第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程（1课时）
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：
自学课本导图，走进一元二次方程
分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为米，可列方程
x（）=，去括号得①.
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？
设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？
合作交流
动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是②.
自主学习
【做一做】根据题意列出方程：
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】
1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）（2）
【巩固练习】教材第19页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
达标测评
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（）（2）()
(3)（）(4)()
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1）±1±2；
（2）±2，±4
（B）1、把方程(化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
拓展提高
1、已知关于x的方程。问
（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？
2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？
21.2一元二次方程的解法（5课时）
第1课时
学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=a(a≥0)或（mx+n）x2＝4；（2）x2－1＝0;
解:x=____解:左边用平方差公式分解因式，得
x=__________________＝0，
必有x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
精讲点拨
(1)这种方法叫做直接开平方法.
(2)这种方法叫做因式分解法.
合作交流
方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
课堂练习反馈调控
1.试用两种方法解方程x2－900＝0.
(1)直接开平方法(2)因式分解法
2.解下列方程：
（1）x2－2＝0;（2）16x2－25＝0.
解（1）移项，得x2＝2.(2)移项，得_________.
直接开平方，得.方程两边都除以16，得______
所以原方程的解是直接开平方，得x＝___.
，.所以原方程的解是x1＝___，x2＝___.
3.解下列方程：
（1）3x2＋2x=0；（2）x2＝3x.
解（1）方程左边分解因式，得_______________
所以__________，或____________
原方程的解是x1＝______，x2＝______
（2）原方程即_____________=0.
方程左边分解因式，得____________＝0.
所以__________，或________________
原方程的解是x1＝_____，x2＝_________
总结归纳
以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？
巩固提高
解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.
分析两个方程都可以转化为（）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（2）原方程可以变形为________________________，
有________________________.
所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________.
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？（学生思考整理）
达标测评
(A)1、解下列方程：
（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；
（4）x2－2x＝0；（5）（t－2）（t+1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
(7)x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
(B)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？
拓展提高
1、解下列方程：
（1）+2x-3=0(2)-50x+225=0
（教师引导学生用十字相乘法分解因式。）
2、构造一个以2为根的关于x的一元二次方程。
第2课时
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
自主学习
自学教科书例4，完成填空。
精讲点拨
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋x＋（）＝（x＋）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；（2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即（______）2＝____.
所以x－3＝____.
原方程的解是x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（）2＝－1＋____，
即_____________________
所以___________________
原方程的解是：x1＝______________x2＝___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
深入探究
用配方法解下列方程：
（1）（2）
这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后回答整理）
达标测评
（A）用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0（2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=6
（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
（5）4x2－6x＋（）＝4（x－）2＝（2x－）2.
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
第3课时
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得x2＋x＝________，
配方，得x2＋x＋______＝______－,
即(____________)2＝___________
因为a≠0，所以4a2＞2－4ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以x＝_______________________
即x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
巩固练习
1、做一做：
(1)方程2x-3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（）
(2)方程(2x-1)=-4中，a=（）,b=（）,c=（）.
(3)方程3x-2x+4=0中，=（）,则该一元二次方程（）实数根。
(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。
2、应用公式法解下列方程:
(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
解(1)这里a＝___，b＝___，c＝______，
b2－4ac＝____________＝_________
所以x＝＝_________＝____________
即原方程的解是x1＝_____，x2＝_____
(2)将方程化为一般式，得_________________＝0.
因为b2－4ac＝_________
所以x＝_____________＝_______________
原方程的解是x1＝________，x2＝_____
(3)因为___________________，
所以x＝____________＝__________＝__________
原方程的解是x1＝________，x2＝__________.
(4)整理，得_______________＝0.
因为b2－4ac＝_________，
所以x1＝x2＝________
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1)x2－6x＋1＝0；(2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8；（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
（B）2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.
