全国中考数学压轴题精选(十一)
101.21．如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片，为坐标原点，轴，，现将纸片按如图折叠，为折痕，．折叠后，点落在点，点落在线段上的处，并且与在同一直线上．
（1）求的坐标；
（2）求经过三点的抛物线的解析式；
（3）若的半径为，圆心在（2）的抛物线上运动，
与两坐标轴都相切时，求半径的值．
21．解：（1）过作轴于点，如图（第21题图）
在中，，
1分
由对称性可知：
2分
点的坐标为 3分
（2）设经过的抛物线的解析式为，则
4分
解之得
抛物线的解析式为： 5分
（3）与两坐标轴相切
圆心应在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上．
即在直线或上 6分
若点在直线上，根据题意有
解之得
，
7分
若点在直线上，根据题意有
解之得，
的半径为或． 8分
10223．如图9，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在上．
（1）求的大小；
（2）写出两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08新疆乌鲁木齐23题解答）23．解：（1）作轴，为垂足，
，半径 1分
， 3分
（2），半径
，故， 5分
6分
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为 7分
设抛物线解析式 8分
把点代入上式，解得 9分
10分
（4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形 11分
且．
轴，点在轴上． 12分
又，，即．
又满足，
点在抛物线上 13分
所以存在使线段与互相平分． 14分
103.(08云南省卷24题)24．（本大题满分14分）如图12，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
(08云南省卷24题解析)(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上，
∴4=3+m.………………………………（1分）
∴m=1.………………………………（2分）
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.………………………………（3分）
∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，
∴4=a(3-1)2,
∴a=1.………………………………（4分）
∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.
即y=x2-2x+1.………………………………（5分）
(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.
∴PE=h=yP-yE………………………………（6分）
=(x+1)-(x2-2x+1)………………………………（7分）
=-x2+3x.………………………………（8分）
即h=-x2+3x(0＜x＜3).………………………………（9分）
(3)存在.………………………………（10分）
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.…………………（11分）
∵点D在直线y=x+1上,
∴点D的坐标为(1,2),
∴-x2+3x=2.
即x2-3x+2=0.………………………………（12分）
解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)………………………………（13分）
∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.……………（14分）
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE.………………（11分）
设直线CE的函数关系式为y=x+b.
∵直线CE经过点C(1,0),
∴0=1+b,
∴b=-1.
∴直线CE的函数关系式为y=x-1.
∴得x2-3x+2=0.………………………………（12分）
解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)………………………………（13分）
∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.……………（14分）
104（08贵州遵义27题）27。（14分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形(如图(2)所示)，将△AB1D1沿直线AB1方向移动(点B2始终在AB1上，AB1与CD2始终保持平行)，当点A与B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与B2D2交于点E，B2C与B1D1交于点F，
(1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B2FD1E是什么四边形？并证明你的结论；
(2)设平移距离B2B1为x，四边形B2FD1E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD1E的面积的最大值；
(3)连结B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时，△B1B2F与△B1CF相似？
（08贵州遵义27题解析）解：(1)四边形B2FD1E是矩形。
因为△AB1D1平移到图(3)的，所以四边形B2FD1E是一个平行四边形，又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角。所以四边形B2FD1E是矩形。
(2)因为三角形B1B2F与三角形AB1D1相似，则有B2F==0.6X,B1F==0.8x
所以sB2FD1E=B2F×D1F=0.6X×(8-0.8x)=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48(x-5)
当x=5时，y=12是最大的值。
(3)要使△B1B2F与△B1CF相似，则有即
解之得：x=3.6
105.（08湖南邵阳25题）25．如图（十七），将含角的直角三角板（）绕其直角顶点逆时针旋转解（），得到，与相交于点，过点作交于点，连结．设，的面积为，的面积为．
（1）求证：是直角三角形；
（2）试求用表示的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）以点为圆心，为半径作，
①当直线与相切时，试探求与之间的关系；
②当时，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
（08湖南邵阳25题解析）25．（1），
又， 1分
又， 2分
，
，即是直角三角形； 3分
（2）在中，，
，
，，
； 4分
； 5分
（3）①直线与相切时，则．
，
．
， 6分
又，
是等边三角形，，
，
又； 7分
②当时，
则有，解之得或； 8分
（i）当时，，
在中，，，
在中，， 9分
，即，
直线与相离； 10分
（ii）当时，
同理可求出：， 11分
，
直线与相交． 12分
106（08四川乐山28题）28．如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的横坐标，是关于的方程的两根．
（1）求、的值；
（2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式；
（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（08四川乐山28题解析）28．解：（1）以为直径的圆过点，
，而点的坐标为，
由易知，
， 1分
即：，解之得：或．
，，
即． 2分
由根与系数关系有：
，
解之，． 4分
（2）如图（3），过点作，交于点，
易知，且，
在中，易得， 5分
，
，
又，有，
， 6分
，
则，即， 7分
易求得直线对应的一次函数解析式为：． 8分
解法二：过作于，于，
由，
求得． 5分
又，
求得． 7分
即，
易求得直线对应的一次函数解析式为：． 8分
（3）过点作于，于．
为的平分线，．
由，有 9分
由，有 10分
， 11分
即． 12分
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D
O1
C1
（第21题图）
O
x
y
A
B
E
C
D
O1
C1
（第21题图）
O
x
y
H
P
O
A
y
x
B
D
图9
O
A
y
x
B
F
A
B
E
C
l
(0，2)
F
E
M
D
O
C
A
B
N
图（3）
x
y
l
M
D
O
C
A
B
N
图（18）
x
y
D
C
M
N
E
A
图（十七）
B
D2
D1
B1
B2
F
E
C
A
D1(D2)
B1(B2)
C
A
D
C
B
A
D
y
x
O
图12
P
C
A
B
E
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|
