x2－xy－3y2=.
16、已知a+b+c=0，a4+b4+c4=1，求a(b+c)3+b(c+a)3+c(a+b)3的值
四、逻辑推理与演绎推理
1、能不能把一个正方形剪成6个大大小小的正方形？两支长度相等的蜡烛，第一支能点4小时，第二支能点3小时，同时点燃这两支蜡烛，几小时后第一支的长度是第二支的两倍？李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。”张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么是记者。的度数是．
7、如图，∠1=65°，∠2=85°，∠3=60°，∠4=40°，则∠5=（）
（A）45°（B）50°（C）55°（D）60°
8、如图是一副三角尺拼成的图案，∠DCE＝，∠ABE＝。
9、如右上图，点F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需要补充的一个条件是。
10、如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？
A
BC
11、如图,小明从家到学校有①②③三条路可走，每条路的长分别为，则（）
A、＞＞B、＞＞C、=＞D、=＜
12、如图△ABC中已知D、E、F分别为BC、
AD、CE的中点，且S△ABC＝，则S阴影的值为：
A、B、C、D、
13、如图，∠1=750，∠A=∠BCA,∠CBD=∠CDB,∠DCE=∠DEC,∠EDF=∠EFD.则∠A的度数为（）
A150B200
C250D300
14、如图：∠B＝200,∠C＝500,把△ABC绕点
A按顺时针方向旋转到△AB/C/，使点B/在CA
的延长线上，则△ABC旋转了________度。
15、如图，D是∠EAF平分线上的一点，若
∠ACD+∠ABD=1800，请说明CD=DB的理由。
16、已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，①如果∠A＝90°，∠C＝55°，那么∠B＝；
②如果∠A＝90°，∠B-∠C＝24°，那么∠B＝，∠C＝；③如果∠C＝4∠A，∠A＋∠B＝100°，那么∠A＝，∠B＝．
17、如图1，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A＝．
18、如图2，P为△ABC内一点，则∠A与∠P的大小关系是（）
A．∠A＞∠P B．∠A＜∠P C．∠A＝∠P D．无法确定
19、△ABC中，如果∠A-∠B＝90°，那么△ABC是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
20、如图3，高BD与CE交于O点，若∠BAC＝72°，则∠DOE等于（）
A．72° B．18° C．108° D．162°
21、如图1，点D为△ABC内一点，∠ABD=20°，∠ACD=25°，∠A=35°，求∠BDC的度数.
22、如图所示，在△ABC中，∠A=α,△ABC的内角平分线和外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求下列图中α与β的关系，并选择一个加以说明.
23、如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48o．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
24、如图，大圆半径为2cm，小圆的半径为1cm，则图中阴影部分的面积是__________cm2．
25、如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和4，那么图中阴影部分的面积为．
26、如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.
求证：BD=AE.
27、如图，△ABC中，AC＝BC，∠=∠CBA．将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0o＜α＜90o)得到△A1B1C，连结BB1．设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F．在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明△ABC与△A1B1C全等除外28、如图，D是等边△ABC内一点，且BD=AD,BP=AB,∠DBP=∠DBC,问∠BPD的度数是否一定的，若是，求出它的度数，若不是，说明理由.
29、如图1，若点A,B,C在同一直线上，且△ABE,△BCD都是等边三角形，连结AD,CE.
(1)△BEC可由△ABD顺时针旋转得到吗？若是，请描述这一旋转变换过程；若不是，请说明理由；
(2)若△BCD绕点B顺时针旋转，使点A,B,C不在同一直线上（如图2），则在旋转过程中线段AD与EC的长度相等吗？请说明理由．
30、如图1，两个相同的正方形纸片ABCD和EFGH，将纸片EFGH的一个顶点E，放在纸片ABCD对角线的交点O处，那么正方形纸片EFGH绕点O无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面积总等于一个正方形面积的，你能说明为什么吗？
31、如图所示，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长。
32、如图所示，设点O是等边△ABC内一点，已知，，求以线段OA、OB、0C为边所构成的三角形的各内角.