(1)养鸭场的面积能达到150m吗？能达到200m吗？
(2)能达到250m吗？
拓展提高
m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？
第4课时一元二次方程根的判别式（选学）
学习目标
了解什么是一元二次方程根的判别式；
知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
导学流程
复习引入
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
精讲点拨
这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
合作交流
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0；（2）3x2＝4x－1；
（3）x（3x－2）－6x2＝0；（4）x2＋(＋1)x＝0；
（5）x（x＋8）＝16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；
2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根.
解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
拓展提高
应用判别式来确定方程中的待定系数。
（1）m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
解得ｍ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
这时方程的根ｘ＝
（2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？
课堂小结
使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？
列举一元二次方程根的判别式的用途。
达标测评
（A）1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根；D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
A．x2＋1＝0B.x2+x-1＝0C.x2+2x＋3＝0D.4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（）
A.k＜B.k＞C.k≤D.k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（）
A.k＜B.k＞C.k≤D.k≥
（B）5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
第5课时（习题课）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法因式分解法公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0(2)3x2-24x=0
用因式分解法：用配方法：
用公式法：用因式分解法：
用配方法：用公式法：
练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0；（你用_____________法）
（2）x2－2x＝0；（你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0；（你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1；（你用_____________法）
（6）3x2＝4x.（你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；（2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0；（4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0；（6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；（2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0；（4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝；（6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1；（8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则x2+y2的值是（）
（A）3或-2（B）-3或2（C）3（D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0（2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
21.3实践与探索（3课时）
第1课时
学习目标
1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决面积问题，并能求出最大面积。
3、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，发展应用数学的意识，体会方程是刻画现实世界的数学模型。
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
导学流程
复习提问
1、列方程解应用题的步骤是什么？
2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？请解出课本第18页问题1所列方程，并检验结果是否合理。
3、请同学们完成课本第29页例7，并检验结果是否合理？
4、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。
情境导入
在开始学习这一章时，我们已经动手实验，直观体验长方体的制作过程，从图中能直观发现长方体的底面是边长为（10-2x）cm,侧面积为cm.如果将剪去的正方形的边长x为自变量，折合而成的长方体的侧面积为函数y，则可得到①.
（3）对于这个函数，我们并不了解它的性质，你能否在平面直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
拓展延伸
在上题中，用配方法将得到的①式配方会得出什么结论？能否验证“探索”中的结论？请同学们合作完成。
课堂练习
1、有一个长是宽3倍的矩形铁皮，四周各截去一个完全相同的正方形，做成高是6cm,容积是300cm3的长方体容器，设矩形的宽为xcm,则长为cm,长方体的底面长为cm,宽为cm，则可列方程为。
2、将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售额就减少20个，为保证每月8000元利润，单价应定为多少？
课堂小结
请盘点你在本节课中的收获。
达标测评
（A）1、一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？
（B）x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程
____________________＝7.2
请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。
例2：（第34页，问题2）阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
精讲点拨
①财政净收入翻一番，意味着净收入增长到原来的两倍。
②财政净收入和平均年增长率都是未知数，其中财政净收入是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
反馈矫正
请一名同学黑板演练，写出完整的步骤。
完成课本“探索”部分的问题，（关键在于找出不同增长率之间的关系，要求同学分别列出方程即可。）
课堂练习
（教材第30页例8）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44，这两年平均每年面积的增长率是（）。
拓展延伸
请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，然后根据相等关系列出方程。
市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
课堂小结
请说出你在本节课收获了什么？
达标测评
（A）1、某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
2、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.
（B）3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）
第3课时
学习目标
掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。
通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。
重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。
难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。
导学流程
复习引入
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的解法有几种？
3、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
探究新知
1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）－2x＝0；（2）＋3x－4＝0；（3）2－5x-7＝0．
方程 －2x＝0 ＋3x－4＝0 2－5x-7＝0 2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是、，则=，=，并加以证明。（学生分组交流、讨论，然后归纳总结）
精讲点拨
应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=，可以分别求出与的值。
一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根x1、x2，那么：
=-，=.这就是一元二次方程根与系数的关系。
反馈练习
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①-3y+1=0②3-2x=2③2+3x=0④4p(p-1)=3
2、关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（）。
A、两根的积是-5；B、两根的和是5；
C、两根的和是4；D、以上答案都不对
3、若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p=;q=.
