专题3三角函数与平面向量
第2讲三角变换及解三角形
一、选择题
1．(2011·辽宁理，4)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝()
A．2B．2
C.D.
[答案]D
[解析]asinAsinB＋bcos2A＝a，
sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
sinB＝sinA，b＝a，＝.
2．(2011·福建理，3)若tanα＝3，则的值等于()
A．2B．3
C．4D．6
[答案]D
[解析]由＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.
3．(2011·浙江理，6)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝()
A.B.－
C.D.－
[答案]C
[解析](＋α)－(－)＝α＋，
cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
0<α<，－<β<0，
<＋α<，<－<.
又cos(＋α)＝，cos(－)＝，
sin(＋α)＝，sin(－)＝.
cos(α＋)＝×＋×＝，选C.
4．(2011·四川理，6)在ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()
A．(0，]B．[，π)
C．(0，]D．[，π)
[答案]C
[解析]sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，
由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
由余弦定理得：cosA＝≥≥，
0
5．(2011·新课标理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()
A．－B．－
C.D.
[答案]B
[解析]依题意：tanθ＝2，cosθ＝±，
cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或
cos2θ＝＝＝－，故选B.
6．(2010·湖南理，6)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则()
A．a>bB．a
C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定
[答案]A
[解析]C＝120°，c＝a，
在ABC中，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab
将c＝a代入上式得
2a2＝a2＋b2＋ab，a2＝b2＋ab，
a2－b2＝ab>0，a>b.
7．(2011·天津理，6)如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()
A.B.
C. D.
[答案]D
[解析]如图，根据条件，设BD＝2
在ABC中，由正弦定理：
＝
在ABD中，由余弦定理：cosA＝＝，
sinA＝
sinC＝＝＝＝＝，故选D.
8．(2011·浙江五校二次联考)若ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，SABC＝2，则b＝()
A．5B．25
C.D．5
[答案]A
[解析]解法一：由SABC＝acsin45°＝2c＝4，
再由余弦定理可得b＝5.
解法二：作三角形ABC中AB边上的高CD，
在RtBDC中求得高CD＝，结合面积求得
AB＝4，AD＝，从而b＝＝5.
二、填空题
9．(2011·江苏启东中学模拟)在ABC中，BC＝1，B＝，当ABC的面积等于时，tanC＝________.
[答案]－2
[解析]SABC＝acsinB＝，
c＝4.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13，
cosC＝＝－，sinC＝，
tanC＝－＝－2.
10．(2010·山东理，15)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
[答案]
[解析]sinB＋cosB＝sin＝，
0
又＝，sinA＝，a
11．(文)(2011·江西文，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝________.
[答案]－8
[解析]|OP|＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，
又sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，
可知θ为第四象限角，y＝－8.
(理)(2011·上海理，8)函数y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值为________．
[答案]
[解析]y＝sin(＋x)cos(－x)
＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx
＝·＋sin2x＝(cos2x＋sin2x＋)＝sin(2x＋)＋，
故最大值为.
12．(2011·安徽理，14)已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为________．
[答案]15
[解析]设三角形的三边依次为a－4，a，a＋4，最大角为θ.由余弦定理得
(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，
则a＝10，所以三边长为6,10,14，
SABC＝×6×10×sin120°＝15.
三、解答题
13．(文)(2011·江苏，15)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
[解析](1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.
因为0
(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得
a2＝b2－c2，
故ABC是直角三角形，且B＝.
所以sinC＝cosA＝.
(理)(2011·湖北理，16)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
(1)求ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
[解析](1)c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，c＝2.
ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)cosC＝，sinC＝＝＝.sinA＝＝＝.
a
cosA＝＝＝，
cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.
14．(文)(2011·江西文，17)在ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
[解析](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，
即cosA＝
(2)由cosA＝得sinA＝
则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，从而得
sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝(0<φ<)
则C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理得c＝＝.
(理)(2011·江西理，17)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sinC＋cosC＝1－sin
(1)求sinC的值
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值
[解析](1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，
即sin(2cos＋1)＝2sin2
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，
即sin－cos＝，
两边平方得：sinC＝.
(2)由sin－cos＝>0得<<，
即
由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，得a＝2，b＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，
所以c＝＋1.
15．(2011年5月南通、扬州、泰州)已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是ABC的内角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状．
[解析](1)因为mn，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因为A(0，π)，所以2A－.
故2A－＝，A＝.
(2)设角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.
而b2＋c2≥2bc，bc＋4≥2bc，bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以SABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，
当ABC的面积取最大值时，b＝c.
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．
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