33、图①中的两张全等的三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B(E)，C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是．
（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
34、如图,P为正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合,若PB=3,则PP′等于()
A.B.6
C.3D.
35、如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画一个变换后的图形c图即可中的结论还成立吗作出判断不必说明理由（3）若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.
37、如图，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图6，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图7所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
x-2）(x-2k)0的一个解，则k=.
3、写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是6,②方程的解为x=3,则这样的方程可写为：_________________
4、一张旧发票上写有72瓶饮料,总价为x67.9y元,由于两头的数字模糊不清,分别用x、y表示,每瓶饮料的单价也看不清了,那么x=_____。
某人骑自行车由甲地驶向乙地,如果每小时比原来的速度快6公里,便可以早到5分钟;如果每小时比原来的速度慢5公里,便要迟到6分钟。则甲、乙两地的距离为公里。
7.5‰的交易费，某投资者以每股ｘ元买进“东升毛纺”1000股，每股上涨２元后全部卖出，则以下说法正确的是（）
A、盈利2000元B、盈利1985元
C、时可以盈利D、时可以盈利
9、某学校教学楼有两道正门和两道侧门，在正常情况下，两道正门单位时间内通过的人数相同，两道侧门单位时间内通过的人数相同。打开一道正门和两道侧门，2分钟可通过560名学生，打开一道正门和一道侧门，4分钟可通过800名学生。教学楼内有32间教室，若每个教室按54人计算，2道正门和一道侧门打开，多长时间能全部通过？
10、甲、乙两人相距22.5千米，分别以每小时2.5千米和5千米的速度相向而行，同时甲所带的小狗以每小时7.5千米的速度奔向乙，小狗遇乙后立即回头奔向甲，遇甲后又奔向乙，……直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。
11、一列火车通过120米的大桥要用21秒，通过80米长的隧道要用17秒，这列火车车身长多少米？
12、在一环形跑道上，有两人在练习跑步，若两人同向跑，每12分钟相遇一次；若两人反向跑，每4分钟相遇一次。问跑上一圈，两人各需几分钟？
13、甲、乙两队合挖一条水渠，4天可以完成。如果甲队单独挖6天可以完成，那么乙队单独挖几天可以完成？
14、甲、乙、丙三个仓库共储煤228吨，甲、乙两仓库储煤量之比为2：7，乙、丙两仓库储煤量之比为3：7，三个仓库各储煤多少吨？
15、一辆汽车的油箱装满了油，第一次用去一半，又加上6升；第二次用去油箱里存油的后，再加油8升，油箱便又满了。问该油箱能装油多少升？
16、现在，人们的生活日益富足，大部分家庭日常开支除外，都有节余，节余下的钱存入银行，一来可以支持国家经济建设，二来自己也可获得一部分利息，并且存入银行，心理上还觉得比放在家里更安全、保险.李先生现有三年不动款10000元，想存入银行，存款方式有以下几种：
（1）1年定期，每年到期后本息转存下年定期；
（2）先存1年定期，到期满后本息转存2年定期；
（3）先存2年定期，到期满后本息转存1年定期；
（4）三年定期，整存整取.
（注：银行的各类定期存款的年利率分别是：定期一年，年利率为4.14%；定期二年，年利率为4.68%；定期三年，年利率为5.40%；另知存款需交利息税，利息税按利息的20%交纳.）
问：以上哪种存款方式比较合算，请你帮助李先生谋划一下？
17、若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）。
A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°
18、某种商品因多种原因上涨25%，甲、乙两人分别在涨价前后花800元购买该商品，两人所购的件数相差10件，问该商品原售价是多少元？
19、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元.该工厂的生产能力为：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片可加工1吨；受人员限制，两种加工方式不能同时进行，受气温影响，牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此该加工厂设计了两种方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并保证4天完成.
你认为选择哪一种方案获利较多，为什么？
20、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆、建的总面积．
（1）求原计划拆、建面积各多少平方米？
（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？
21、福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条。
（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子？
（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？
22、学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用一笔钱购买奖品。若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可以买50份奖品。问：
（1）若用这笔钱全部购买钢笔,总共可以买几支?