思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？
拓展提高
1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则++的值是
。
2、已知反比例函数，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程a－2x＋b＝0的根的情况是（）。
A、有两个正根；B、有两个负根；
C、有一个正根，一个负根；D、没有实数根。
3、已知关于x的方程（k-1）。
（B）5、先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题。
若关于x的一元二次方程+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和为2，求m的值。
解：设方程的两实根为x,x,那么=-（m+1）,=m+4,
所以，
即=9，解得m=3.
请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答
过程。
6、已知是方程＋2x-5＝0的实数根，求的值。
一元二次方程（复习课）
复习目标
了解一元二次方程的有关概念。
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程
回忆整理
1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________()其中二次项系数是、一次项系数是常数项。
例如：一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是
___________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________（2）
（3）（4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；当时，它有两个相等的实数根；当时，它没有实数根。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)x(5x+21)=20(2)x2+9=6x(3)x2—3x=—5
4．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2则x1+x2=；x1·x2=____________
例如：方程2x2+3x—2=0的两个根分别为x1，x2则x1+x2=；x1·x2=_________
交流提高
请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。
典例精析
例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
分析：根据根的意义，把x=0代入方程，可得m2－4=0
则m1=2,m2=—2，但应注意m－2≠0，则m≠2因此m=—2.
请问你还可以用什么方法来解决这个问题？
例2：解下列方程:
(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
（5）（x＋1）（x－1）＝（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
分析：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。
例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2—（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
分析：在解题时应注意m—1≠0这个隐含的条件。
巩固练习
(A)1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和?q的值
3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4．解下列方程：（1）x2＋(＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1；
（3）3（x－5）2＝2（5－x）。
5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)
（B）7、写一个根为x=1，另一个根满足—1
8、x1，x2是方程x2+5x—7=0的两根，在不解方程的情况下，求下列代数式的值：
（1）x12+x22（2）（3）（x1—3）（x2—3）
课堂总结
1、这节课我们复习了什么？
2、通过本节课的学习大家有什么新的感受？
答案：
23.1一元二次方程
达标检测（A）
1．（1）是一元二次方程；（2）（3）（4）不是一元二次方程。
2．（1）3x2-x-2=0；二次项系数是3；一次项系数是-1，常数项是-2.
（2）2x2-7x+3=0；二次项系数是2；一次项系数是-7；常数项是3.
（3）-3x2+8x-1=0；二次项系数是-3；一次项系数是8；常数项是-1.
3.（1）-1和2；（2）2和-4.
（B）1.(m+n)x2+(m-n)x+p-q；二次项系数是m+n；一次项系数是m-n，常数项是p-q.
2．k=1；
3.m=-2；
拓展提高
1.（1）k≠3是一元二次方程；（2）k=3是一元一次方程.
2.只含有一个未知数并且未知数的最高次数是3的整式方程式是一元三次方程，它的一般形式是ax3+bx2+cx+d=0.
22.1二次函数及其图像
22.1.1二次函数
【学习目标】
1.了解二次函数的有关概念．
2.会确定二次函数关系式中各项的系数。
3.确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的，x叫做。
2.形如的函数是一次函数，当时，它是函数；形如的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为米，则宽为米，如果将面积记为平方米，那么与之间的函数关系式为=，整理为=.
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如，（）的函数为二次函数。其中是自变量，是__________，b是___________，c是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数为什么不等于0？
答：。
（2）一次项系数和常数项可以为0吗？
答：.
