2012年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2012?宁波）（﹣2）0的值为（）
A．﹣2B．0C．1D．2
2．（2012?宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（2012?宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（）
A．B．C．D．1
4．（2012?宁波）据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104485元，104485元用科学记数法表示为（）
A．1.04485×106元B．0.104485×106元C．1.04485×105元D．10.4485×104元
5．（2012?宁波）我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：℃），则这组数据的极差与众数分别为（）
A．2，28B．3，29C．2，27D．3，28
6．（2012?宁波）下列计算正确的是（）
A．a6÷a2=a3B．（a3）2=a5C．D．
7．（2012?宁波）已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
8．（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（）
A．4B．2C．D．
9．（2012?宁波）如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（）
A．四面体B．直三棱柱C．直四棱柱D．直五棱柱
10．（2012?宁波）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是（）
A．41B．40C．39D．38
11．（2012?宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（）
A．b=aB．b=aC．b=D．b=a
12．（2012?宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）
A．90B．100C．110D．121
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2012?宁波）写出一个比4小的正无理数_________．
14．（2012?宁波）分式方程的解是_________．
15．（2012?宁波）如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是_________人．
16．（2012?宁波）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=_________度．
17．（2012?宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_________．
18．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为_________．
三．解答题（本大题有8题，共66分）
19．（2012?宁波）计算：．
20．（2012?宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
21．（2012?宁波）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22．（2012?宁波）某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图，部分统计量如表：
（1）求甲队身高的中位数；
（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；
（3）如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪一队将被录取？请说明理由．
23．（2012?宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
24．（2012?宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
25．（2012?宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形．
（1）判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
（2）操作、探究与计算：
①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．
26．（2012?宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2012?宁波）（﹣2）0的值为（）
A．﹣2B．0C．1D．2
考点： 零指数幂。 分析： 根据零指数幂的运算法则求出（﹣2）0的值 解答： 解：（﹣2）0=1．
故选C． 点评： 考查了零指数幂：a0=1（a≠0），由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0），注意：00≠1．
2．（2012?宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点： 轴对称图形。 专题： 常规题型。 分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B． 点评： 本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（2012?宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（）
A．B．C．D．1
考点： 概率公式。 分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为1+2=3，白球的数目为2． 解答： 解：根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，
任意摸出1个，摸到白球的概率是：2÷3=．
故选A． 点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．（2012?宁波）据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104485元，104485元用科学记数法表示为（）
A．1.04485×106元B．0.104485×106元C．1.04485×105元D．10.4485×104元
考点： 科学记数法—表示较大的数。 专题： 常规题型。 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于104485有6位，所以可以确定n=6﹣1=5． 解答： 解：104485=1.04485×105．
故选C． 点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
5．（2012?宁波）我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：℃），则这组数据的极差与众数分别为（）
A．2，28B．3，29C．2，27D．3，28
考点： 极差；众数。 专题： 常规题型。 分析： 根据极差的定义，找出这组数的最大数与最小数，相减即可求出极差；
根据众数的定义，找出这组数中出现次数最多的数即可． 解答： 解：这组数中，最大的数是30，最小的数是27，
所以极差为30﹣27=3，
29出现了3次，出现的次数最多，
所以，众数是29．
故选B． 点评： 本题考查了极差与众数的概念，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
6．（2012?宁波）下列计算正确的是（）
A．a6÷a2=a3B．（a3）2=a5C．D．
考点： 立方根；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。 专题： 计算题。 分析： 根据同底数幂的除法、幂的乘方、平方根、立方根的定义解答． 解答： 解：A、a6÷a2=a6﹣2=a4≠a3，故本选项错误；
B、（a3）2=a3×2=a6≠a5，故本选项错误；
C、=5，表示25的算术平方根式5，≠±5，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D． 点评： 本题考查了立方根、算术平方根、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，是一道基础题．
