专题2函数、导数及其应用
1．(2011·北京海淀)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，aR.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
[解析](1)因为f′(x)＝(ax＋a－1)ex，
所以当a＝1时，f′(x)＝xex，
令f′(x)＝0，则x＝0，
所以f(x)，f′(x)的变化情况如下表：所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.
(2)因为f′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f′(x)≥0，对x(0,1)恒成立．
又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x(0,1)恒成立即可，
解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x(0,1)恒成立，只要，即成立，解得a≥1.
解法二：因为x>0，所以只要a≥对x(0,1)恒成立，
因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，
所以只要a≥g(0)＝＝1.
2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
[解析]设重组后，该企业年利润为y万元，依题意得
y＝(2000－x)(3.5＋1－)－0.5x
＝－5(x＋)＋9000.81，
y＝－5(x＋)＋9000.81，(0
y＝－5(x＋)＋9000.81
≤－5×2＋9000.81＝8820.81，
当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．
即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．
3．(2011·皖南八校)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中aN，bN，cZ.
(1)若b>2a，且f(sinx)(xR)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2＋1)恒成立，且存在x0使得f(x0)<2(x＋1)成立，求c的值．
[解析](1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴方程为x＝－.
b>2a，且aN，bN，－<－1.
sinx∈[－1,1]，函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[－1,1]上为增函数．
于是f(sinx)的最大值为f(1)＝a＋b＋c＝2，
最小值为f(－1)＝a－b＋c＝－4，
由此可得b＝3.b>2a，且aN，
a＝1，从而c＝－2.
f(x)＝x2＋3x－2＝(x＋)2－.
即f(x)的最小值为－.
(2)令x＝1，代入4x≤f(x)≤2(x2＋1)得
f(1)＝4，即a＋b＋c＝4.从而b－4＝－a－c.
又由f(x)≥4x，得ax2＋(b－4)x＋c≥0.
a>0，故Δ＝(b－4)2－4ac≤0.
即(－a－c)2－4ac≤0，(a－c)2≤0.从而a＝c.
b≥0，a＋c≤4,2c≤4.
又a＝cN，c＝1或c＝2.
当c＝2时，b＝0，f(x)＝2x2＋2.此时x0不满足f(x0)<2(x＋1)．故c＝2不符合题意，舍去．
所以c＝1，经检验c＝1满足题意．
4．(2011·安徽理，16)设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
[解析]对f(x)求导得f′(x)＝ex.
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合，可知
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0
5．(2011·大纲全国卷文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x－12a－4(aR)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；
(2)若f(x)在x＝x0处取得最小值，x0(1,3)，求a的取值范围．
[解析](1)f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a
由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线经过点(2,2)．
(2)由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0
()当－－1≤a≤－1时，f(x)没有极小值．
()当a>－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得
x1＝a－，x2＝－a＋
故x0＝x2，由题设知，1<－a＋<3
当a>2－1时，不等式1<－a＋<3无解
当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3得－
综合()(ⅱ)得a的取值范围是(－，－－1)．
6．(2011·宁夏银川模拟)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n[－1,1]，m＋n≠0时，有>0.
(1)解不等式f(x＋)
(2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x[－1,1]，a[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
[解析](1)任取x1，x2[－1,1]，且x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝·(x2－x1)>0，
所以f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．
由f(x＋)
，解得0≤x<.
故不等式f(x＋)
(2)由于f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝1，所以f(x)≤t2－2at＋1对a[－1,1]，x[－1,1]总成立t2－2at＋1≥1对任意a[－1,1]总成立t2－2at≥0对任意a[－1,1]总成立．
把y＝t2－2at看作a的函数，由a[－1,1]知其图像是一线段．
所以t2－2at≥0对任意a[－1,1]总成立
?
?
?t≤－2或t＝0或t≥2.
7．(2011·徐州二模)已知函数f(x)＝(x2－3x＋)ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
[解析](1)因为f(x)＝(x2－3x＋)ex，
所以f(0)＝，
又f′(x)＝(2x－3)ex＋(x2－3x＋)ex＝(x2－x－)ex，所以f′(0)＝－，
所以函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程为：
y－＝－x，即3x＋4y－9＝0.
(2)由(1)得f(x)＝(x－)2ex，
f′(x)＝(x＋)(x－)ex.
当x变化时，函数f(x)，f′(x)在区间[－1,2]上的变化情况如下表：
x [－1，－) － (－，) (，2] f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值f(x)max＝max{f(－)，f(2)}，最小值f(x)min＝min{f(－1)，f()}．
f(2)－f(－)＝e2－4e－
＝<<0，
f()－f(－1)＝0－e－1<0，
f(x)max＝f(－)＝4e－，f(x)min＝f()＝0.
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