（2）若王老师用这笔钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择几支钢笔和几本笔记本作为一份奖品？请你写出所有可能的情况供王老师选择。
23、某电脑公司有A、B、C三种型号的电脑，价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。东坡中学计划将100500元钱全部用于从该公司购进电脑，总共要其中两种不同型号的电脑36台。请你设计几种购买方案供该校选择，并说明理由。
第五篇易错辨析
第一章三角形的初步知识
（一）三角形中的线段
三角形是平面图形中最基本的图形之一，也是认识其他图形的前提，而和三角形有关的线段是学好三角形的重要基础，不少同学初学这部分内容时总有这样那样的错误发生，下面举例说明
易错点一：对三角形的高的定义理解不清
例1：如图1所示，作钝角△ABC的高AE
错解：如图2所示，AE为所求钝角△ABC的高。
正解：如图3所示，AE为所求钝角△ABC的高。
错因剖析：本题错解中的三种画法的原因都是对三角形的高的定义理解不透：图2中①未抓住垂线的重要特征，作出的AE与BC不垂直；图2中②混淆了高与垂线的定义，把“线段”作成了“射线”；图2中③应过点A向对边BC所在的直线作直线，而不是作AC的垂线。
易错点二：对三角形三边关系理解片面
例2有下列4组线段，
⑴1cm、2cm、3cm⑵8cm、5cm、2cm⑶3cm、4cm、3.5cm⑷2cm、4cm、8cm
以上能组成三角形有（）
A.1组B.2组C.3组D.4组
错解：由两边之和大于第三边可知：⑵、⑶组满足条件，所以选B
正解：用两边之和大于第三边去判断三条线段能否构成三角形时一定要用最短的两边之和去判断，⑵中最短的两边分别是2、5，很显然2＋5＜8，所以⑵无法构成三角形，而⑶完全满足条件。所以选A。
错因剖析：同学们在利用三角形的三边关系时容易片面地理解为只要有两条线段的和大于第三条线段，就可以构成一个三角形。其实，正确的理解应该是指任意两边的和都大于第三边，这样才能构成一个三角形。通常我们应用下面的两种方法去快速判断三条线段能否组成三角形：①是比较较短两边的和与最长边，若大于，可以组成，否则不能组成三角形；②是比较最长边与最短边的差与第三边，若小于，可以组成，否则不能组成三角形。
例3一个等腰三角形的周长为16cm，一腰上的中线把等腰三角形分成的两个三角形的周长之差为4cm，求等腰三角形的各边长。
错解：如图4所示，设等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD把△ABC分成△ABD和△CBD，所以△ABD和△CBD的周长之差等于AB与BC之差。
所以AB－BC＝4，设BC＝x，则AB＝AC＝x＋4，
所以2(x＋4)＋x＝16,解得x＝，
可得：BC＝(cm),，AB＝AC＝(cm)．
正解：除上之外还有一种情况：
如图4所示，若BC－AB＝4，设BC＝x,则AB－AC＝x－4，
因为2(x－4)＋x＝16，解得x＝8,
所以BC＝8,AB＝AC＝4．
因为边长为4，4，8的三条线段不能构成三角形，
所以这个等腰三角形的三边长分别为cm,cm,cm.
错因分析：本题由于分析时考虑欠周密而导致漏掉BC－AB＝4这种情况，虽然这种情况不存在，但必须经过分析说明。同时，由题意画出图形，以便思考和书写解题过程，这是正确的解题方法，但本题的错解中也忽略了这一步骤。
（二）关于三角形全等
一、审图不清导致错误
例1如图1所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，AB与AD相等吗？为什么？
错解：在△ABC与△ADC中，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，AC＝AC，根据“AAS“可得△ABC≌△ADC，所以AB＝AD。
误区点击：上述推理过程，没有认真结合图形来分析，错把∠3、∠4作为三角形的内角来参与证明，读题不细、审题不清是造成错误的直接原因。
正解：因为∠3是△ABC的外角，∠4是△ADC的外角，
所以∠ACB＝180°－∠3，∠ACD＝180°－∠4，又因为∠3＝∠4，
所以∠ACB＝∠ACD，
在△ABC与△ADC中，
AC＝AC，∠1＝∠2，∠ACB＝∠ACD，
所以△ABC≌△ADC（ASA），所以AB＝AD.