7．（2012?宁波）已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方。 专题： 常规题型。 分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答： 解：根据题意得，x﹣2=0，y+1=0，
解得x=2，y=﹣1，
所以，x﹣y=2﹣（﹣1）=2+1=3．
故选A． 点评： 本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
8．（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（）
A．4B．2C．D．
考点： 锐角三角函数的定义。 分析： 根据cosB=，可得=，再把AB的长代入可以计算出CB的长． 解答： 解：∵cosB=，
∴=，
∵AB=6，
∴CB=×6=4，
故选：A． 点评： 此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．
9．（2012?宁波）如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（）
A．四面体B．直三棱柱C．直四棱柱D．直五棱柱
考点： 由三视图判断几何体。 分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：只有直三棱柱的视图为1个三角形，2个矩形．
故选B． 点评： 本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力．
10．（2012?宁波）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是（）
A．41B．40C．39D．38
考点： 专题：正方体相对两个面上的文字。 专题： 常规题型。 分析： 先求出所有面上的点数的总和，然后减去看得见的7个面上的点数的和，然后根据有理数的混合运算计算即可得解． 解答： 解：三个骰子18个面上的数字的总和为：
3（1+2+3+4+5+6）=3×21=63，
看得见的7个面上的数字的和为：
1+2+3+5+4+6+3=24，
所以，看不见的面上的点数总和是63﹣24=39．
故选C． 点评： 本题考查了正方体相对面上的文字，利用整体思想，把所有的面分成看得见的面与看不见的面两个部分是解题的关键．
11．（2012?宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（）
A．b=aB．b=aC．b=D．b=a
考点： 圆锥的计算。 分析： 首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可． 解答： 解：∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr=
解得：r=
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC2+AB2=BC2
即：（）2+（）2=（）2整理得：b=a
故选D．
点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定理得到a、b之间的关系．
12．（2012?宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）
A．90B．100C．110D．121
考点： 勾股定理的证明。 专题： 常规题型。 分析： 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 解答： 解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．
故选C．
点评： 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（2012?宁波）写出一个比4小的正无理数π（答案不唯一）．
考点： 实数大小比较。 专题： 开放型。 分析： 根据实数的大小比较法则计算即可． 解答： 解：此题答案不唯一，举例如：、π等．
故答案为：π（答案不唯一）． 点评： 本题考查了实数的大小比较，解题的关键是理解正无理数这一概念．
14．（2012?宁波）分式方程的解是x=8．
考点： 解分式方程。 分析： 观察可得最简公分母是2（x+4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答： 解：方程的两边同乘2（x+4），得
2（x﹣2）=x+4，
2x﹣4=x+4，
解得x=8．
检验：把x=8代入x（x+4）=96≠0．
故原方程的解为：x=8．
故答案为：x=8． 点评： 考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
15．（2012?宁波）如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是5人．
考点： 扇形统计图。 专题： 计算题。 分析： 根据参加外语兴趣小组的人数是12人，所占百分比为24%，计算出总人数，再用1减去所有已知百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答． 解答： 解：∵参加外语小组的人数是12人，占参加课外兴趣小组人数的24%，
∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：÷24%=50（人），
∴绘画兴趣小组的人数是50×（1﹣14%﹣36%﹣16%﹣24%）=5（人）．
故答案为5． 点评： 本题考查了扇形统计图，从图中找到相关信息是解此类题目的关键．
16．（2012?宁波）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=40度．
考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质。 分析： 首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可． 解答： 解：∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC
∵∠ACD=110°
∴∠ACB=∠BAC=70°
∴∠B=∠40°，
∵AE∥BD，
∴∠EAB=40°，
故答案为40°． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．
17．（2012?宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2．
考点： 二次函数图象与几何变换。 分析： 根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可． 解答： 解：二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），
绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2．
故答案为：y=﹣（x+1）2﹣2． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键．
18．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．
考点： 垂径定理；圆周角定理；解直角三角形。 分析： 由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH． 解答： 解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，
由垂径定理可知EF=2EH=，
故答案为：．
点评： 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
三、解答题（本大题有8题，共66分）
19．（2012?宁波）计算：．
考点： 分式的加减法。 分析： 首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可． 解答： 解：原式=，
=a﹣2+a+2，
=2a． 点评： 此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算．
20．（2012?宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
考点： 规律型：图形的变化类。 分析： （1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案． 解答： 解：（1）第一个图需棋子6，
第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第五个图需棋子18，
