专题复习（7）——《三角形相似》
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三角形的相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
一、基础训练
1、（07宁德）若，则．
2、若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（）
A． B． C． D．
3、如果两个相似的比为,那么这两个相似面积比为的重心，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
6、如图，已知DE∥BC，EC=6cm，DE=5cm，AE=3cm，AB=14cm，
求AD、BC的长．
二、例题分析：
例1、如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，踏板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，现在从捣头点着地的位置开始，让踏脚着地，则捣头点上升了米．
中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．
⑴求与的函数表达式；
⑵当为何值时，有最大值，最大值是多少？
三、巩固练习：（Ａ组）
1．如图1，若DE∥BC，且AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则AE=_______．
2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，则＝中，交于，交的延长线于，若，
，则____度；若，厘米，则 厘米．
4．如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是（）
A．B． C．D．和
如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．
中，，．
（1）请再写出图中另外一对相等的角；
（2）若，，试求梯形的中位线的长度．
（B、C组）
7、如图5，△ABC内接于⊙O，D是弧AC的中点
求证：CD2=DE·DB。
C组
8、(2007长沙)如图，□中，，，，为上一动点（不与重合），作于，，的延长线交于点，设，的面积为．
（1）求证：；
（2）求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；
（3）当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？
9：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论。（变式：当点Ｐ、Ｑ运动时，四边形QAPC的面积是否改变？若不变，求出它的面积；若改变，请说明理由。）
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似。
10、（陕西）王师傅有两块板材边角料，其中30cm，下底为一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．
和
得．
从而可得与的函数表达式是
解：（1）（或） 3分
（2），又
5分
，即 6分
，，，
解得 7分
梯形的中位线长为 8分
9：分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，，即时，三角形QAP为等腰三角形；
（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积
==36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。
（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，
由相似关系得或，解之得或
10、（1）由题意，得△DEF∽△CGF，∴，∴FC=40（cm）．
（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，
y的最大值为60×30=1800（cm2）．
②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
根据题意，得△GFC∽△GPN．
∴．∴NG=x，∴BN=120－x．
∴y=x（120－x）=－（x－40）2+2400．
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）．
③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2）．
综合①②③，得x=40cm时，
矩形的面积最大，最大面积为2400cm2．
（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：
y=－x2+120x．
当y=x2时，正方形的面积最大．
∴x2=－x2+120x．
解之，得x1=0（舍去），x2=48（cm）．
∴面积最大的正方形的边长为48cm．
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图3
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
（第5题图）
·
E
D
第2题图
A
图5
图1
第2题
O
D
C
B
A
C
B
A
（第6题图）
D
C
B
图5
北岸
南岸
图4
F
E
D
C
B
A
图5
B
E
D
A
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
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