二、对应不清导致错误
例2如图2所示，已知△ABE≌△ACD，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角。
错解：对应边有：AB与AD，AE与AC，BD与CE，对应角有：∠BAD＝∠CAE
误区点击：本题错误的原因是观察图形的能力太差，未能准确地将两个全等三角形分离出来，并正确地找出其对应元素。全等三角形的对应边、对应角是严格对应的，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边，公共边是对应边，公共角是对应角。
正解：因为∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，
所以另一组对应角为∠BAE与∠CAD
因为∠B和∠C的对边分别是AE与AD，∠AEB与∠ADC的对边分别是AB与AC
所以对应边分别是：
AB与AC，AE与AD，BE与CD
三、条件混淆导致错误
例3如图3所示，AC、BD相交于E点，AD＝BC，∠C＝∠D，AC与BD相等吗？为什么？
错解：连接AB因为AD＝BC，AB＝AB，∠D＝∠C所以△ABD≌△BAC
所以BD＝AC
误区点击：可能受“AAS”的影响，凭空运用了“SSA”而在两个三角形中，两边和一个角相等的两个三角形不一定全等。
正解：在△AED和△BEC中
∠AED＝∠BEC，∠D＝∠C，AD＝BC，
所以△AED≌△BEC“AAS”，所以AE＝BE，DE＝CE，所以AE＋CE＝BE＋DE，即AC＝BD
第二章图形和变换
一、平移距离理解不透
例1如图1所示，请将图中的“蘑菇”向左平移6个格.
错解：如图1所示.
剖析：平移的距离是指任何两个对应点之间的距离，而不是两个图形之间的距离.错解的原因是把“蘑菇”向左平移6格误认为平移前后两个“蘑菇”相距6格，实际上应该是两对应点之间相距6格.
正解：如图2所示.
二、旋转角理解不透
例2如图3，等边△BDE是由等边△ABC经过旋转得到的.试判断旋转中心和旋转角及旋转方向.
错解：等边△BDE是由等边△ABC绕旋转中心B按逆时针方向旋转∠ABE的度数形成的.
剖析：旋转角是指对应点与旋转中心连线所组成的角.错解的原因在于没有正确找出对应顶点，从而把旋转角找错了.
正解：△BDE是由等边△ABC绕旋转中心B按逆时针方向，旋转∠DBA的度数形成的.
三、对平移的性质理解不透
例3下列说法中，不正确的是（）
A.图形平移前后，对应线段、对应角相等
B.图形平移前后，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等
C.图形平移过程中，对应线段一定平行
D.图形不论平移到何处，他与原图形总是全等的
错解：选B.
剖析：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.即经过平移，对应线段相等，对应角相等.容易知道，图形不论平移到何处，它与原图形总是重合的，也是全等的.只不过需要注意的是对应线段不一定总平行，还可能在同一条直线上.
正解：选C.
四、分析旋转作图时语言叙述不准确
例4分析图4的旋转现象.
错解：本题是由图案的绕图案中心分别旋转五次，每次旋转72°形成的.
剖析：分析旋转图案的方法：（1）找准旋转图案的基本图案；（2）找出旋转中心；（3）算准旋转的角度.
正解：图4是由一个基本图案“”绕图案中心依次旋转72°，144°，216°，288°而形成的.
五、忽视分类讨论
例6在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC绕点A旋转30°后与△AB1C1重合，求∠BAC1的度数.
错解：如图7，因为在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，所以∠BAC=75°.所以∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=75°+30°=105°.
剖析：本题将△ABC绕点A旋转30°，并未指明旋转方向，故应分两种情况，错解只考虑了一种情况.