…
第n个图需棋子3（n+1）枚．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子． 点评： 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
21．（2012?宁波）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 计算题。 分析： （1）设反比例函数解析式为y=，把点A的坐标代入解析式，利用待定系数法求反比例函数解析式即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B的坐标；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可． 解答： 解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），
∴﹣2=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵B（a，4）在y=的图象上，
∴4=，
∴a=2，
∴点B的坐标为B（2，4）；
（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的关键．
22．（2012?宁波）某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图，部分统计量如表：
（1）求甲队身高的中位数；
（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；
（3）如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪一队将被录取？请说明理由．
考点： 条形统计图；频数与频率；加权平均数；中位数；方差；标准差。 分析： （1）根据中位数的定义，把甲队队员身高从高到矮排列，找出位置处于中间的数即可；
（2）根据条形图可得到乙队队员每个人的身高，再用总身高÷队员人数=平均数身高；身高不小于1.70米的频率=；
（3）根据标准差的意义可以得到答案；标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 解答： 解：（1）把甲队队员身高从高到矮排列：1.76，1.75，1.75，1.71，1.70，1.65，位置处于中间的两数为：1.75，1.71，
故甲队身高的中位数是米；
（2）（1.70+1.68+1.72+1.70+1.64+1.70）=1.69米，
故乙队身高的平均数是1.69米，
身高不低于1.70米的频率为；
（3）∵S乙＜S甲，
∴乙队的身高比较整齐，乙队将被录取． 点评： 此题主要考查了条形图，中位数，平均数，标准差，频率，关键是能正确从条形图中获取信息，掌握平均数，中位数的定义．
23．（2012?宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
考点： 切线的判定；扇形面积的计算。 分析： （1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可． 解答： 解：（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）连接OF．
∵sinA=，∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=AB=6AC=6，
∴CE=AC﹣AE=2．
∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6．
S扇形EOF==
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．
点评： 本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
24．（2012?宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用。 分析： （1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可．
（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可． 解答： 解：（1）由题意，得
②﹣①，得5（b+0.8）=25，
b=4.2，
把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66，
解得a=2.2
∴a=2.2，b=4.2．
（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，
9200×2%=184元，
∵116＜184，
∴小王家六月份的用水量超过30吨．
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，
6.8（x﹣30）≤68，
解得x≤40．
∴小王家六月份最多能用水40吨． 点评： 本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．同时考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．
25．（2012?宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形．
（1）判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
（2）操作、探究与计算：
①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．
考点： 图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图。 分析： （1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；
②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出?ABCD是几阶准菱形． 解答： 解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
故答案为：2；
②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形；
（2）
①如图所示：
，
②∵a=6b+r，b=5r，
∴a=6×5r+r=31r；
如图所示：
故?ABCD是10阶准菱形．
点评： 此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．
26．（2012?宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
考点： 二次函数综合题。 专题： 代数几何综合题；分类讨论。 分析： （1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标． 解答： 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），
即y=x2﹣x﹣2；
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，
即OP=；
（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴CM∥x轴，
∴yM=﹣2，
∴x2﹣x﹣2=﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM的解析式为y=kx﹣2，
把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，
解得k=，
∴y=x﹣2，
由x﹣2=x2﹣x﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=，
此时y=×﹣2=，
∴M′（，），
②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC===，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴=，
即=，
解得AD=2，
∴D（1，0）或D（﹣3，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得x1=，x2=，
∴点M的坐标为（，3+）或（，3﹣）．
点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．
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