全国中考数学压轴题精选(八)
71（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究
如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；
②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知．
，，
． （1分）
，即为的中点． （2分）
法二：，，． （1分）
又轴，． （2分）
（2）①由（1）可知，，
，，
． （3分）
，
又，四边形为平行四边形． （4分）
②设，轴，则，则．
过作轴，垂足为，在中，
．
平行四边形为菱形． （6分）
（3）设直线为，由，得，代入得：
直线为． （7分）
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
，，解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）
72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）
， （1分）
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2分）
（2）求得 （3分）
（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） （6分）
（3）；；；（每个1分，计4分）
（10分）
注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．
73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（08海南省卷24题解析）（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×(-2)-1=3.………………………………（2分）
∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为(4,0).
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).……………………（3分）
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.（6分）
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.
∵CE=5，
∴CB=CE=5.……………………（9分）
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE.
即D是BE的中点.………………………………（11分）
（3）存在.………………………………（12分）
由于PB=PE，∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.
∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵动点P的坐标为(x，)，
∴x-1=.………………………………（13分）
解得，.∴，.
∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)
74.（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图9，AC=，BD=；四边形ABCD是梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
（08广东东莞22题解析）解：（1），，…………………………1分
等腰；…………………………2分
（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)
所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
（3）由题意知，FP∥AE，
∴∠1＝∠PFB，
又∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠PFB＝∠2＝30°,
∴FP＝BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K，则.
∵AF＝t，AB＝8，
∴FB＝8－t，.
在Rt△BPK中，.……………………7分
∴△FBP的面积，
∴S与t之间的函数关系式为：
，或.…………………………………8分
t的取值范围为：.…………………………………………………………9分
75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；
（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．
（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）
解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，．
．．
点坐标为（2，4）． 2分
在中，，又．
．解得：．
点坐标为 3分
（2）如图①，．
，又知，，
，又．
而显然四边形为矩形．
5分
，又
当时，有最大值． 6分
（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）
在中，，，为的中点，
．
又，为的中点．
过点作，垂足为，则是的中位线，
，，
当时，，为等腰三角形．
此时点坐标为． 8分
（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）
在中，．
过点作，垂足为．
，．
．
，．
，，
当时，（），此时点坐标为． 11分
综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． 12分
76（08天津市卷26题）（本小题10分）
已知抛物线，
（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤． 3分
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分
②当时，
时，，
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有即
解得．
综上，或． 6分
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴．
于是．而，∴，即．
∴． 7分
∵关于的一元二次方程的判别式
，
∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分
77（08湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数，m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点，且在双曲线y＝上时，求这时四边形OABC的面积．
（08湖北宜昌25题解析）解：(1)从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S＝mz，z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2.(1分)
同理，AB＝1，故点B的坐标是(1，2).(2分)
(2)解法一：
∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m，0),∴c＝0，b＝－am，(3分)
∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标为(，－am2).(4分)
如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.
当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，
这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，
∴这时抛物线l不存在,故不存在m的值..①
当点P与C重合时，双曲线y＝不可能经过P,
故也不存在m的值.②(5分)
(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)
当P在AB上运动时，即当0
抛物线l的顶点为P(，2).
∵P在双曲线y＝上，可得m＝，∵>2,与x＝≤1不合，舍去.(6分)③
容易求得直线BC的解析式是：，(7分)
当P在BC上运动，设P的坐标为(x,y)，当P是顶点时x＝，
故得y＝＝，顶点P为(，)，
∵12，又∵P在双曲线y＝上，
于是，×＝，化简后得5m－22m＋22＝0,
解得,,(8分)
与题意2
故由①②③④，满足条件的只有一个值：.
这时四边形OABC的面积＝＝.(10分)
(2)解法二：
∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m，0)
∴c＝0，b＝－am，(3分)
∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标P为(，－am2).(4分)
∵m＞1，∴＞0，且≠m，
∴P不在边OA上且不与C重合.(5分)
∵P在双曲线y＝上，∴×(－am2)＝即a＝－.
.①当1＜m≤2时，＜≤1，如图2,分别过B，P作x轴的垂线，
M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，
∴－am2＝2，即a＝－.
而a＝－，∴－＝－，m＝＞2，而1＜m≤2，不合题意，舍去.(6分)
②当m≥2时，＞1，如图3,分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ON＞OM，
此时点P在线段CB上，易证Rt△BMC∽Rt△PNC，
∴BM∶PN＝MC∶NC，即:2∶PN＝(m－1)∶，∴PN＝(7分)
而P的纵坐标为－am2，∴＝－am2，即a＝
而a＝－，∴－＝
化简得：5m2－22m＋22＝0.解得：m＝，(8分)
但m≥2，所以m＝舍去，(9分)
取m＝.
由以上,这时四边形OABC的面积为：
(AB＋OC)×OA＝(1＋m)×2＝.(10分)
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(25题图3)
(25题图2)
(25题图1)
(图1)(图2)
(第25题)
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图②
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图①
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图19-2
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图19-1
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图13
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