正解：当△ABC绕点A逆时针方向旋转30°时，同错解；当△ABC绕点A顺时针方向旋转30°时，如图8，∠BAC1=∠BBAC－∠CAC1=75°－30°=45°.故∠BAC1的度数为105°或45°.
第三章事件的可能性
一、对可能性大小取决于可能性部分占总体的比例大小的理解不透彻
例1掷两枚同样大小的均匀的硬币,出现一正一反、两正、两反的可能性分别是多少？
错解:出现一正一反、两正、两反的可能性相同，都是
分析:错解的原因是对可能性大小的理解不透彻.如果把这两枚硬币编号为和,任意抛掷,应出现四种可能:A正、B正;A正、B反;A反、B反;A反、B正.也就是说出现一正一反的可能性应占,两正、两反的可能性各占.
正解：出现一正一反的可能性为出现两正、两反的可能性均为
二、判断不确定事件的可能性大小时出现错误
例2有一个转盘,由红、白、蓝三种颜色区域组成，试判断指针落在各颜色区域的可能性分别是多少？
错解:指针落在各颜色区域的可能性都是
分析:可能性的大小由转盘的三种颜色区域的面积各占总体的百分比来确定，错解的原因在于以为三种颜色区域的面积相等.
正解:本题由于不知道红、白、蓝三种颜色区域面积各占总体的百分比，所以无法确定指针落在各颜色区域的可能性大小，只有当转盘的三种颜色区域面积相等时，指针落在各颜色区域的可能性才都是
三、对概率的随机现象的误解
例3卖奖券时,商家说中奖率.小李想买1000张奖券,自认为一定能中奖,你认为他的想法正确吗?
错解:正确.
分析:错解的原因是对概率的随机现象的误解,概率是对随机现象的数学描述,并不提供确实无误的结论，这是由不确定现象的本质造成的.事实上,小李如果买了1000张奖券,也不一定能中奖,如果买1张奖券，也有可能中奖,这是无法预料的.
正解:他不一定中奖
第四章二元一次方程组
一、思维定势影响
例1为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的、两套楼房，套楼房在第3层楼，套楼房在第5层楼，套楼房的面积比套楼房的面积大24平方米，两套楼房的总房价相同，第3层楼和第5层楼每平方米的价格分别是平均价格的倍和倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设套楼房的面积为平方米，套楼房的面积为平方米，根据以上信息得出了下列方程组．其中正确的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
病例:A或B或C
专家把脉:错选B、C的原因是属思维定势(或习惯)的影响,把“B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米”理解成“x-y=24”;错选A的原因是对“第3层楼和第5层楼每平方米的价格分别是平均价格的1.1倍和0.9倍”这句话的理解产生偏差.
对症下药:D
二、单位不统一，错误理解题目中的等量关系
例2某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分；如果他以每小时75千米的速度行驶，那么可提前24分到达乙地，求甲、乙两地间的距离.
病例1:设从甲地到乙地的距离为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,
根据题意,得
病例2:设从甲地到乙地的距离为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,
根据题意,得
专家把脉:(1)错解1的解题过程错在方程的单位不统一,其中和t的时间单位是小时,而24分的单位是分.
(2)错解2的解题过程错在错误理解了题目中的等量关系,晚到24分说明时间用的多,应为;提前24分说明时间用的少,应为.
对症下药:设从甲地到乙地的距离为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,
根据题意,得解这个方程组,得
答:从甲地到乙地的距离为120千米.
三、忽视题目的隐含条件
例3.一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行,从相遇到离开需4秒,如果同时同向而行,从快车追上慢车到离开需16秒,求两车的速度.
病例:设快车速度为x米/秒,慢车速度为y米/秒.
则根据题,得即解得
答快车每秒种行驶26.75米，慢车每秒种行驶15.25米.
专家把脉:如果两车相向而行,则其相对速度为两车速度之和,如果两车同向而行,则其相对速度为两车速度之差,这一点并没有错.问题是在相对移动的过程汇总,移动的距离应为两火车的长度之和.