四、跟踪练习
1．观察：①；②；③y＝200x2＋400x＋200；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有。（只填序号）
2.是二次函数，则m的值为______________．
3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为。
4.二次函数．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
22.1.2二次函数的图象
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
2.一次函数图象的形状是；反比例函数图象的形状是.
二、自主学习
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … 在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳：
①由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；
②抛物线是轴对称图形，对称轴是；
③的图象开口_______；
④与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是；
它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即<0时，随的增大而，>0时，随的增大而。
（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … … … x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … …
归纳：抛物线，，的图象的形状都是；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
归纳：抛物线，，的的图象的形状都是；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
例2请在图（4）中画出函数，，的图象．
列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … …
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … …
x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … …
三、合作交流：
归纳：
抛物线的性质
图象（草图） 对称轴 顶点 开口方向 有最高或最低点 最值 ＞0
当x＝____时，y有最_______值，是______． ＜0
当x＝____时，y有最_______值，是______． 2.当＞0时，在对称轴的左侧，即0时，随的增大而；在对称轴的右侧，即0时随的增大而。
3．在前面图（4）中，关于轴对称的抛物线有对，它们分别是哪些？
答：。由此可知和抛物线关于轴对称的抛物线是。
4．当＞0时，越大，抛物线的开口越___________；当＜0时，越大，抛物线的开口越_________；因此，越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
1．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
2.函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
3.二次函数的图象开口向下，则m___________．
4.二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．
5.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
6．若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________．
7．如图，抛物线①②③④开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是和。
8．点A（，b）是抛物线上的一点，则b=；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是。
9．如图，A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为。
10.当m=时，抛物线开口向下．
11.二次函数与直线交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
22.1.3二次函数的图象（一）
【学习目标】
1．知道二次函数与的联系．
2.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、知识链接：直线可以看做是由直线得到的。
练：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？
猜想：。
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … … … … 二、自主学习
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，，的图象．
2．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.
1.填表： 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 增减性
3．抛物线，，的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：（一）抛物线特点：
1.当时，开口向；当时，开口；
2.顶点坐标是；
3.对称轴是。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由
平移得到的。（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：上下。
（三）的正负决定开口的；决定开口的，即不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值。
三、跟踪练习：
1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线向上平移3个单位后的解析式为，它们的形状__________，当=时，有最值是。
3．由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向平移个单位得到的。
4.写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
5.抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值。
22.1.3二次函数的图象（二）
【学习目标】
1．会画二次函数的图象；
2.知道二次函数与的联系．
3.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。
二、自主学习
画出二次函数，的图象；先列表：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … … … … …
归纳：（1）的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。
图象有最点，即=时，有最值是；
在对称轴的左侧，即时，随的增大而；在对称轴的右侧，即时随的增大而。
可以看作由向平移个单位形成的。
（2）的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是，图象有最点，即=时，有最值是；
在对称轴的左侧，即时，随的增大而；在对称轴的右侧，即时随的增大而。
可以看作由向平移个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线特点：
1.当时，开口向；当时，开口；
2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由平移得到的。（填上下或左右）
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左右，上下。
（三）的正负决定开口的；决定开口的，即不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值。
四、课堂训练
1．抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。
2.抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。
3.抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5.抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．
7．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．
8.写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_______________．
22.1.3二次函数的图象（三）
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式的图象；
2．掌握二次函数的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为。
二、自主学习
在右图中做出的图象：
观察：1.抛物线开口向；
顶点坐标是；对称轴是直线。
2.抛物线和的形状，位置。（填“相同”或“不同”）
3.抛物线是由如何平移得到的？答：
。
三、合作交流
平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？
答：。
四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳：
（一）抛物线的特点：
1.当时，开口向；当时，开口；
2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。
（二）抛物线与形状，位置不同，是由平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左右，上下。
（三）平移前后的两条抛物线值。
五、跟踪训练
1.二次函数的图象可由的图象（）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线开口，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y有最值为。
开口方向 顶点
对称轴
3.填表：
4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到。
5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为。
6.顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（）
A． B．
C． D．
7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
22.1.3二次函数的图象（四）
【学习目标】
会用二次函数的性质解决问题；
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y有最值为。当时，随的增大而增大.
