全国中考数学压轴题精选(六)
51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
（08湖南郴州27题解析）（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以 1分
所以
所以 3分
（2）的周长之和为定值． 4分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是，△ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 6分
（3）设BE＝x，则
所以 8分
配方得：．
所以，当时，y有最大值． 9分
最大值为． 10分
52（08湖南郴州28题）（本题满分10分）
如图13，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB的函数表达式为
∵∴∴
∴直线AB的函数表达式为． 3分
（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，
因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．
设所求的抛物线为
则
∴所求抛物线为 7分
（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．
又AC=直角三角形的面积
假设抛物线上存在点．
当故满足条件的存在．它们是． 10分
53（08湖南湘潭26题）（本题满分10分）
已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（08湖南湘潭26题解析）解：（1）由题意得： 2分
解得 3分
故抛物线的函数关系式为 4分
（2）在抛物线上， 5分
点坐标为（2，6），、C在直线上
解得
直线BC的解析式为 6分
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）
7分
（3）存在P，使得∽ 8分
设P，
故
若要∽，则要或
即或
解得或
又在抛物线上，或
解得或
故P点坐标为和 10分
（只写出一个点的坐标记9分）
54（08湖南永州25题）（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．
（08湖南永州25题解析）（1）依题意分别代入 1分
解方程组得所求解析式为 4分
（2） 5分
顶点坐标，对称轴 7分
（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为 8分
把点代入得 9分
同理可得另一种情形
圆的半径为或 10分
55.（08吉林长春27题）（１２分）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．
（1）求的值；
（2）求函数的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．
（08吉林长春27题解析）[解]（1）由
得．
又因为当时，，即，
解得，或（舍去），故的值为．
（2）由，得，
所以函数的图象的对称轴为，
于是，有，解得，
所以．
（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；
由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为；
故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．
56（08江苏盐城28题）（本题满分12分）
如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为▲，数量关系为▲．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
（08江苏盐城28题解析）（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90o．
∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90o，AB=AC，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD
（2）画图正确
当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD
（3）当具备∠BCA=45o时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）
∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．设CD=x，∴DQ=4—x，
容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，
．
∵0＜x≤3∴当x=2时，CP有最大值1．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．
（08江西省卷24题解析）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：
①抛物线开口向下，或抛物线开口向上；
②抛物线的对称轴是，或抛物线的对称轴是；
③抛物线经过点，或抛物线经过点；
④抛物线与的形状相同，但开口方向相反；
⑤抛物线与都与轴有两个交点；
⑥抛物线经过点或抛物线经过点；
等等． 3分
（2）当时，，令，
解得． 4分
，令，解得． 5分
①点与点对称，点与点对称；
②四点横坐标的代数和为0；
③（或）． 6分
（3），
抛物线开口向下，抛物线开口向上． 7分
根据题意，得． 8分
当时，的最大值是2． 9分
说明：1．第（1）问每写对一条得1分；
2．第（2）问中，①②③任意写对一条得1分；其它结论参照给分．
0.03 0 0.29 0.29 0.13 0.03 （4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”．当滑动一周时，请使用
（参考数据：．）
解：（1）过作于交于，于．
，，
，．
，． 2分
（2）当时，点在对角线上，其理由是： 3分
过作交于，
过作交于．
平分，，．
，，．
，．
，．
即时，点落在对角线上． 4分
（以下给出两种求的解法）
方法一：，．
在中，，
． 5分
． 6分
方法二：当点在对角线上时，有
， 5分
解得
． 6分
（3）
0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13 8分
（4）由点所得到的大致图形如图所示：
10分
说明：1．第（1）问中，写对的值各得1分；
2．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得1分，求出的值各得1分；
3．第填对其中4空得1分；
3．图形大致画得正确的得2分．
59（08山东济南24题）（本小题满分9分）
已知：抛物线(a≠0)，顶点C(1，)，与x轴交于A、B两点，．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（08山东济南24题解析）解：(1)设抛物线的解析式为 1分
将A(－1，0)代入:∴ 2分
∴抛物线的解析式为，即： 3分
（2）是定值， 4分
∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE
∴△APM∽△ABE，∴①
同理:② 5分
①+②: 6分
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB
∴EA=EB
∵∠AEB=90°
∴△AEB为等腰直角三角形．
∴∠EAB=∠EBA=45° 7分
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°
∴PH=BH
且△APM∽△PBH
∴
∴① 8分
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP
∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF
∴②
由①、②知： 9分
（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
60(08浙江杭州24)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。
（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。
（08浙江杭州24题解析）∵平移的图象得到的抛物线的顶点为,
∴抛物线对应的解析式为:.---2分
∵抛物线与x轴有两个交点，∴.---1分
令,得，,
∴)()|,
即,所以当时,存在抛物线使得.--2分
(2)∵,∴,得:,
解得.---1分
在中,
1)当时,由,得,
当时,由,解得,
此时,二次函数解析式为;---2分
当时,由,解得,
此时，二次函数解析式为++.---2分
2)当时,由,将代,可得,,
（也可由代，代得到）
所以二次函数解析式为+–或.---2分
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y
N
B
E
M
P
D
A
x
O
C
第24题图
D
C
A
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J
F
G
Q
P
I
E
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B
C
D
A
H
N
M
K
G
C
D
A(F)
B(E)
图4
B
C
A
D
H
H
图3
B
C
D
A
H
G
C
D
A(F)
B(E)
图2
图1
E
B
C
G
D
F
H
A
B
B
O
A
x
y
图戊
图丁
图丙
图乙
图甲
第28题图
-2
2
G
A
F
6
4
2
1
5
B
D
P
E
C
-6
-4
y
x
图10
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