专题2函数、导数及其应用
第2讲基本初等函数
一、选择题
1．(2011·北京文，3)如果logx
A．y
C．1
[答案]D
[解析]logx
2．(2011·山东理，3)若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为()
A． B.
C.1 D.
[答案]D
[解析]依题意：9＝3a，a＝2，tan＝tan＝，故选D.
3．(文)(2011·全国新课标理，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()
A．y＝x3B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|
[答案]B
[解析]对于A，y＝x3不是偶函数，A错误；B正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B.
(理)(2011·安徽文，5)若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是()
A．(，b)B．(10a,1－b)
C．(，b＋1)D．(a2,2b)
[答案]D
[解析]由题意知b＝lga，
对于A选项，lg＝－lga＝－b≠b，
对B选项lg(10a)＝1＋lga＝1＋b≠1－b.
对C选项lg＝1－lga＝1－b≠b＋1，
对D，lga2＝2lga＝2b，故(a2,2b)在图像上．
4．(2010·湖北文，3)已知函数f(x)＝，则f(f())＝()
A．4B.
C．－4D．－
[答案]B
[解析]f()＝log3＝－2<0
f(f())＝f(－2)＝2－2＝.
5．(2011·成都一诊)若x(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()
A．a
C．b
[答案]C
[解析]由x∈(e－1,1)得－10，a>b，a－c＝lnx(1－ln2x)<0，a
6．(2011·湘潭五模)已知函数f(x)＝，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()
A．(1,2)B．(2,3)
C．(2,3]D．(2，＋∞)
[答案]C
[解析]由题可知，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以，解得2
7．(2011·南昌一模)已知实数a，b(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是()
A．1B．2C．3D．4
[答案]B
[解析]设x＝2a，则有x(1,2)．依题意得M＝2a＋21－a＝2a＋＝x＋.易知函数y＝x＋在(1，)上是减函数，在(，2)上是增函数．因此有2≤M<3，M的整数部分是2，选B.
8．(文)(2011·天津文，5)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则()
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>a>cD．c>a>b
[答案]B
[解析]a＝log23.6>1，c＝log43.6<1.a>c.
又c＝log43.6>log43.2＝b.a>c>b.
(理)(2011·天津理，7)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log20.3，则()
A．a>b>cB．b>a>c
C．a>c>bD．c>a>b
[答案]C
[解析]a＝5log23.4，b＝5log43.6＝5log2，c＝()log20.3＝5log2，显然有log23.4>log2>log2，由对数函数、指数函数单调性，有a>c>b，故选C.
二、填空题
9．(2011·四川理，13)计算(lg－lg25)÷100－＝________.
[答案]－20
[解析]原式＝lg0.01÷100－＝lg0.01÷
＝－2×10＝－20.
10．函数y＝()2x－x2的值域为__________．
[答案][，＋∞)
[解析]令t＝2x－x2，得t(－∞，1]，
y＝()t的值域为[，＋∞)．
11．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．[答案]1
[解析]结合f(x)与g(x)的图像，h(x)＝易知h(x)的最大值为h(2)＝1.
12．已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q＝[，)，PQ＝(－2,3]，则实数a的值为__________；
(2)若P∩Q＝，则实数a的取值范围为__________．
[答案](1)a＝－(2)a≤－4
[解析](1)f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为ax2－2x＋2>0的解集，而P∩Q＝[，)，PQ＝(－2，3]，可知－2为ax2－2x＋2＝0的一个根，将x＝－2代入ax2－2x＋2＝0得a＝－.
(2)由P∩Q＝，可知
?a≤－4.
三、解答题
13．(2011·江苏镇江)定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并给予证明．
[解析](1)当x(－1,0)时，－x(0,1)．
f(x)为奇函数，
f(x)＝－f(－x)＝＝－.
又f(0)＝－f(－0)＝－f(0)f(0)＝0，
f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，f(－1)＝－f(1)．
f(1)＝－f(－1)＝f(－1)＝0.
f(x)＝.
(2)f(x)在(0,1)上是减函数．
证明如下：
设0
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
x10.
又当00，
f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
f(x)在(0,1)上单调递减．
14．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．
[解析](1)当对称轴x＝a<0时，如图所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，a＝－1；
(1)当对称轴0≤a≤1时，如图所示．
当x＝a时，y有最大值，
ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.
a2－a＋1＝2，解得a＝.
0≤a≤1，a＝(舍去)；
(3)对称轴x＝a，当a>1时，如图所示．
当x＝1时，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，
a＝2，且满足a>1，a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
15．(2011·上海理，20)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
[解析](1)当a>0，b>0时，任意x1，x2R，x1
2x1<2x2，a>0a(2x1－2x2)<0,3x1<3x2，b>0b(3x1－3x2)<0，
f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
当a<0，b>0时，()x>－，则x>log1.5(－)；
当a>0，b<0时，()x<－，则x
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