“动”了五年的压轴题——河北省近五年中考数学压轴题综述
河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从1996年至2001年的近五年来呈现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。一、单点运动型例1(1999年河北省中考压轴题)如图1-1，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边与AB边所在直线的解析式分别为：y=x和y=-x+。D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点(点P与点O不重合)，连结DE和CP，其交点为Q。(1)求证：点Q为△COP的外心；(2)求正方形OABC的边长；(3)当⊙Q与AB相外切时，求点P的坐标。解：(1)∵D、E分别为正方形OABC中OC、AB的中点，∴DE∥OA。∴Q也是CP的中点。又∵CP是Rt△COP的斜边，∴点Q为△COP的外心。(2)由方程组解得∴点A的坐标为(4，3)。过点A作AF⊥ox轴，垂足为点F。∴OF=4，AF=3。由勾股定理，得OA==5。(3)如图1-2，当△COP的外接圆⊙Q与AB相切时，∵圆心Q在直线DE上，且DE⊥AB，∴E为⊙Q与AB相切的切点。又∵AE和APO分别是⊙Q的切线与割线∴AE2=AP·AO∵OA=5，AE=∴()2=AP·5，∴AP=∴当⊙Q与AB相切时，OP=5-作PH⊥ox，垂足为H。∵PH∥AF，∴∴OH=，PH=∴点P的坐标为(3，)二、双点互动型例2(1997年河北省中考压轴题)已知：如图2-1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为⊙O的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。求：(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离？解：(1)∵AD∥BC，∴只要QC=PD，四边形PQCD为平行四边形。此时，有3t=24-t，解，得t=6。即当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形。同理，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形。过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点(如图2-2)，则由等腰梯形的性质可知：EF=PD，QE=FC=2。∴2=[3t(24-t)]解得t=7∴t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。(2)设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G(如图2-3)，过P作PH⊥BC，垂足为H。则PH=AB，BH=AP，即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。由切线长定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即(26-2t)2=82+(26-4t)2化简整理，得3t2-26t+16=0解，得t1=，t2=8即t=秒或t=8秒时，直线PQ与⊙O相切。∵t=0(秒)时，PQ与⊙O相交；当t==8(秒)时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，此时PQ也与⊙O相交。∴当t=或t=8时，直线PQ与⊙O相切；当0≤t＜或8＜t≤8时，直线PQ与⊙O相交；当＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离。三、直线平移型例3(2000年河北省中考压轴题)在如图3-1所示的直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为直径⊙P经过点C，点D在y轴上，DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线，设DM与AB边的交点为M(点M在线段AB上，但与A、B两点不重合)，点N是DM与BC的交点设OD=t。(1)求点A和B的坐标；(2)设△BMN的外接圆⊙G的半径为R，请你用t表示R及点G的坐标；(3)当⊙G与⊙P相切时，求直角梯形OAMD的面积。解：(1)连结AC。∵OA为⊙P的直径，∴∠ACO=90°又∵OA=2，∠AOC=60°，∴OC=1，AC=∴点A的坐标为(,1)又OABC为平行四边形，∵ABOC，∴点B的坐标为(,2)(2)∵DM⊥y轴，且AB∥OC，∴DM⊥AB。∴∠NMB=90°∴⊙G的圆心G为BN的中点。又∵∠B=∠AOC=60°，∴BM=BN=R。而点B的纵坐标为2，点M的纵坐标=点D的纵坐标=t，∴BM=2-t，∴R=2-t过点G作GH∥y轴，交x轴于点H，交DM于点F；过点G作GK∥x轴，交AB于点K(如图3-2)。根据垂径定理，得到：FM=MN，KM=BM。设点G的坐标为(x,y)∵NM=(2-t)∴x=DM-MN=-(2-t)=t，y=OD+BM=t+(2-t)=1+t。∴点G的坐标为(t，1+t)。(3)连结GP，过点P作PE∥x轴，交GH于点E。由PE⊥GE，根据勾股定理得：GP===当⊙G与⊙P外切时，PG=R+1，∴=3-t。解得t=，经检验t=是原方程的根。此时，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=∴此时，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=，∴直角梯形OAMD的面积为：S=，DM==。四、点线共动型例4(2001年河北省中考压轴题)如图4-1，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60°。点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒(0≤t≤10)。(1)点N为BC边上任意一点。在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；(2)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；(3)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒a(a≥2)个单位长的速度沿着射线BC方向(可以超越C点)移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P。当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，并求出S=0时a的值。解：(1)MN一定能在某一时刻将菱形ABCD分割成面积相等的两部分。对于中心对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分。而且菱形是中心对称图形(如图4-2所示)。在点M由A到D的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段MN过菱形的中心。(2)过B作BE⊥AD，垂足为E(如图4-3)。在Rt△ABE中，BE=10sin60°=5∵AM=t，BN=2t，∴S梯形ABNM=(t+2t)×5=t。∵2t≤10，∴t≤5∴当t=5时，S梯形ABNM最大。最大面积为：×5=。(3)△ABC是腰长为10的等腰三角形。当△ABC≌△ABC时(如图4-4)MP=10，PN=BC=10，且MP=PN。∴NC=PN-PC=BC-PC=PB∵BP=AM=t，∴PC=10-t，NC=t过P作PG⊥DC，垂足为G。在Rt△PGC中，PG=PCsin60°=(10-t)。设MN交DC于F，∵DC∥MP，且MP=PN，∴∠NFC=∠NMP=∠MNP，∴FC=NC=t。∵重叠部分MPCF是梯形，∴S=(t+10)×(10-t)=-t2+25当S=0，即-t2+25=0时，解得t1=10，t2=-10(舍去)∵BN=at，且BN=PN+PB=10+t，∴at=10+t。将t=10代入at=10+t，解得a=2。五、点圆齐动型例5(1998年河北省中考压轴题)如图5-1所示，一艘轮船以20浬/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40浬/时的速度由南向北移动，距台风中心20浬的圆形区域(包括边界)都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100浬。(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；(2)现轮船自A处立即提高航速，向位于东偏北30°方向，相距60浬的D港驶去。为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少(提高的船速取整数，≈3.6)？解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE(如图5-2)。则有AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20。在Rt△AEC中，AC2+AE2=EC2，∴(20t)2+(100-40t)2=(20)2。整理，得t2-4t+3=0①∵△=(-4)2-4×1×3=4＞0，∴途中会遇到台风。解①，得t1=1，t2=3。∴最初遇到台风的时间为1小时。(2)设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点。过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM。在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°，∴DF=30，FA=30。又(30)2+(130-40t)2=(20)2，整理，得4t2-26t+39=0解之，得t1=，t2=。∴台风抵达D港的时间为小时。∵轮船从A处用小时到D港的速度为60÷≈25.5。因此，为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6浬/时。连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景，并非纯属巧合。大概主要原因是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维能力的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动中求静的辨证统一思想，又成为体现数学中辩证法的很好素材。由此可见，无论从此类题目的命题形式、还是考查意图上，把它放在最后一道压轴题的位置，都是恰如其分的。
3eud教育网http://www.3edu.net百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
3eud教育网http://www.3edu.net教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
|
|