2.抛物线是由如何平移得到的？答：
。
二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本第10页例4：
分析：由题意可知：池中心是，水管是，点是喷头，线段的长度是1米，线段的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定个点的坐标即可，这个点是。
求水管的长就是通过求点的坐标。
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米.AO=3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
三、能力拓展
1.知识准备
如图抛物线与轴交于A,B两点，交轴于点D，抛物线的顶点为点C
求△ABD的面积。
求△ABC的面积。
点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。
点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.1.4二次函数的图象
【学习目标】
1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式的图象．
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线的顶点坐标是；对称轴是直线；当=时有最值是；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。
2.二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
的顶点坐标是，对称轴是.
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①②③
（5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式：，因此抛物线的顶点坐标是；对称轴是，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①②③
（二）、用描点法画出的图像.
（1）顶点坐标为；
（2）列表：顶点坐标填在；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
… … …
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最点，即=时，有最值是；
②时，随的增大而增大；时随的增大而减小。
③该抛物线与轴交于点。
④该抛物线与轴有个交点.
三、合作交流
求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
22.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。
【学习过程】
一、知识链接：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.
解：
二、自主学习
1.一次函数经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于的二元一次方程组即可。
解：
2.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有个待定系数，它们分别是，所以一般需要个点的坐标；请你写出完整的解题过程。
解：
三、知识梳理
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为。
四、跟踪练习：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为________________．
3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
4.已知双曲线与抛物线交于A(2,3)、B(,2)、c(－3,)三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,
5.如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A,B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0），
（1）求该抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
22.2用函数观点看一元二次方程（一）
【学习目标】
体会二次函数与方程之间的联系。
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
【学习过程】
一、知识链接：
1.直线与轴交于点，与轴交于点。
2.一元二次方程，当Δ时，方程有两个不相等的实数根；当Δ时，方程有两个相等的实数根；当Δ时，方程没有实数根；
二、自主学习
1.解下列方程
（1）（2）（3）
2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数
图
象
交
点 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 3.对比第1题各方程的解，你发现什么？
三、知识梳理：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的.（即把代入）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为） 与 一元二次方程 与轴有个交点 0，方程有的实数根 与轴有个交点；这个交点是点 0，方程有
实数根 与轴有个交点 0，方程实数根. ⑶二次函数与轴交点坐标是.
四、跟踪练习
1.二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．
2．抛物线与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是；
3.二次函数，当＝________时，＝3．
4.如图，一元二次方程的解为。
5.如图，一元二次方程的解为。
6.已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
7．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
22.2用函数观点看一元二次方程（二）
【学习目标】
1.能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、知识链接：
根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
（1）抛物线与轴有两个交点0；
（2）抛物线与轴有一个交点0；
（3）抛物线与轴没有交点0.
二、自主学习：
1.抛物线和抛物线与轴的交点坐标分别是
和。
抛物线与轴的交点坐标分别是.
2.
抛物线
开口向上，所以可以判断。
对称轴是直线=，由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即>0，已知0，所以可以判定0.
因为抛物线与轴交于正半轴，所以0.
抛物线与轴有两个交点，所以0；
三、知识梳理：
⑴的符号由决定：
①开口向0；②开口向0.
⑵的符号由决定：
①在轴的左侧；
②在轴的右侧；
③是轴0.
⑶的符号由决定：
①点（0，）在轴正半轴0；
②点（0，）在原点0；
③点（0，）在轴负半轴0.
⑷的符号由决定：
①抛物线与轴有交点0方程有实数根；
②抛物线与轴有交点0方程有实数根；
③抛物线与轴有交点0方程实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的点.
