等腰三角形知识点及考点评析
知识要点1
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
2、相等的两边叫腰，另一条边叫底边．如AB、AC叫腰，BC叫底边．
3、两腰所夹的角，如∠BAC叫做顶角，底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．
4、顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．
5、等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）．
6、等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）．
7、等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
8、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
知识要点2
1、__________________的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形是轴对称图形，顶角__________________是它的对称轴。等边三角形有__________________条对称轴。
3、等腰三角形的两个__________________相等。等腰三角形的顶角平分线、__________________和__________________互相重合。
如果一个是三角形有__________________角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
4、三边都相等的三角形叫做_________。____________三角形的内角都相等，且等于________度。
5、有一个角是直角的三角形叫做___________，记做_______。两条直角边_________的直角三角形叫做等腰直角三角形。
6、直角三角形的性质：
（1）在直角三角形中，两个锐角__________。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的___________。
（3）勾股定理：直角三角形______________的平方和等于___________的平方。如果用字母a，b，c分别表示两条直角边和斜边，那么有关系式__________________。
7、直角三角形的判定：
（1）有两个角__________的三角形是直角三角形。
（2）如果三角形中两边的_______________等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
8、______________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
9、角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的_______________上。
10、主要方法和技能：
（1）运用等腰三角形、直角三角形的性质，进行简单的推理。
（2）等腰三角形和直角三角形的判定。
（3）判定两个直角三角形全等。
（4）有关等腰三角形和直角三角形的尺规作图。
典例评析
考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用
例1.（1）若等腰三角形的一个外为，则它的底角为度．×70°＝35°或顶角是180°－70°＝110°，则底角是（180°－110°）＝35°；若它是底角的外角，则底角为110°，但是两个底角的和为220°＞180°，所以这种情况不合理．（2）根据三角形的三边关系可知当以3cm为腰时，不能组成三角形，所以只能以3cm为底边，6cm为腰，所以其周长为6＋6＋3＝15cm．
解：（1）35（2）C
例2.已知：如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC＝BC．试求∠A的度数．
分析：本题关键是用“等边对等角”来建立各角之间的关系，然后借助三角形内角和建立等量关系，从而解决问题．
解：设∠A＝x，因为AD＝DC，
所以∠DCA＝∠A＝x（等边对等角）．
所以∠BDC＝∠A＋∠DCA＝2x（三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和）．
又因为DC＝BC，
所以∠B＝∠BDC＝2x（等边对等角）．
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠ACB＝2x（等边对等角）．
因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和等于180°），
所以x＋2x＋2x＝180°，
即x＝36°，所以∠A＝36°．
针对性练习
1、请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
2、在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。
3、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。
考点二：三线合一、实际应用的图形转换
例3.如图所示，已知D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．试说明：BD＝CE．
分析：本题可以通过△ABD≌△ACE来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线合一”来证明结论，就更为简捷．
解：作AF⊥BC于F．
因为AB＝AC，AF⊥BC．
所以BF＝FC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．
同理可证DF＝EF．所以BD＝CE．
例4.如图所示，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，那么BH＝AC吗？说明道理．
分析：由∠ABC＝45°，AD⊥BC可得△ABD是等腰直角三角形，所以BD＝AD．BH和AC是Rt△BHD和Rt△ACD中对应的斜边．本题可以从考虑这两个直角三角形全等入手．
解：因为∠ABC＝45°，AD⊥BC，
所以△ABD是等腰直角三角形，
所以BD＝AD．
在Rt△BHD和Rt△ACD中，
∠CBE＝∠CAD，
∠HDB＝∠CDA＝90°．
BD＝AD
所以Rt△BHD≌Rt△ACD（AAS）．
所以BH＝AC．
例5.如图所示，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE＝CD，试说明△BDE是等腰三角形．
分析：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形．本题
中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口．
解：在等边△ABC中，
因为BD是AC边上的中线，所以BD平分∠ABC．
又因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝30°
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E＝∠ACB＝30°．
所以∠DBC＝∠E．所以△BDE是等腰三角形．
例6如图所示，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°．若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？
分析：作CD⊥BN于D，该渔船有无触礁危险，关键是看CD与12.3的大小关系，若CD＞12.3，则无触礁危险；若CD≤12.3，则有触礁危险．故解决本题的关键是计算CD．
解：作CD⊥BN于D．
AB＝12×（11－9）＝24（海里）．
因为∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
所以∠BCA＝∠NBC－∠NAC＝30°－15°＝15°．
所以∠BCA＝∠BAC，
所以BC＝AB＝24（海里）（等角对等边）．
在△CDB中，∠CDB＝90°，∠DBC＝30°，
所以CD＝BC＝12（海里）．
因为12＜12.3，
所以该渔船继续向正北航行，有触礁危险．
针对性练习
1、如图，在ABC中，C=25°，ADBC，垂足为D，且AB+BD=CD，则BAC的度数是?
2、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为
3、如图，将边长为2个单位的等边ABC沿边BC向右平移1个单位得到DEF，则四边形ABFD的周长为
4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．
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