对症下药:设快车速度为x米/秒,慢车速度为y米/秒.
则根据题,得即解得
答：快车每秒种行驶55米，慢车每秒种行驶33米.
第五章整式的乘除
（一）关于幂运算
幂的运算是整式乘除的基础，由于对幂的运算法则理解不够深刻，概念模糊，互相混淆，常会导致各种错误，现就幂的运算中经常出现的失误，分类剖析如下：
一、同底数幂相乘
例1、计算：（1）；（2）；（3）；
错解：（1）；（2）=；
（3）=；
分析：（1）是由于把的指数误以为是0导致错误；
（2）偶数次幂应为正，混淆了与的区别导致错误；
（3）同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错
正解：（1）=；（2）=；
（3）=
二、同底数幂相除
例2、计算：（1）；（2）；（3）；（4）
错解：（1）=；（2）=；
（3）=；（4）=
分析：（1）由于把的指数误以为是0导致错误；
（2）偶数次幂应为正，混淆了与的区别导致错误；
（3）同底数幂相除，应底数不变，指数相减，而不是指数相除；
（4）（≠0）而不是为0
正解：（1）=；（2）=；
（3）=；（4）=
三、幂的乘方
例3、计算：（1）；（2）；（3）；
错解：（1）=；（2）=
（3）；
分析：（1）幂的乘方，应是底数不变，指数相乘，而不是指数相加；
（2）幂的乘方，应是底数不变，指数相乘，而不是指数乘方；
（3）偶数次幂应为正，根据乘方的意义
正解：（1）=；（2）=
（3）=；
四、积的乘方
例4、计算：（1）；（2）；（3）；
错解：（1）=；（2）=；
（3）=；
分析：（1）系数也应乘方为，而不是
（2）积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此也应4次方；
（3）积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，的2次方应为，而不是；
正解：（1）=；（2）=；
（3）=；
五、与幂有关的问题
例5、（1）；（2）如果，则的值为
错解：（1）1；（2）如果，则的值为；
分析：（1）题设中没有指明底数是否为0；
（2）考虑问题欠周全，只考虑到指数，而没有考虑到底数，应分情况讨论
正解：（1）当≠0时，1；当=0时，无意义；
（2）分情况讨论：①指数+2=0，即时，底数≠0，这时值为1；
②底数=1，即=1时，指数+2=3，这时值也为1；
③底数，即=0时，指数+2=2，这时值同样也为1；
所以的取值应为、0、1
错解：
分析：此题的解答中，在与之间出现了乘号连接，结果把相乘变成了相加关系处理，这样，整个计算结果就错了.
正解：
二、漏乘错误
例2计算：
错解：
分析：多项式与多项式相乘时，一定要按照顺序进行，以免发生漏乘某些项的错误，尤其要正确确定每两项相乘时积的符号.上题的解答，相乘时无一定顺序，因而发生漏乘错误.
正解：
.
说明：检查多项式相乘时是否有漏乘的方法是，在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式项数的积，符合上述规律的就没有漏乘.
三、运算结果不是最简形式
例3计算：.
错解：.
分析：运算结果中有同类项时，要先合并同类项，化成最简形式.
正解：.
四、顺序混乱
例4计算：.
错解：.
分析：此题错解中，一是有一符号错误，误将写成；二是方法不当，是指这里计算顺序混乱，这样容易出错.应根据多项式的乘法法则计算.
正解：.