四、典型例题：
抛物线如图所示：看图填空：
（1）_____0；（2）0；（3）0;
（4）0;(5)______0；
（6）；（7）；
（8）；（9）
五、跟踪练习：
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程的根为___________；
（2）方程的根为__________；
（3）方程的根为__________；
（4）不等式的解集为________；
（5）不等式的解集为________；
2.根据图象填空：（1）_____0；（2）0；（3）0;
（4）0;(5)______0；
（6）；（7）；
课题 图形的旋转（1） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第23单元 课时 第1课时 学习目标 1、掌握旋转的定义以及相关概念2、理解旋转的基本性质3、利用性质解决相关问题。 学习重点 旋转相关概念以及性质 学习难点 利用性质解决相关问题。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 轴对称的相关知识
课前
自学完成 （一）．自学教材P56并填空：
1、把一个平面图形___着平面内某一点O_____一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做_________，转动的角叫做________。因此，旋转的决定因素是_________和_________。
（二）．自学检测：
1.钟表的分针匀速旋转一周需要60分．(1)指出它的旋转中心；(2)经过20分，分针旋转了_________度.
2．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是______旋转角是__________（2）经过旋转，点A、B分别移动______________
3.如图：(ABC是等边三角形，D是BC上一点，(ABD经过旋转后到达(ACE的位置。（1）旋转中心是_______（2）旋转了_______度.（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了________________.
（三）自学教材P57探究，总结归纳旋转地性质。
①_______________________________________________________
②__________________________________________________________
③_____________________________________________________________
（四）旋转性质的应用
1、已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5㎝，BC=3厘米，△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后得到△DEC，则∠D=______,∠B=______，DE=_______㎝，EC=______㎝，AE=_______㎝，DE与AB的位置关系为_________________.
2、正方形ABCD中有一点P，把△ABP绕点点B旋转到△CQB,连结PQ，则△PBQ的形状是_____________________________. 小结 总结应用规律：
反
馈
练
习 1等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
2.图1可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）
A．900B．600C．450D．300
4.如图2，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是()
A、300B、600C、900D、1200
图1图2图3
6.如图3，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA旋转所得，则∠PBM＝______°．
8.如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？
若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及
∠CAE=____°∠E=____°
∠BAE=____°
课后 课后
反思
课题 图形的旋转（2） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第23单元 课时 第2课时 学习
目标 1、能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形。
2、继续利用旋转的性质解决相关问题。 学习重点 旋转相关概念以及性质
学习
难点 利用性质解决相关问题 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 轴对称的相关知识 课前
自学完成 （一）、知识准备：
1.在图形旋转中，下列说法错误的是（）
A.图形上各点的旋转角度相同；B.旋转不改变图形的大小、形状；
C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到；D.对应点到旋转中心的距离相等
2．如图，是△AOB绕点O按逆时针方向旋转450所得的。则点B的对应点是点_____。线段OB的对应线段是线段______。线段AB的对应线段是线段____。∠A的对应角是______。∠B的对应角是______。旋转中心是点_____。旋转的角度是____。
3．通过观察上面图形的旋转，你能发现图形的旋转哪些基本性质吗？
归纳：①旋转前、后的图形______；
②对应点到__________________________；
③每一对对应点与_________所连线段的夹角等于_______；
④图形的旋转是由________和________决定。
(二)、新知学习：
1、自学教材P57——58例题，画出旋转后的图形，并写出画法，写出理由。
2、交流探讨。
3、练习：①画出△ABC绕点D顺时针旋转90°后的图形△A1B1C1
②△ABC绕点D顺时针旋转后的图形为△A1B1C1，找出旋转中心点D。
D 小结 归纳旋转性质：
反馈
练
习 1．如果两个图形可通过旋转而相互得到，则下列说法中正确的有()．
