2014年浙江省绍兴市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）(2014年浙江绍兴)比较﹣3，1，﹣2的大小，下列判断正确的是（）
A． ﹣3＜﹣2＜1 B． ﹣2＜﹣3＜1 C． 1＜﹣2＜﹣3 D． 1＜﹣3＜﹣2
分析： 本题是对有理数的大小比较，根据有理数性质即可得出答案．
解答： 解：有理数﹣3，1，﹣2的中，根据有理数的性质，
∴﹣3＜﹣2＜0＜1．
故选A．
点评： 本题主要考查了有理数大小的判定，难度较小．
2．（4分）(2014年浙江绍兴)计算（ab）2的结果是（）
A． 2ab B． a2b C． a2b2 D． ab2
考点： 幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进行计算即可．
解答： 解：原式=a2b2．
故选C．
点评： 此题考查了幂的乘方及积的乘方，属于基础题，注意掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
3．（4分）(2014年浙江绍兴)太阳的温度很高，其表面温度大概有6000℃，而太阳中心的温度达到了19200000℃，用科学记数法可将19200000表示为（）
A． 1.92×106 B． 1.92×107 C． 1.92×108 D． 1.92×109
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将19200000用科学记数法表示为：1.92×107．
故选B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）(2014年浙江绍兴)由5个相同的立方体搭成的几何体如图，则它的主视图是（）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中
解答： 解：从正面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形，
故选：B．
点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．（4分）(2014年浙江绍兴)一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为（）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．菁优网版权所有
分析： 由一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，
∴从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为：=．
故选C．
点评： 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）(2014年浙江绍兴)不等式3x+2＞﹣1的解集是（）
A． x＞﹣ B． x＜﹣ C． x＞﹣1 D． x＜﹣1
考点： 解一元一次不等式．菁优网版权所有
分析： 先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
解答： 解：移项得，3x＞﹣1﹣2，
合并同类项得，3x＞﹣3，
把x的系数化为1得，x＞﹣1．
故选C．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
7．（4分）(2014年浙江绍兴)如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）
A． π B． π C． D．
考点： 圆锥的计算．菁优网版权所有
分析： 根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．
解答： 解：设底面圆的半径为r，则：
2πr==π．
∴r=，
∴圆锥的底面周长为，
故选B．
点评： 本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式求出弧长，然后根据扇形弧长与圆锥底面半径的关系求出底面圆的半径．
8．（4分）(2014年浙江绍兴)如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（）
A． 10克 B． 15克 C． 20克 D． 25克
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可．
解答： 解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，
根据题意得：m=n+40；
设被移动的玻璃球的质量为x克，
根据题意得：m﹣x=n+x+20，
x=（m﹣n﹣20）=（n+40﹣n﹣20）=10．
故选A．
点评： 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系．
9．（4分）(2014年浙江绍兴)将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对着两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）
A． B． C． D．
考点： 剪纸问题．菁优网版权所有
分析： 按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．
解答： 解：由题意要求知，展开铺平后的图形是B．
故选B．
点评： 此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪看看，可以培养空间想象能力．
10．（4分）(2014年浙江绍兴)如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（）
A． 50秒 B． 45秒 C． 40秒 D． 35秒
考点： 推理与论证．菁优网版权所有
分析： 首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时间，得出符合题意答案．
解答： 解：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，
∴两车的速度为：=（m/s），
∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，
∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：=96（s），=120（s），=168（s），
∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，
∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵=1，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵=3，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵=5，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵=2，=6，=10，=4，=8，
∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确；
则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒．
故选：D．
点评： 此题主要考查了推理与论证，根据题意得出汽车行驶每段所用的时间，进而得出由选项分析得出是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）(2014年浙江绍兴)分解因式：a2﹣a=a（a﹣1）．
考点： 因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
分析： 这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．
解答： 解：a2﹣a=a（a﹣1）．
点评： 本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．
12．（5分）(2014年浙江绍兴)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为5．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．菁优网版权所有
分析： 首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=16﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案．
解答： 解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH=EF=4，
设求半径为r，则OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，r2﹣（8﹣r）2=42，
解得r=5，
故答案为：5．
点评： 此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
13．（5分）(2014年浙江绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4．
考点： 二次函数的应用．菁优网版权所有
分析： 根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
解答： 解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，
解得：a=﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．
故答案为：y=﹣（x+6）2+4．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
14．（5分）(2014年浙江绍兴)用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35°=或b≥a．
考点： 作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
分析： 首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心b为半径交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC时，②当b≥a时三角形只能作一个．
解答： 解：如图所示：
若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥BC时，即sin35°=②当b≥a时．
故答案为：sin35°=或b≥a．
点评： 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．
15．（5分）(2014年浙江绍兴)如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线y=（x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为17．（n为正整数）
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题： 规律型．
分析： 先根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点可知OA15=15，OB15=15，再根据C15B15=16C15A15表示出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值即可．
解答： 解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点∴OA15=15，OB15=15，
∵C15B15=16C15A15，
∴C15（15，），
∵点C15在曲线y=（x＞0）上，
∴15×=n﹣2，解得n=17．
故答案为：17．
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上k=xy为定值是解答此题的关键．
16．（5分）(2014年浙江绍兴)把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是4+．
考点： 相似多边形的性质．菁优网版权所有
分析： 根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
解答： 解：∵在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为2：1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为=，
∴另外一个矩形的长为2﹣=，宽为=，
