2014年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2014?湖州）﹣3的倒数是（）
A．﹣3 B． 3 C． D． ﹣
分析：根据乘积为的1两个数倒数，可得到一个数的倒数．
解：﹣3的倒数是﹣，故选：D．
点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（2014?湖州）计算2x（3x2+1），正确的结果是（）
A．5x3+2x B． 6x3+1 C． 6x3+2x D． 6x2+2x
分析：原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
解：原式=6x3+2x，故选C
点评：此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2014?湖州）二次根式中字母x的取值范围是（）
A．x＜1 B． x≤1 C． x＞1 D． x≥1
分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选D．
点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（2014?湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）
A．35° B． 45° C． 55° D． 65°
分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．
解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，
∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2014?湖州）数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是（）
A．0 B． C． 2 D． 4
分析： 先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式进行计算即可．
解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2的平均数是：（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0，
∴数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是：[（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]=2．故选C．
点评：本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．（2014?湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）
A．2 B． 8 C． 2 D． 4
分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．
解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选A．
点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．
7．（2014?湖州）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
分析：首先根据题意得：=，解此分式方程即可求得答案．
解：根据题意得：=，解得：a=1，经检验，a=1是原分式方程的解，
∴a=1．故选A．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（2014?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）
A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，故选B．
点评：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．
9．（2014?湖州）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）
A．S1＞S2+S3 B． △AOM∽△DMN C． ∠MBN=45° D． MN=AM+CN
分析：（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，
（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D成立．
解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）?AD
S△MNO=MP?AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，
∴不一定有S1＞S2+S3，
（2）∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立，
（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是⊙O的切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，
∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A．
点评：本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
10．（2014?湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）
A． B．
C． D．
分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．
解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，
即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B选项延长AF、BH交于S1，作FK∥GH，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，
∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．
点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2014?湖州）方程2x﹣1=0的解是x=．
分析：此题可有两种方法：
（1）观察法：根据方程解的定义，当x=时，方程左右两边相等；
（2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1．
解：移项得：2x=1，系数化为1得：x=．
点评：此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填x=，不能直接填．
12．（2014?湖州）如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是．
分析： 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图，根据矩形的面积公式，可得答案．
解：从上面看三个正方形组成的矩形，矩形的面积为1×3=3，
故答案为：3．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，先确定俯视图，再求面积．
13．（2014?湖州）计算：50°﹣15°30′=．
分析：根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．
解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′，故答案为：34°30′．
点评：此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
14．（2014?湖州）下面的频数分布折线图分别表示我国A市与B市在2014年4月份的日平均气温的情况，记该月A市和B市日平均气温是8℃的天数分别为a天和b天，则a+b=．
分析：根据折线图即可求得a、b的值，从而求得代数式的值．
解：根据图表可得：a=10，b=2，则a+b=10+2=12．故答案是：12．
点评：本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
15．（2014?湖州）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．
分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，
∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，
∴=，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y=mx，则m?=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
16．（2014?湖州）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．
分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．（2014?湖州）计算：（3+a）（3﹣a）+a2．
分析：原式第一项利用平方差公式计算，合并即可得到结果．
解：原式=9﹣a2+a2=9．
点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2014?湖州）解方程组．
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，①+②得：5x=10，即x=2，
将x=2代入①得：y=1，则方程组的解为．
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
19．（2014?湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
解答： （1）证明：作OE⊥AB，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（2014?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
分析：（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10b=3；
（2）作AC⊥x轴与点C，，
由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），OB=3，
点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．
21．（2014?湖州）已知2014年3月份在某医院出生的20名新生婴儿的体重如下（单位：kg）
4.72.93.23.53.83.42.83.34.04.5
3.64.84.33.63.43.53.63.53.73.7
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表 组别（kg） 划记 频数 2.75﹣3.15 略 2 3.15﹣3.55 略 7 3.55﹣3.95 正一 6 3.95﹣4.35 略 2 4.35﹣4.75 略 2 4.75﹣5.15 略 1 合计 20
（1）求这组数据的极差；
（2）若以0.4kg为组距，对这组数据进行分组，制作了如下的“某医院2014年3月份20名新生婴儿体重的频数分布表”（部分空格未填），请在频数分布表的空格中填写相关的量（温馨提示：请在答题卷的对应位置填写，填写在试题卷上无效）
（3）经检测，这20名婴儿的血型的扇形统计图如图所示（不完整），求：
①这20名婴儿中是A型血的人数；
②表示O型血的扇形的圆心角度数．
分析：（1）根据求极差的方法用这组数据的最大值减去最小值即可；
（2）根据所给出的数据和以0.4kg为组距，分别进行分组，再找出各组的数即可；
（3）①用总人数乘以A型血的人数所占的百分比即可；
②用360°减去A型、B型和AB型的圆心角的度数即可求出O型血的扇形的圆心角度数．
解：（1）这组数据的极差是4.8﹣2.8=2（kg）；
（2）根据所给出的数据填表如下：
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表
某医院2014年3月份20名新生儿体重的频数分布表 组别（kg） 划记 频数 2.75﹣3.15 略 2 3.15﹣3.55 略 7 3.55﹣3.95 正一 6 3.95﹣4.35 略 2 4.35﹣4.75 略 2 4.75﹣5.15 略 1 合计 20 （3）①A型血的人数是：20×45%=9（人）；
②表示O型血的扇形的圆心角度数是360°﹣（45%+30%）×360°﹣16°=360°﹣270°﹣16°=74°；
点评：此题考查了频数（率）分布表、扇形统计图以及极差的求法，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
22．（2014?湖州）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
分析：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析式即可；
（2）把y=620代入（1）求得答案即可；
（3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题，
解答： 解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，
∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴解得
∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；
（2）由图可知，当y=620时，x＞50∴6x﹣100=620，解得x=120．
答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．
（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，
化简得x2+40x﹣14000=0
解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．
答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．
点评：此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．
23．（2014?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得横坐标为±c，纵坐标为c．
解：（1）
①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）
把A、C代入y═﹣x2+bx+c得，得，解得；
②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：
由①得抛物线的解析式为y═﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）
要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，
又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c，
∴A点坐标为（c，c），∴顶点横坐标=c，b=c，
∵将A点代入可得c=﹣+c?c+c，
∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，
∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．
点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．
24．（2014?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，
（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，
（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．
解答：
证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF，
（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，
由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，
∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，
∴b+a=1+t+1﹣t=2，
∴b=2﹣a，
（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=，
解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，
=，解得，t=，
（Ⅱ）如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，
当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，
所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．
点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．
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