全国中考数学压轴题精选精析（四）
39.（08山西省卷）（本题答案暂缺）26．（本题14分）如图，已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。
（1）求直线的解析式。
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
40（08山西太原）29．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求点的坐标．
（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由．
（08山西太原29题解析）29．解：（1）在中，当时，，
，点的坐标为． 1分
在中，当时，，点的坐标为（4，0）． 2分
由题意，得解得
点的坐标为． 3分
（2）当为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点的坐标为．
由（1），得，．
①当时，过点作轴，垂足为点，则．
．
，点的坐标为． 4分
②当时，过点作轴，垂足为点，则．
，，
．
解，得（舍去）．此时，．
点的坐标为． 6分
③当，或时，同理可得． 9分
由此可得点的坐标分别为．
评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．
（3）存在．以点为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
①当四边形为平行四边形时，． 10分
②当四边形为平行四边形时，． 11分
③当四边形为平行四边形时，． 12分
41（08陕西省卷）25、（本题满分12分）
某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
（08陕西省卷25题解析）25、解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB。…………………（1分）
∵点M到乙村的最短距离为MD，
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，
即最小值为MB+MD=3+（km）…………………（3分）
方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，
连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE＝。
∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3…………………（4分）
在Rt△DME中，
∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×，
∴PE＝DE，∴P点与E点重合，即AM′过D点。…………（6分）
在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，
则P′M＝P′M′。
∵AP′＋P′M′＞AM′，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，
即最小值为AD＋DM＝AM′＝………（7分）
方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，
交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN
在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，
∴MH＝3，∴NE＝MH＝3
∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。
在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝…………（10分）
在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，
连接G′M′，G′M，
显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD
线路铺设的长度之和最小，即最小值为
GM＋GD＝M′D＝。…（11分）
综上，∵3＋＜，
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。…………（12分）
42.（08四川成都）（本题答案暂缺）四、（共12分）
28.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.
43（08四川广安）（本题答案暂缺）七、解答题（本大题满分12分）
25．如图10，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
44.（08四川乐山）（本题答案暂缺）27.阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为表示在数轴上，对应点之间的距离；
例1解方程，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2
例2解不等式，如图（16），在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为－1、3，则的解为x<－1或X>3
例3解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1
和－2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为
（2）解不等式≥9；
（3）若≤a对任意的x都成立，求a的取值范围
45（08四川乐山）（本题答案暂缺）28.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:
求m，n的值
若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式
过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由
46（08四川凉山）25．（9分）如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．
（1）求证：．
（2）求的直径的长．
（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．
（08四川凉山25题解析）25．（9分）
（1）连接
是圆直径，，即
，． 1分
．在中，． 2分
（2）是斜边的中点，，，
又由（1）知，．
又，与相似 3分
4分
又，
，， 5分
设，，，
直径． 6分
（3）斜边上中线，
在中，， 7分
设直线的函数表达式为，
根据题意得，
解得
直线的函数解析式为（其他方法参照评分） 9分
47（08四川泸州）（本题答案暂缺）四（本大题10分）
9．如图11，已知二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。
⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
⑵已知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；
⑶当时，求四边形PCMB的面积的最小值。
【参考公式：已知两点，，则线段DE的中点坐标为】
48（08四川内江）（本题答案暂缺）21．（9分）如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于两点，与轴交于点，与轴交于点，．且点横坐标是点纵坐标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点横坐标为，面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
49.（08四川宜宾）24、(本小题满分12分)
已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
求该抛物线的解析式；
若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；
△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）
（08四川宜宾24题解析）24.解：（1）由已知得：解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似
如图，BD=
BE=
DE=
所以,即：,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
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A
y
x
D
C
O
B
A
y
x
y
x
D2
图（1）
图（2）
D1
C
D4
D3
M2
M1
O
B
B
O
C
A
D1
D2
E1
E2
M4
北
东
D
30°
A
B
C
M
O
E
F
图①
乙村
D
30°
A
B
C
M
O
E
F
图②
乙村
D
30°
A
B
C
M
O
E
F
图①
P′
M′
P
北
东
N′
D
30°
A
B
C
M
O
E
F
图②
乙村
M′
N
H
G
G′
x
O
P
N
M
B
A
y
y=x
x=m
图10
2
2
-1
1
3
0
2
4
0
2
-2
1
1
A
C
O
B
N
D
M
L`
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
O
x
y
A
C
D
B
（21题图）
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