（三）关于乘法公式
平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2在解题中的应用广泛，不少同学却存在着不少误区，因此不能正确地解答，下面列举几种。
误区一：a为正数
例1．计算：（－3+b）（－3－b）
分析：有的同学认为平方差公式中的a是正数，而题中的a为－3，是负数，所以不能使用平方差公式，这种想法是错误的，因为，虽然－3是负数，但在两个因式中完全相同，而b与－b互为相反数，可以使用平方差公式。
解：原式=（－3）2－b2=9－b2
误区二：a、b为单项式
例2．计算：（x+y－z+1）（x+y+z－1）
分析：有的同学认为平方差公式中的a、b为单项式，而题中的两个因式是多项式，所以不能使用平方差公式，其实不然，两个因式中的x+y是完全相同，－z+1与z－1互为相反数，故分组后，再用平方差公式计算。
解：原式=〔（x+y）－（z－1）〕〔（x+y）+（z－1）〕
=（x+y）2－（z－1）2=x2+2xy+y2－z2+2z－1
误区三：无差的因式不能使用平方差公式
例3．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（2n+1）
分析：有的同学认看到此题中没有差的因式，认为不能使用平方差公式，直接展开麻烦了，若仔细观察一下，添上因式（2－1），则可反复使用平方差公式计算。
解：原式=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（2n+1）
=（22－1）（22+1）（24+1）（28+1）……（2n+1）
=（24－1）（24+1）（28+1）……（2n+1）
=（28－1）（28+1）……（2n+1）
……
=22n－1
第六章因式分解
一、曲解概念,局部分解
例1分解因式:(x+y)2+(x+y)+.
错解:原式=(x+y)(x+y+1)+.
剖析:尽管结果的第一项是积的形式,但从整体上看还是和的形式.错因在于曲解了分解因式的意义,误认为只要结果中有整式的积即可,而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.
正解:原式=(x+y)2+(x+y)+=(x+y+)2.
二、提公因式,不翼而飞
例2分解因式:4a2b-6ab2+2ab.
错解:原式=2ab(2a-3b).
剖析:当各项的公因式恰与某一项相同(或互为相反数)时,提取公因式后,该项的位置必须由1(或-1)“留守”,而错解忽视了这一点,致使第三项“1”不翼而飞.
正解:原式=2ab(2a-3b+1).
三、盲目变换,符号出错
例3分解因式:3q(p-1)2-2(1-p)3.
错解:原式=3q(p-1)2-2(p-1)3=(p-1)2［3q-2(p-1)］
=(p-1)2(3q-2p+2).
剖析:错因在于把(1-p)3化为(p-1)3时出现了符号错误,误认为(1-p)3=(p-1)3.事实上,当n为偶数时,(1-p)n=(p-1)n;当n为奇数时,(1-p)n=-(p-1)n.所以本题中若选择把(p-1)2化为(1-p)2,可避免符号的干扰.
正解:原式=3q(1-p)2-2(1-p)3=(1-p)2(3q-2+2p).
四、忘记初衷,背道而驰
例4分解因式:(2x+y)2-(x-2y)2.
错解:原式=［(2x+y)+(x-2y)］［(2x+y)-(x-2y)］
=(3x-y)(x+3y)=3x2+8xy-3y2.
剖析:错解的最后一步与因式分解背道而驰,是整式乘法.这种走“回头路”的现象,其原因是混淆了分解因式与整式乘法的本质区别.对分解因式的目标就是“把多项式化为几个整式积的形式”不够明确.
正解:原式=(3x-y)(x+3y).
五、半途而废,前功尽弃
例5分解因式:(x2+4)2-16x2.
错解:原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(x2+4-4x).
剖析:错因在于分解因式不彻底.因为结果中的两个因式都是完全平方式,还可以继续分解.所以错解由于半途而废,而导致“前功尽弃”.
正解:原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2.
第七章分式
一、对字母认识不足而致错
例1判断是不是分式？
错解：因为中的分母含有字母π，所以是分式．
剖析：所谓字母是指用来表示数的26个英文字母，它们的取值具有可变性，而π是一个特定的数，不具有可变性，因此，不能说的分母含字母，所以不是分式，而是整式．
二、先约分造成的错误
例判断是不是分式？
错解：因为，而2x是整式，不是分式，所以不是分式．
剖析：判定一个代数式是不是分式应在没有作任何变形的情况下，根据定义进行判定，不能化简后再判断．显然，符合分式的定义，所以是分式．
例3要使分式无意义，x等于．
错解：约分，得，由分母x-3=0，解得x=3．
剖析：当x=3时，分式无意义没错，但除此之外，当x=-1时，分式的分母也是0，此时分式仍然没有意义，因此，漏掉了一个x=-1，造成漏解的原因是约分后才进行判断．
三、的值为零,则x的值为____.
