全国中考数学压轴题精选(九)
81.（08广东茂名25题）（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、C（，0）三点，且-=5．
（1）求、的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一：∵抛物线=－++经过点A（0，－4），
∴=－41分
又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，
∴+=，=－=6 2分
由已知得（-）=25
又（-）=（+）－4=－24∴－24=25
解得=± 3分
当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴=－． 4分
解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，
即方程2－3+12=0的两个根．
∴=， 2分
∴－==5，
解得=± 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分
又∵=－－－4=－（+）+ 6分
∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线=-3与
抛物线=－--4的交点， 8分
∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分
82（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）
解：（1）由5=0， （1分）
得，． （2分）
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）
（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （4分）
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
=S-- （5分）
=-- （6分）
=5（个单位面积） （7分）
（3）如：． （8分）
事实上，=45a2+36a．
3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）]=45a2+36a． （9分）
∴． （10分）
83（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点在轴上 1分
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：
点在轴上，点在轴上． 3分
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为 5分
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为 6分
抛物线经过点，
由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为： 9分
（3）存在符合条件的点，点． 10分
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2 11分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，． 14分
84（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08辽宁12市26题解析）解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．
， 1分
点都在抛物线上，
抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
（2）存在 5分
7分
9分
（3）存在 10分
理由：
解法一：
延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．
11分
过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，，
在中，，
，， 12分
设直线的解析式为
解得
13分
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 14分
解法二：
过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点．连接交于点，则点即为所求． 11分
过点作轴于点，则，．
，
同方法一可求得．
在中，，，可求得，
为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，
垂直平分．
即点为点关于的对称点． 12分
设直线的解析式为，由题意得
解得
13分
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 14分
85（08内蒙古赤峰25题）（本题满分14分）
在平面直角坐标系中给定以下五个点．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；
（3）已知点在抛物线的对称轴上，直线过点且垂直于对称轴．验证：以为圆心，为半径的圆与直线相切．请你进一步验证，以抛物线上的点为圆心为半径的圆也与直线相切．由此你能猜想到怎样的结论．
（08内蒙古赤峰25题解析）25．解：（1）设抛物线的解析式为，
且过点，
由在H．
则． （2分）
得方程组，
解得．
抛物线的解析式为 （4分）
（2）由 （6分）
得顶点坐标为，对称轴为． （8分）
（3）①连结，过点作直线的垂线，垂足为，
则．
在中，，，
，
，
以点为圆心，为半径的与直线相切． （10分）
②连结过点作直线的垂线，垂足为．过点作垂足为，
则．
在中，，．
．
以点为圆心为半径的与直线相切． （12分）
③以抛物线上任意一点为圆心，以为半径的圆与直线相切． （14分）
86（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心的坐标为，半径为1，，1分
二次函数的图象经过点，
可得方程组 2分
解得：二次函数解析式为 3分
（2）过点作轴，垂足为． 4分
是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在中，
为锐角， 5分
，
在中，．
．
点坐标为 6分
设切线的函数解析式为，由题意可知， 7分
切线的函数解析式为 8分
（3）存在． 9分
①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似）
， 10分
②过点作，垂足为，过点作，垂足为．
可得（两角对应相等两三角开相似）
在中，，，
在中，，
， 11分
符合条件的点坐标有， 12分
87.（08青海省卷28题）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图乙所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式；
（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量）
（08青海省卷28题解析）解：（1）设，
把代入，得．
． （1分）
自变量的取值范围是：． （2分）
（2）当时，
设， （3分）
把代入，得，．
． （5分）
当时，
（6分）
即．
（3）设王亮用于回顾反思的时间为分钟，学习效益总量为，
则他用于解题的时间为分钟．
当时，
． （7分）
当时，． （8分）
当时，
． （9分）
随的增大而减小，
当时，．
综合所述，当时，，此时． （10分）
即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
（11分）
88（08山东济宁26题）（12分）
中，，，cm．长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于两点，线段运动的时间为s．
（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；
（3）为何值时，以为顶点的三角形与相似？
（08山东济宁26题解析）解：（1）当点在上时，，．
． 2分
当点在上时，．
． 4分
（2），．．
． 6分
由条件知，若四边形为矩形，需，即，
．
当s时，四边形为矩形． 8分
（3）由（2）知，当s时，四边形为矩形，此时，
． 9分
除此之外，当时，，此时．
，．． 10分
，．
又，． 11分
，．
当s或s时，以为顶点的三角形与相似． 12分
89（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？
（08四川巴中30题解析）解：（1）在中，令
，
， 1分
又点在上
的解析式为 2分
（2）由，得 4分
，
， 5分
6分
（3）过点作于点
7分
8分
由直线可得：
在中，，，则
， 9分
10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分
90（08四川自贡26题）抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM的形状，并说明理由。
（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。
（08四川自贡26题解析）解：（1）令
得
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形
（2）设
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M(－2，－1)
∴，即AB＝2
∴A(－3，0)，B(－1，0)
将B(－1，0)代入中得
∴抛物线的解析式为，即
图略
（3）设平行于轴的直线为
解方程组
得，（
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与轴相切
据题意得
∴
解得
∴圆心坐标为和
91（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
（08新疆自治区24题解析）24．（10分）解：（1）设抛物线的表达式为 1分
点在抛物线的图象上．
∴
3分
∴抛物线的表达式为 4分
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）
已知窗户高1.6m，∴ 5分
（舍去） 6分
∴（m） 7分
又设最多可安装n扇窗户
∴ 9分
．
答：最多可安装4扇窗户． 10分
（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）
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O
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P
D
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C
B
A
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x
25
4
图乙
图甲
第28题图
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图14
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图10
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图9
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图16
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第26题图
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（第题图）
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