专题2函数、导数及其应用
第3讲函数与方程及函数的实际应用
一、选择题
1．(2011·合肥质检)函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为()
A．0B．1C．2D．3
[答案]B
[解析]作出函数y＝lnx和y＝1－2x的图像，可看出交点只有一个．故选B.
2．(2011·南昌调研)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为()
A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.05)，f(0.125)
[答案]A
[解析]由f(0)<0，f(0.5)>0.则在(0,0.5)内必有一个零点，故在下一次应计算f(0.25)，故选A.
3．(2010·上海理，17)若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间()
A.B.
C. D.
[答案]C
[解析]令f(x)＝x－x，f(1)＝－1＝－<0，
f＝－<0，
f＝－>0，
f＝－＝－<0，
f(x)在区间内有零点．
4．(2011·北京理，6)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()
A．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
[答案]D
[解析]依题意：当x≤A时，f(x)单调递减；当x≥A时，f(x)恒为常数．
因此，＝30，＝15，解得：c＝60，A＝16，故选D.
5．(文)(2011·海淀期末)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为()
A．0B．1C．2D．3
[答案]C
[解析]由题意知，所求零点的个数即函数y1＝|x－2|的图像与函数y2＝lnx的图像交点的个数，y1、y2的图像如图所示，显然二者有两个交点，故选C.
(理)(2011·陕西二检)方程sinx＝|lgx|的根的个数是()
A．5B．4C．3D．2
[答案]B
[解析]如图，分别画出函数y＝sinx和y＝|lgx|的图像，显然，当01时，因为y＝sinx[－1,1]，故可只考虑函数y＝|lgx|在区间[1,10]上的图像，由图可知，在区间[1,10]上这两个函数的图像有三个公共点．综上所述，两个函数图像有四个公共点，即方程sinx＝|lgx|有四个不同的实根，故选B.6．(2011·襄阳一调)利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()
A．240B．200C．180D．160
[答案]B
[解析]依题意得每吨的成本是＝＋－30，则≥2－30＝10，当且仅当＝，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.
7．(2011·山东济宁)已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－4][4，＋∞)B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)D．[4，＋∞)
[答案]D
[解析]由题意知，log2(a－2x)＝2－x有解，
即a－2x＝22－x有解，也即a＝2x＋4·2－x，
2x＋4·2－x≥4，a≥4.故选D.
8．(2011·绍兴模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，bR且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a－b的取值范围为()
A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1)D．(－1,1)
[答案]B
[解析]函数f(x)＝ax2＋bx－1(a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，结合二次函数的图像知，即满足，所以a－b的取值范围即为：满足可行域内的点P(a，b)的目标函数z＝a－b的取值范围，作出可行域如图：当b＝a－z的一族平行线经过可行域时，目标函数z＝a－b在点(0,1)处取得最小值－1，最大值趋向正无穷，故答案选B.
二、填空题
9．(2011·芜湖模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围________．
[答案](0,1)
[解析]函数f(x)的图像如图所示：当0
10．关于x的方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，则a的取值范围为________．
[答案](－1,1]
[解析]原方程可化为a＝sinx－cos2x，
令y＝sinx－cos2x，
则y＝sin2x＋sinx－1＝(sinx＋)2－，
x∈(0，]，0
因为方程有解，所以a(－1,1]．
11．(2010·浙江文，16)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．
[答案]20
[解析]本题考查了不等式的实际应用．
由题意列出不等式：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000(x>0)
整理可得：x2＋300x－6400≥0，解之得，x≥20.
x的最小值为20.
12．若抛物线y＝－x2＋mx－1和两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围为________．
[答案](3，]
[解析]线段AB的方程为y＝－x＋3(0≤x≤3)．
由消去y得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)．
抛物线与线段AB有两个不同的交点，
x2－(m＋1)x＋4＝0在[0,3]上有两个不同的解．
设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，
则f(x)的图像在[0,3]上与x轴有两个不同的交点，
解得3＜m≤.
三、解答题
13．如图所示是函数y＝()x和y＝3x2图像的一部分，其中x＝x1，x2(－1
当x
当x>x2时，()x<3x2，
试判断命题的真假并说明理由；
(2)求证：x2(0,1)．
[解析](1)当x＝－8时，
()－8＝28＝256,3×(－8)2＝192，
此时()－8>3×(－8)2，故命题是假命题．
又当x(0，＋∞)时，y＝()x是减函数，y＝3x2是增函数，故命题是真命题．
(2)证明：令f(x)＝3x2－()x，
则f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
f(x)在区间(0,1)内有零点，
又函数f(x)＝3x2－()x在区间(0，＋∞)上单调递增，x2∈(0,1)．
14．(2011·佛山质检)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中ab＝12.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
[解析](1)由题可得：xy＝1800，b＝2a，
则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a
＝(3x－16)·＝1832－6x－y.
(2)S＝1832－6x－y≤1832－2
＝1832－480＝1352，
当且仅当6x＝y，即x＝40米，y＝45米时，
S取得最大值1352平方米．
15．(2011·湖北理，17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解析](1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)
≤[]2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
1
|
|