错解:由分子=0,得x=1.所以当x=1时,分式的值为零.
剖析:分式值为零的条件是分子为零且分母不为零,即在首先保证分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.本例错解的原因在于忽视了x的取值应使分式有意义这一前提条件
正解:由分子=0,得x=1.但当x=-1时,分母x+1=0,分式无意义,故只能取x=1.
例x为何值时，分式的值为零？
错解：由分子｜x｜-5=0，得x=±5，故当x=±5时，分式的值等于0．
剖析：当x=5时，分母x2－6x＋5=25-30+5=0，分式没有意义，而没有意义的分式就不可能有为0的值．因此，x≠5；当x=-5时，分母x2－6x＋5=25+30+5=60≠0．故只有当x=-5时，分式的值才为0．
可见，解答分式的值为零的问题时，由分子等于零解出字母的值后，一定要注意检验分母的值是否为0？
.
错解:()里填2b.
剖析:分式的基本性质是分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分
式的值不变.造成上述错误的原因是将分式的基本性质与等式的基本性质相混淆,把分子1变为1+b,误为分子、分母都加上一个b的结果.而事实上,根据分式的基本性质,等式右边的分子1+b是由左边的分子1乘以1+b而得,所以左边的分母b也应乘以1+b,得b(1+b)=b+b2.故正确答案为b+b2.
六、对分式约分的实质理解不够
例7化简:.
错解:=.
剖析:约分是依据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,即分式的分子和分母同除以分子和分母的公因式.当分子或分母是多项式时,应先将它们分解因式,再约去分子、分母的公因式,而不是约去(或消去)分子和分母中相同的项.
正解:=.
七、符号处理不当
例8计算:.
错解:原式===.
剖析:错解中没有处理好2-x与x-2的关系,实际上2-x=-(x-2).在代数式的运算中,应处理好一些式子的关系,如a-b与b-a,a+b与-a-b分别互为相反数,(a-b)2与(b-a)2相等等.
正解:原式==
==.
八、运算顺序混乱
例9计算:.
错解:=.
剖析:错误在于只注意到了先把后面两个分式相乘较简便,而忽视了运算顺序.
正解:
==
九、忽视双重分母而致错
例x取何值时，分式有意义？
错解一：由分母x-1≠0，得x≠1，故当x≠1时，分式有意义；
错解二：由分母0，得x≠0，故当x≠0时，分式有意义．
剖析：错解一只考虑小分母而忽视大分母致错；错解二只考虑大分母而忽视小分母致错，正确的解法是既要考虑“小”分母又要考虑“大”分母，只有当x≠1且x≠0时，分式才有意义．
目标明确计划周密行动果断查漏补缺持之以恒——菇城居士
-5-
A
B
C
A
·P
B
C
·Cˊ
A
B
C
D
·O
E
C
B
A
D
A
B
C
D
第15题
方法一
方法二
方法三
B
A
m
A
C
B
D
B
A
D
F
C
E
12
A
B
C
D
E
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D(F)
O
C
B(E)
A(G)
图5
C
N
M
O
F
E
G
D
B
A
图7
C
N
M
O
F
G
D
B
A
C
B
A
图1
图2
E
D
图3
图4
图1图2图3
A
B
C
B1
C1
图8
A
B
C
B1
C1
图7
图4
E
图3
C
B
A
图2
E
图③
C
B
A
E
图②
C
B
A
E
图①
C
B
A
图1
C
B
A
A
D
B
C
1
2
3
4
图1
A
B
D
E
C
图2
C
B
A
D
E
图3
E
图6
A
F
B
C
E
E
F
C
A
B
图26
图b
图c
图a
③
②
①
B(E)
C
F
O
D
A
B(E)
F
A
O
D
C
B
D
F
E
A
C
图1
图3
图2
B
B
P
P
A
A
C
C
P
C
B
A
图1
C
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