①对应点连线的中垂线必经过旋转中心．②这两个图形大小、形状不变．
③对应线段一定相等且平行．④将一个图形绕旋转中心旋转某个定角后必与另一个图形重合．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，
其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心()．
A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到
3.4张扑克牌如图3（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后
得到如图3（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）
A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张
图3（1）图3（2）
4..如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是()．
课题 中心对称（1） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第23单元 课时 第3课时
学习目标 1、掌握中心对称的定义以及相关概念。理解中心对称的性质，能够利用性质解决相关问题。
2、能够依据中心对称的性质解决相关作图问题。 学习重点 作图以及利用性质解决问题。 学习难点 利用性质解决问题。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 轴对称的相关知识
课前
自学完成 一、自学教材P62回答下列问题。
1、自学教材P62思考，解答：你有何发现——————————————。
2、把一个图形——————————————————————————，那么就说这两个图形关于这个点中心对称。这个点叫_______。
3、结合中心对称的定义回答：①中心对称的图形有____个；②中心对称是把一个图形绕某一点旋转___°③中心对称揭示了_____个图形中的一种_______关系。
二、自学教材P63探究，回答下列问题：
1、利用旋转的性质——对应点到_________的距离相等，可知中心对称的两个图形的对称点到______的距离相等，亦即对称点的连线被__________平分。对称点的连线经过_________.
2、由旋转的性质——旋转前后对应的线段___________,可知中心对称的两个图形的对称线段_______，由此可得到，中心对称的两个图形是__________.
三、利用上述性质解答：（可参看教材P64例题）
1、画出△ABC关于点O的中心对称图形。2、△ABC与△DEF关于点O中心对称，做出对称点。
3、依据第2题的作图，回答：对称点是_____，相等的线段有________________________________________.△ABC与△DEF是______形，点A、B、C的对称点分别为___________________.
4关于中心对称的两个图形的线段—————————————————. 小结 引导学生归纳：
反馈练习 1、下列说法错误的是?(??)A．中心对称图形一定是旋转对称图形B．轴对称图形不一定是中心对称图形??C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分D．旋转对称图形一定是中心对称图形。、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是(????)．?(A)平行?(B)相等??(C)平行且相等??(D)相等且平行或在同一直线上关于中心对称的两个图形，对称点的连线____________
____________对称．
?5、ΔABC和ΔA’B’C’关于点O中心对称，若ΔABC的周长为12cm，ΔA’B’C’的面积为6cm2,则ΔA’B’C’的周长为___________，ΔABC的面积为_________。
6、如图所示，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，则在一直线上的三点有???，并且AO＝???，BO＝???.
课后 课后
反思
课题 中心对称（2） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第23单元 课时 第4课时
学习目标 正确认识什么是中心对称图形，能够判别一个图形是不是中心对称图形。
理解中心对称图形与中心对称的区别与联系。 学习重点 能够判别一个图形是不是中心对称图形 学习难点 理解中心对称图形与中心对称的区别与联系 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 轴对称的相关知识
课前
自学完成 1、参看教材P65“思考”回答问题。
你有什么发现___________________________________________.
2、自学教材P65，回答下列问题：
①把一个图形_______________________________如果旋转后_____________________________那么这个图形就叫做中心对称图形。这个点叫___________。
②有上述定义可知，线段、平行四边形____（填是或者不是）中心对称图形。
交流探讨
①中心对称图形与中心对称的区别与联系。
区别：1、从图形个数上来说：
2、从定义上来说：中心对称图形揭示了具有___________性质的一种图形，而中心对称揭示了_____个图形之间的一种________关系。
联系：1、从旋转的角度说明：
2、从性质上说明：
②中心对称图形与轴对称图形的区别：_____________________________ 小结 总结本节课的收获与不足：
反馈练习 1、等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的有（????）.
A．1个??????????B．2个????????????C．3个????????????????D．4个
2、?下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(????)
?A．正方形??????B．矩形?????C．菱形????D．平行四边形
3、下列图由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是(????)
????
