专题3三角函数与平面向量
第1讲三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2011·北京海淀)函数f(x)＝sin的图像的对称轴方程可以是()
A．x＝B．x＝π
C．x＝D．x＝
[答案]A
[解析]令2x＋＝kπ＋，kZ，可得x＝π＋，kZ，取k＝0可得函数f(x)的一条对称轴方程为x＝，故选A.
2．(2011·山东济南)函数f(x)＝tanx＋，x{x|－
[解析]据已知易知函数为奇函数，故其图像关于原点对称，排除B，C选项．又当00，排除D，故选A.
3．(2011·长沙二模)若将函数y＝sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图像重合，则ω的最小值为()
A．1B．2
C.D.
[答案]D
[解析]y＝sin
y＝sin＝sin，
－ω＋2kπ＝，ω＝8k－(kZ)，
又ω>0，ωmin＝.
4．(2011·湖北理，3)已知函数f(x)＝sinx－cosx，xR，若f(x)≥1，则x的取值范围为()
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，kZ} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，kZ}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，kZ} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ}
[答案]B
[解析]f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)，
f(x)≥1即sin(x－)≥.
2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
2kπ＋≤x≤2kπ＋π，kZ.
5．(2011·陕西文，6)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()
A．没有根B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根D．有无穷多个根
[答案]C
[解析]画出函数图像，易知有两个交点，即|x|＝cosx有两个根．6．(2010·四川)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是()
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sinx－
[答案]C
[解析]y＝sin.
7．(2011·郑州4月考)已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2cos(－)B．f(x)＝cos(4x＋)
C．f(x)＝2sin(－)D．f(x)＝2sin(4x＋)
[答案]A
[解析]由图像A＝1，＝π－π＝π，
T＝4π，ω＝.排除B、D.
又f(x)过B(0,1)，代入验证知选A.
8．(2011·沈阳模拟)下列命题中正确的是()
A．设f(x)＝sin，则x∈，必有f(x)
B．x0∈R，使得sinx0＋cosx0>1
C．设f(x)＝cos，则函数y＝f是奇函数
D．设f(x)＝2sin2x，则f＝2sin
[答案]C
[解析]f(x)＝sin在上有增有减，因此A不正确；sinx0＋cosx0＝sin≤1，故B不正确；y＝f＝cos＝－sinx，为奇函数，故C正确；f＝2sin＝2sin，故D不正确．
二、填空题
9．(文)(2011·重庆文，12)若cosα＝－，且α(π，)，则tanα＝________.
[答案]
[解析]cosα＝－，α(π，)，
sinα＝－，tanα＝.
(理)(2011·重庆理，14)已知sinα＝＋cosα，且α(0，)，则的值为________．
[答案]－
[解析]由得，
2cos2α＋cosα－＝0，
cosα＝－＋(α(0，))，sinα＝＋，
＝
＝－(sinα＋cosα)＝－.
10．(2011·江苏，9)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________．[答案]
[解析]由图像可知，A＝，＝，
T＝π，ω＝2，则y＝sin(2x＋φ)，
将(π，－)代入，解之得φ＝，
从而y＝sin(2x＋)，f(0)＝.
11．(2011·济南三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________________.
[答案]sin(x＋)
[解析]由题知两个相邻的最高点与最低点的距离为2，f(x)max－f(x)min＝2，结合图像由勾股定理可得周期T＝4，ω＝＝，
又函数f(x)过点(2，－)，所以sin(π＋φ)＝－，
又因为－≤φ≤，所以φ＝，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(x＋)．
12．(2011·安徽文，15)设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，bR，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切xR恒成立，则
f()＝0
|f()|<|f()|
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
f(x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](kZ)
⑤存在经过点(a，b)的直线与函数的图像f(x)不相交
以上结论正确的是________(写出正确结论的编号)．
[答案]
[解析]f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)(tanφ＝)
f(x)≤|f()|，fmax(x)＝|f()|
当x＝时，sin(2x＋φ)＝±1
即2×＋φ＝kπ＋，kZ，φ＝kπ＋，kZ
∴f(x)＝
f(π)＝sin(2×π＋kπ＋)＝sin(2π＋kπ)＝0，正确
|f()|＝|sin(2×＋)|
＝sin(＋)＝sin
|f()|＝|sin(2×＋)|
＝sin，|f()|＝|f()|，故错
φ＝kπ＋，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确．
当k为偶数时，f(x)＝(2x＋)
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ，
kπ－≤x≤kπ＋，kZ.
∴增区间是[kπ－，kπ＋]kZ.
当k为奇数时，f(x)＝－(2x＋)，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，kZ，
kπ＋≤x≤kπ＋，kZ，
增区间是[kπ＋，kπ＋]，kZ，故错．
错，要经过(a，b)点的直线与f(x)图像不相交，直线平行于x轴，而f(x)的振幅>|b|，f(x)与直线必有交点，故错．
三、解答题
13．(2010·北京理，15)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析](1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
＝4cosx－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x
＝2sin
f(x)的最小正周期为π.
(2)当x时，2x＋，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取到最大值2；当2x＋＝－即x＝－时，f(x)取到最小值－1.
f(x)的最大值和最小值分别是2和－1.
14．(文)(2011·广东理，16)已知函数f(x)＝2sin(x－)，xR.
(1)求f()的值；
(2)设α，β[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
[解析](1)f＝2sin＝2sin
＝2×＝.
(2)f＝2sin
＝2sinα＝，sinα＝.
f(3β＋2π)＝2sin
＝2sin＝2cosβ＝，cosβ＝.
α，β，cosα＝＝，
sinβ＝＝，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
(理)(2011·四川理，17)已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，xR.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
[解析](1)f(x)＝sin(x＋－2π)＋sin(x－＋)＝sin(x－)＋sin(x－)＝2sin(x－)
T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，
cosβcosα－sinβsinα＝－.
两式相加得2cosβcosα＝0.
0<α<β≤，β＝.
[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
15．(2011·东北三省三校)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x(xR)．
(1)求f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；
(2)令g(x)＝f－1，若g(x)
[解析](1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1，其最小正周期是T＝＝π，又当2x＋＝－＋2kπ，即x＝kπ－(kZ)时，sin取得最小值－1，所以函数f(x)的最小值是1－，此时x的集合为{x|x＝kπ－，kZ}．
(2)g(x)＝f－1＝sin
＝sin＝cos2x.
由x，得2x，则
cos2x，
g(x)＝cos2x，
若g(x)
则a－2>g(x)max＝，a>2＋.
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