全国中考数学压轴题精选精析（五）
50.（08云南双柏）25．（本小题120分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；（）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（）在（）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由．
（08云南双柏25题解析）25．（本小题1分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋，得
解得
所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8AB＝，OC＝8S△ABC＝×8×8（）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
OA＝6，OC＝8，AC＝10
EF∥ACBEF∽△BAC
∴＝即＝EF＝过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEG＝sin∠CAB＝
∴＝∴FG＝＝8－m
∴S＝SBCE－SBFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m自变量m的取值范围是0＜m＜8
（）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）BCE为等腰三角形．
51.（08重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
52（08浙江湖州）24．（本小题12分）
已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）
（1）证明：设，，与的面积分别为，，
由题意得，．
，．
，即与的面积相等．
（2）由题意知：两点坐标分别为，，
，
．
当时，有最大值．
．
（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．
由题意得：，，，
，．
又，
．
，，
．
，，解得．
．
存在符合条件的点，它的坐标为．
53.（08浙江淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)
如图所示在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P与x轴交点为A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标；
(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
(3)在(2)的条件下，连BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(点C、D外)上将△BCD绕点E逆时针方向旋转90，得到一个新三角形．设该三角与△ACD叠部分的面积为S根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中b为何值时,重叠部分的面积最大?写出大值．
，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求直线的函数解析式；
（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．
试探究：的最大面积？
（08浙江嘉兴24题解析）24．（1），．
作于，
为正三角形，
，．
．
连，，，
．
．
（2），是圆的直径，
又是圆的切线，．
，．
．
设直线的函数解析式为，
则，解得．
直线的函数解析式为．
（3），，，，
四边形的周长．
设，的面积为，
则，．
．
当时，．
点分别在线段上，
，解得．
满足，
的最大面积为．
55（08浙江金华）（本题答案暂缺）24.(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD。（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
56（08浙江丽水）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△
的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若
不存在，请说明理由．
（08浙江丽水24题解析）24．（本题14分）
解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴,,
∴所在直线的函数解析式为.…………………………………（3分）
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）.…………………………………（3分）
②∵==，又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短.……………………………………………（3分）
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.……………（1分）
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与
△的面积相等.………………………（2分）
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.…………………………………（2分）
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
57（08浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。
（08浙江衢州24题解析）24、(本题14分)
解：(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，
∴，
∴
当点A′在线段AB上时，∵，TA=TA′，
∴△A′TA是等边三角形，且，
∴，，
∴，
当A′与B重合时，AT=AB=，
所以此时。
(2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)，
当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)
又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。
(3)S存在最大值
当时，，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是。
当时，由图，重叠部分的面积
∵△A′EB的高是，
∴
当t=2时，S的值最大是；
当，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA′与CB的交点，F是TP与CB的交点)，
∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴
综上所述，S的最大值是，此时t的值是。
58（08浙江绍兴）24．放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
（08浙江绍兴24题解析）24．（本题满分14分）
解：（1），．
（2）当时，过点作，交于，如图1，
则，，
，．
（3）①能与平行．
若，如图2，则，
即，，而，
．
②不能与垂直．
若，延长交于，如图3，
则．
．
．
又，，
，
，而，
不存在．
59.（08浙江宿迁）27．（本题满分12分）
如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．
(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；
(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；
(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．
（08浙江宿迁24题解析）24．如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
60（08浙江温州）24．（本题14分）
如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于
，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
（08浙江温州24题解析）24．（本题14分）
解：（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
61.（08浙江义乌）（本题答案暂缺）24.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．
（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；
②当时，求S关于的函数解析式；
（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．
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28题图
（第24题）
（第24题）
（第24题）
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（第24题）
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（第24题图）
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第27题
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