《圆》全章要点
1．本单元数学的主要内容．
（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．
（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．
（3）正多边形和圆．
（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．
教学重点
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．
4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．
5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6．直线L和⊙O相交dr及其运用．
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．
10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│
11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．
12．n°的圆心角所对的弧长为L=，n°的圆心角的扇形面积是S扇形=及其运用这两个公式进行计算．
圆锥的侧面积和全面积的计算．
教学难点
1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．
2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题．
3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．
4．点与圆的位置关系的应用．
5．三点确定一个圆的探索及应用．
6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．
7．切线的判定定理与性质定理的运用．
8．切线长定理的探索与运用．
9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．
10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．
11．n的圆心角所对的弧长L=及S扇形＝的公式的应用．
12．圆锥侧面展开图的理解．
教学关键
1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．
2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．
3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．
24．1圆
第一课时
教学内容
1．圆的有关概念．
2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．
因此，我们可以得到：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，，，即直径CD平分弦AB，并且平分及．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
24.1圆(第2课时)
教学内容
1．圆心角的概念．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．
探索新知
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
五、归纳总结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
24.1圆(第3课时)
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
探索新知
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
归纳小结
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
24.2与圆有关的位置关系(第1课时)
教学内容
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d
2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．
4．反证法的证明思路．
重难点、关键
1．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．
2．难点：讲授反证法的证明思路．
3．关键：由一点、二点、三点、四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．
探索新知
由上面的画图以及所学知识，我们可知：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d
则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d
如果d>r点P在圆外；如果d=r点P在圆上；如果d
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
过同一直线上的三点不能作圆．
24.2与圆有关的位置关系(第2课时)
教学内容
1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d
直线L和⊙O相交dr．
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
重难点、关键
1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
探索新知
直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
直线L和⊙O相交dr，如图（c）所示．
因为d=r直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线．
有切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径．
24.2与圆有关的位置关系(第3课时)
教学内容
1．切线长的概念．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．
重难点、关键
1．重点：切线长定理及其运用．
2．难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
探索新知
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
24.2与圆有关的位置关系(第4课时)
教学内容
1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念．
2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交│r1-r2│
内切d=│r1-r2│
内含0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）
2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1r1+r2外切d=r1+r22-r1；内含0≤d
24.3正多边形和圆
教学内容
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．
3．正多边形的画法．
重难点、关键
1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
探索新知
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
24.4弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念；
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；
4．应用以上内容解决一些具体题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
探索新知
设圆的半径为R，则：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______．2°的圆心角所对的弧长是______．4°的圆心角所对的弧长是_______．……n°的圆心角所对的弧长是_______．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
n°的圆心角所对的弧长为结合圆心面积S=R2的公式，设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形S
24.4弧长和扇形面积(第2课时)
教学内容
1．圆锥母线的概念．
2．圆锥侧面积的计算方法．
3．计算圆锥全面积的计算方法．
4．应用它们解决实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
2．难点：探索两个公式的由来．
3．关键：你通过剪母线变成面的过程．
探索新知
把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．
很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=，其中n可由2r=求得：n=，∴扇形面积S==rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．
分析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形．
6
设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，
则有：点P在圆外d>r
点P在圆上d=r
点P在圆内d
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