专题3三角函数与平面向量
1．(2011·湖南六校联考)已知在ABC中，cosA＝，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．
(1)求tan2A的值；
(2)若sin(＋B)＝，c＝2，求ABC的面积．
[解析](1)因为cosA＝，A(0，π)，
所以sinA＝，则tanA＝.
所以tan2A＝＝2.
(2)由sin(＋B)＝，得cosB＝，
又B(0，π)，所以sinB＝.
则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
由正弦定理知a＝＝2，所以ABC的面积为
S＝acsinB＝.
2．(2011·福建福州质检)已知向量m＝(1，cosA)，n＝(sinAcosB，sinB)，m·n＝sin2C，且A，B，C分别是ABC的三边a，b，c所对的角．
(1)求角C的大小；
(2)设sinA，sinC，sinB成等比数列，且·(－)＝8，求边c的值．
[解析](1)由题知，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA
＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.
又m·n＝sin2C，sin2C＝sinC，
sinC(2cosC－1)＝0，0
cosC＝，C＝.
(2)sinA，sinC，sinB成等比数列，
sin2C＝sinA·sinB.
根据正弦定理得，c2＝ab.
·(－)＝·＝8，bacosC＝8.
ab＝16，c2＝16，c＝4.
3．(2011·合肥二模)设函数f(x)＝sin－2cos2.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．
[解析](1)f(x)＝sinx－cosx－1
＝sin－1，
T＝＝6，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，kZ，得－＋6k≤x≤＋6k，kZ，
所以函数f(x)的最小正周期是6，单调递增区间为[－＋6k，＋6k]，kZ.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
当x＝[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值即为x[3,4]时y＝f(x)的最大值，
此时x－[，π]，sin(x－)[0，]，
f(x)[－1，]，
即此时函数y＝g(x)的最大值为.
4．(2011·西安二模)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且mn.
(1)求角A的大小；
(2)记B＝x，作出函数y＝2sin2x＋cos的图像．
[解析](1)由mn得，(2b－c)·cosA－acosC＝0，
由正弦定理得：2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，
2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
A，B(0，π)，sinB≠0，cosA＝，A＝.
(2)y＝2sin2x＋cos(－2x)＝2sin2x＋cos2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝sin(2x－)＋1，
B＝x，由(1)知x(0，)．
列表：
x 0 y 1 2 1 函数y＝2sin2x＋cos(－2x)的图像如图所示．
5．(2011·南昌模拟)已知m＝(cos，sin＋cos)，n＝(2sin，sin－cos)，其中ω>0，其中ω>0，若函数f(x)＝m·n的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析](1)由题意知，f(x)＝m·n＝2sincos－cos2＋sin2
＝sinωx－cosωx＝2sin(ωx－)．
函数f(x)的周期T＝π，ω＝＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x－)．x∈[－，]，
易知f(x)＝2sin(2x－)在区间[－，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，
当x＝时，f(x)取最大值2；
当x＝－时，f(x)取最小值－.
6．(2011·上海十三校联考)在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边的长，已知tanB＝，cosC＝，b＝3.求边AB的长与ABC的面积．
[解析]在ABC中，因为tanB＝，cosC＝，
则sinB＝，sinC＝＝.
由正弦定理＝得＝，
解得c＝8.即AB＝8.
又A＋B＋C＝π，则
sinA＝sin(C＋B)＝sinCcosB＋cosCsinB，
因为cosB＝，则sinA＝，
SABC＝bcsinA＝6＋8.
综上，AB＝8，SABC＝6＋8.
7．(2011·太原二模)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan2α的值．
[解析](1)b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，
f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．
令t＝sinx＋cosx，
则2sinxcosx＝t2－1，且－1
则y＝f(x)＝t2＋t－1＝2－，－1
t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－.
由于
所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)a与b的夹角为，
cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．
0<α
a⊥c，cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.
sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin＋2sin2α＝0.
sin2α＋cos2α＝0，tan2α＝－.
8．(2011·浙江宁波)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cosθ＝，求f(4θ)的值．
[解析](1)由题意可得：A＝2，＝2π，
即＝4π，ω＝，
f(x)＝2sin，f(0)＝2sinφ＝1，
由|φ|<，φ＝.
f(x0)＝2sin＝2，
所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋(kZ)，
又x0是最小的正数，x0＝.
(2)f(4θ)＝2sin＝sin2θ＋cos2θ，
θ∈，cosθ＝，sinθ＝，
cos2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
f(4θ)＝·－＝－.
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