专题2函数、导数及其应用
第1讲函数的图像与性质
一、选择题
1．(文)(2011·海南五校联考)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()
A．－2B．－1C．1D．2
[答案]C
[解析]由已知得函数y＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，因此1－a＝0，a＝1，选C.
(理)(2011·重庆理，5)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()
A．(－∞，1]B．[－1，]
C．[0，)D．[1,2)
[答案]D
[解析]f(x)＝|ln(2－x)|
＝
所以当x(－∞，1)时，f(x)是减函数，
当x[1,2)时，f(x)是增函数，故选D.
[评析]本题亦可作出f(x)的图像，直接判定．
2．(文)(2011·浙江理，1)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝()
A.－4或－2B.－4或2
C．－2或4D．－2或2
[答案]B
[解析]当a≤0时，f(a)＝－a＝4，a＝－4；
当a>0时，f(a)＝a2＝4，a＝2.
综之：a＝－4或2，选B.
(理)(2011·广东理，4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数
[答案]A
[解析]f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，
f(x)＋|g(x)|为偶函数．选A.
3．(2011·广东文，4)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是()
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)
C．(－1,1)(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
[答案]C
[解析]要使函数有意义，则有，即，所以函数的定义域为(－1,1)(1，＋∞)．
4．(2011·宁波二模)函数f(x)的定义域为(－∞，1)(1，＋∞)，且f(x＋1)为奇函数，当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)图像的所有交点的横坐标之和是()
A．1B．2C．4D．5
[答案]D
[解析]本题考查函数单调性、奇偶性、对称性知识．结合函数图像，该函数图像与直线y＝2有三个交点，x1＝－1，x2＋x3＝6(其中x2，x3关于x＝3对称)，则横坐标之和为5.
5．(2010·山东理，4)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()
A．3B．1C．－1D．－3
[答案]D
[解析]f(x)是奇函数，f(0)＝0，即0＝20＋b，
b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，
f(－1)＝－f(1)＝－3.
6．(2011·厦门质检)以下四个函数图像错误的是()[答案]C
[解析]函数y＝log|x|的图像关于y轴对称，其图像向左平移1个单位可得函数y＝log|x＋1|的图像，其图像关于直线x＝－1对称，由此可知C选择支中的图像是不正确的，故应选C.
7．(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝()
A.B.
C. D．1
[答案]A
[解析]解法一：f(x)是奇函数且
f(x)＝＝
f(－x)＝＝－f(x)
＝
－(1－2a)＝1－2a，1－2a＝0，a＝.
解法二：f(x)的分子是奇函数
要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数
1－2a＝0，a＝.
(理)(2011·大纲全国卷理，9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝()
A．－B．－C. D.
[答案]A
[解析]f(－)＝f(－)＝－f()＝－.
8．(2011·山东理，9)函数y＝－2sinx的图像大致是()[答案]C
[解析]依题意f(x)是奇函数且f(0)＝0，则排除A.
令f(x)＝0，则－2sinx＝0，即sinx＝，
又－1≤sinx≤1，－4≤x≤4，
即方程f(x)＝0的零点在(－2π，2π)之间，则排除D.
又f′(x)＝－2cosx，则f′(x)＝0，即cosx＝，当xR时，x的值有无数个，即函数f(x)的极值点有无数个，则排除B.故选C.
二、填空题
9．(2011·龙岩质检题)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________.
[答案]－1
[解析]令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)．
10．(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
[答案]6
[解析]由g(x)＝f(x)＋9知g(－2)＝f(－2)＋9＝3，f(－2)＝－6，而由于f(x)是奇函数，
所以f(2)＝－f(－2)＝－(－6)＝6.
11．(文)(2011·武汉调研)若函数y＝f(x＋2)的图像过点P(－1,3)，则函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的图像一定过点________．
[答案](－1，－3)
[解析]依题意得f(－1＋2)＝3，f(1)＝3，即函数f(x)的图像一定过点(1,3)，因此函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的图像一定经过点(1,3)关于原点O的对称点(－1，－3)．
(理)(2011·南京一调)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：f(x)＝；f(x)＝2x；f(x)＝lg(x2＋2)；f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．
[答案]
[解析]对于，方程＝＋1，显然无实数解；对于，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝，显然存在x使等式成立，故填.
12．(文)(2011·安徽文，13)函数y＝的定义域是________．
[答案]{x|－3
[解析]由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，
即{x|－3
(理)(2011·湖南六校联考)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
[答案](－1，)
[解析]f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－1
三、解答题
13．(文)设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)
[解析](1)f(x)为R上的偶函数，
f(－a2＋2a－5)＝f[－(－a2＋2a－5)]
＝f(a2－2a＋5)．
不等式等价于f(a2－2a＋5)
a2－2a＋5＝(a－1)2＋4>0，
而2a2＋a＋1＝2(a＝)2＋>0.
f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图像关于y轴对称，
f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
由f(a2－2a＋5)
得a2－2a＋5>2a2＋a＋1a2＋3a－4<0
－4
实数a的取值范围是(－4,1)．
(理)已知函数f(x)＝(xR)为奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若f(x)＝k在(－∞，0)上有解，求实数k的范围．
[解析](1)令x＝0，得f(0)＝0，即0.5(m＋m－2)＝0，所以m＝1，
当m＝1时，f(x)＝＝－f(－x)，
所以当m＝1时，f(x)为奇函数，所以m＝1.
(2)k＝f(x)＝＝＝1－.
x∈(－∞，0)，1<2x＋1<2.
1>>，－1
14．(2011·山东日照质检题)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．
[解析](1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.
令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)
＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)<0.
f(x)为减函数．
(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．
f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]
＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，
f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.
于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.
15．(2011·盐城模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
[解析](1)由题意知：a＝1，b＝0，
f(x)＝x2＋2x.
设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.
点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，
－y＝x2－2x.y＝－x2＋2x.
g(x)＝－x2＋2x.
(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)
＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，
F(x)在(－1,1]上是增函数且连续，
F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，
即λ≤＝－1在(－1,1]上恒成立，
由－1在(－1,1]上为减函数，
当x＝1时取最小值0，
故λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0]．
1
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