4、下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形，是轴对称图形，但不是中心对称图形有(????)
A．1个??????????B．2个?????????C．3个?????????D．4个
课后 课后
反思
课题 中心对称（3） 课型 新授课 年级 九年级 单元 第23单元 课时 第5课时 学习目标 掌握关于原点对称的点的坐标特征，能够运用特征解决相关问题 学习重点 掌握关于原点对称的点的坐标特征 学习难点 推导关于原点对称的点的坐标特征。 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 关于x、y轴对称性质的点的相关知识
课前
自学完成 复习回顾
如图，画出点A关于x轴的对称点A′画出点B关于x轴的对称点B′；画出点C关于y轴的对称点C′；画出点A关于y轴的对称点D′2、填空：
点A2，1关于x轴的对称点为A′（，）；点B0，3）关于x轴的对称点为B′（，）；
点C4，2）关于y轴的对称点为C′（，）；点D5，0）关于y轴的对称点为D′（，）、创设情境，导入新课
点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（，）；点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（，）；
、合作探究
如图，A（3，2），B（3，2），C（3，0），
在直角坐标系中，画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′；
点A（3，2）关于原点的对称点为A′（，）点B（－3，2）关于原点的对称点为B′（，），点C（3，0）关于原点的对称点为C′（，）；
归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点P（x，y）关于原点的对称点P′如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形 小结 归纳关于原点对称的性质：
课后
练
习 １、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点逆时针旋转180得到0A′，则点A在平面直角坐标系中的位置是在(A)第一象限(B)第二象限(c)第三象限(D)第四象限２、已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（）．A．B．C．D．
３、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A.（2，2）B.（2，4）C.（4，2）D.（1，2） 课后 课后
反思
课题 图形的旋转复习 课型 复习课 年级 九年级 单元 第23单元 课时 第6课时
学习目标 1.了解旋转定义；2.理解旋转的性质；3.了解中心对称的性质；
4.了解各种中心对称图形；5.探索图形的变换。 学习重点 学习难点 学法指导 自主探究，合作交流 知识链接 轴对称的相关知识
课前
自学完成 知识回顾
1.在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一个，这样的图形运动称为旋转。
2.这个称为，转动的称为。
3.旋转性质：（1）对应点到旋转中心的相等；（2）任意一对对应点与旋转中心所连的都是旋转角；（3）图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了的角度.即旋转角。
4.在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相，那么这两个图形叫做中心对称，这个点叫做它的。
5.中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心。
6.点P（x,y）关于原点对称的点是________，关于x轴对称的点是______，关于y轴对称的点是_______.
7、请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有。
8、中心对称与中心对称图形两个概念区别和联系
中心对称是全等图形之间的；中心对称图形是图形本身成对称的。
中心对称的两个图形性质：
成中心对称的两个图形是；成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被对称中心。
9、下列图形中，是中心图形又是轴对称图形的有（1）平行四边形（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）等腰梯形；（6）线段；（7）角；（8）线段；（9）等边三角形；（10）圆；
反馈练习 1、一个平行四边形绕着它对角线的交点旋转90○能够与它本身重合，则该四边形（）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法确定
2、如图,ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（）
A.ΔABC和ΔADEB.ΔABC和ΔABD
C.ΔABD和ΔACED.ΔACE和ΔADE
3、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，秒针旋转的角度是；分针经过15分后,分针转过的角度是；分针从数字12出发,转过150○，则它指的数字是；
4、如图，中，，．
（1）将向右平移个单位长度，画出平移后的；
（2）画出关于轴对称的；
（3）将绕原点旋转，画出旋转后的；
（4）在，，中，
______与______成轴对称，对称轴是______；______与
______成中心对称，对称中心的坐标是______。
课后 课后
反思
x＝(b2－4ac≥0)
（3）
（2）
（1）
（4）
（2）
（5）
（4）
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｍ
一石激起千层浪
汽车方向盘
铜钱
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