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+++）=4+．
故答案为4+．
点评： 本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22,23小题每小题8分，24小题14分，共80分）
17．（8分）(2014年浙江绍兴)（1）计算：﹣4sin45°﹣+．
（2）先化简，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b），其中a=1，b=﹣．
考点： 实数的运算；整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
分析： （1）本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）根据去括号的法则，可去掉括号，根据合并同类项，可化简代数式，根据代数式求值，可得答案．
解答： 解：（1）原式=2﹣2﹣1+2=1；
（2）原式=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab
=a2+b2=1+
=．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（8分）(2014年浙江绍兴)已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
（1）A比B后出发几个小时？B的速度是多少？
（2）在B出发后几小时，两人相遇？
考点： 一次函数的应用．菁优网版权所有
分析： （1）根据横轴CO与DE可得出A比B后出发1小时；由点C的坐标为（3，60）可求出B的速度；
（2）利用待定系数法求出OC、DE的解析式，联立两函数解析式建立方程求解即可．
解答： 解：（1）由图可知，A比B后出发1小时；
B的速度：60÷3=20（km/h）；
（2）由图可知点D（1，0），C（3，60），E（3，90），
设OC的解析式为y=kx，
则3k=60，
解得k=20，
所以，y=20x，
设DE的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
所以，y=45x﹣45，
由题意得，
解得，
所以，B出发小时后两人相遇．
点评： 本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键．
19．（8分）(2014年浙江绍兴)为了解某校七，八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七，八年级部分学生进行调查，已知抽取七年级与八年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图表．
组别 睡眠时间x
A x≤7.5
B 7.5≤x≤8.5
C 8.5≤x≤9.5
D 9.5≤x≤10.5
E x≥10.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）求统计图中的a；
（2）抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
（3）已知该校七年级学生有755人，八年级学生有785人，如果睡眠时间x（时）满足：7.5≤x≤9.5，称睡眠时间合格，试估计该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有多少人？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）根据扇形统计图，确定出a的值即可；
（2）根据图1求出抽取的人数，乘以C占的百分比即可得到结果；
（3）分别找出七八年级睡眠合格的人数，求出之和即可．
解答： 解：（1）根据题意得：a=1﹣（35%+25%+25%+10%）=5%；
（2）根据题意得：（6+19+17+10+8）×35%=21（人），
则抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在C组的有21人；
（3）根据题意得：755×+785×（25%+35%）=453+471=924（人），
则该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有924人．
点评： 此题考查了条形统计图，用样本估计总体，频数（率）分布表，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
20．（8分）(2014年浙江绍兴)课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
考点： 相似三角形的应用；二次函数的最值．菁优网版权所有
分析： （1）设PN=2ymm，则PQ=ymm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
解答： 解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴=，
即=，
解得y=，
∴PN=×2=（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴=，
即=，
解得PQ=80﹣x．
∴S=PN?PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，
∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．
21．（10分）(2014年浙江绍兴)九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
分析： （1）根据∠α=2∠CDB即可得出答案；
（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度；
（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，CQ=x﹣0.2，根据=，得出x+3.8x﹣0.2=3，求出x即可．
解答： 解：（1）∵BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，
∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°．
（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，
过点E作EH⊥BF，垂足为点H，
∵MN∥AH，MN=1.9，
∴EH=2MN=3.8（米），
∴E点离地面FB的高度是3.8米．
（3）延长AE，交PB于点C，
设AE=x，则AC=x+3.8，
∵∠APB=45°，
∴PC=AC=x+3.8，
∵PQ=4，
∴CQ=x+3.8﹣4=x﹣0.2，
∵tan∠AQC==tan60°=，
∴=，
x=≈5.7，
∴AE≈5.7（米）．
答；旗杆AE的高度是5.7米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角的定义，能作出辅助线借助仰角构造直角三角形是本题的关键．
22．（12分）(2014年浙江绍兴)如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．菁优网版权所有
专题： 新定义．
分析： （1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；
（2）①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；
②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．
解答： 解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；
（2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5，
∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；
②∵一个函数的特征数为[2，3]，
∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∵一个函数的特征数为[3，4]，
∴函数解析式为：y=x2+3x+4=（x+）2+，
∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
点评： 此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．
23．（6分）(2014年浙江绍兴)（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： （1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根据全等三角形的性质求出即可；
（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG
（2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
∴MN2=BM2+NC2．
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
点评： 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．
25．（14分）(2014年浙江绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．
考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： （1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．
（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PA=PC，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．
（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．
解答： 解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），
∴点P的坐标是（2，1）．
∴PA的长为2．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．
∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，
∴OA=AB．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°．
∵∠AOC=90°，
∴∠POC=45°．
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．
∴∠NPM=90°．
∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．
在△ANP和△CMP中，
∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP≌△CMP．
∴PA=PC．
∴PA：PC的值为1：1．
（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示．
∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴．
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AP⊥PC，
∴EP=CP．
∵PM∥y轴，
∴AF=CF，OM=CM．
∴FM=OA．
设OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，FM=x．
∴PM=x．
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x．
∵∠AOC=90°，
∴OC=x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四边形PMON是矩形．
∴PN=OM=x．
∴PA：PC=PN：PM=x：x=．
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图3所示．
同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．
∴PN=OM=OC=x．
∴PA：PC=PN：PM=x：x=．
综上所述：PA：PC的值为或．
点评： 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强．
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