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成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题（理科）
满分150分，考试时间120分钟
出题人：江海兵审题人：廖学军
一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.
1.ABC?中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若13,2.cos()
3abAB????
，则c?（）
.4.15.3.17ABCD
2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天
织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。（不作近似计算）（）
A.1
2
B.8
15
C.16
29
D.16
31
3．若)2ln(
21)(2????xbxxf
在),1(???上是减函数，则b的取值范围是（）
.[1,)A???.(1,)B???.(,1)C???.(,1]D???
4.已知平面,??和直线m，给出条件：①//m?；②m??；③m??；④???；⑤//??
能推导出//m?的是（）
.A①④.B①⑤.C②⑤.D③⑤
5．已知数列??
na
满足
11
30,,
31nnn
aaanN
a?
????
?
，则
2015a
等于()
3.0.3.3.
2ABCD?
6．在中，若、、分别为角、、的对边，且，则有（）
A．成等比数列B．成等差数列C．成等差数列D．成等比数列
7.设M是ABC?所在平面上的一点，且330,
22MBMAMCD???
是AC中点，则MD
BM
的值为（）
11...1.232ABCD
8．若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx?和2159
4yaxx???
都相切,则a?()
A.1?或25
64?
B.1?或21
4
C.7
4?
或25
64?
D.7
4?
或7
9.已知,xy满足约束条件10
230
xy
xy
?????
????
，当目标函数(0,0)zaxbyab????在约束条件下取到最小值25时，
22ab?的最小值为（）
.1.2.3.4ABCD
ABC?abcABCcos2coscos()1BBAC????
,,acb,,acb,,abc,,abc
FJuwNPxLydXuQ3I=
10.我们把具有以下性质的函数()fx称为“好函数”：对于在()fx定义域内的任意三个数,,abc，若这三个数能作
为三角形的三边长，则(),(),()fafbfc也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数：
①()fxx?②)
21,0(,1)(???xxxf
③xexf?)(，)1,0(?x④xxfsin)(?，),0(??x.
其中是“好函数”的序号有（）
A.①②B.①②③C.②③④D.①③④
二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上.
12．6,62,abtabtab????已知若与的夹角为钝角,则t的取值范围为
14.已知命题:p函数2()2fxxax???在[1,1]?内有且仅有一个零点．命题:q23(1)20xax????在区间13[,]
22
内
恒成立．若命题“p且q”是假命题，实数a的取值范围是．
15.给出定义：若11,,()
22xmmmZ??????????
，则m叫做实数x的“亲密函数”，记作??xm?，在此基础上给出下列
函数??()fxxx??的四个命题：
①函数()yfx?在(0,1)x?上是增函数；②函数()yfx?是周期函数，最小正周期为1；
③函数()yfx?的图像关于直线()
2kxkZ??
对称；
④当??0,2x?时，函数()()lngxfxx??有两个零点.
其中正确命题的序号是
三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.
16.（12分）已知函数2()3cos42cos(2)1
4fxxx?????
（1）求()fx得最小正周期；（2）求()fx在区间,
64?????????
上的取值范围.
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17.（12分）已知数列{}
na
满足1
11
21,()
2
nn
nn
n
aaanN
a
?
?????
.
（Ⅰ）证明数列2n
na
????
??
是等差数列；（Ⅱ）求数列{}
na
的通项公式；
（Ⅲ）设(1)
nnbnna??
，求数列{}
nb
的前n项和
nS
.
18.(12分)ABC?为一个等腰三角形形状的空地，腰AC的长为3（百米），底AB的长为4（百米）.现决定在空地内
筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，
面积分别为
1S
和
2S
.
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）若小路的端点,EF两点分别在两腰上，求
1
2
SS得最小值.
19.(12分)如图分别是正三棱台
111ABCABC?
的直观图和正视图，
1,OO
分别是上下底面的中心，E是BC中点．
（1）求正三棱台
111ABCABC?
的体积；(注：棱台体积公式：1()
3VSSSSh????下下上上
，其中S
上
为棱
台上底面面积，S
下
为棱台下底面面积，h为棱台高)
（2）求平面
11EAB
与平面
111ABC
的夹角的余弦；
（3）若P是棱
11AC
上一点，求
1CPPB?
的最小值．
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20.（13分）已知函数21(),()()sin
2fxxgxfxx?????
，其中函数()gx在??1,1?上是减函数.
（1）求曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程；
（2）若()3sin1gx???在??1,1x??上恒成立，求?得取值范围.
（3）关于x的方程ln(1)2fxxm???，11.1xe
e?????????
有两个实根，求m的取值范围.
21.（14分）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，
将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位
长度后得到函数的图像．
（1）求函数与的解析式；
（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若
不存在，说明理由．
（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．
()sin()(0,0)fxx???????????(,0)4?
()fx2?
()gx
()fx()gx
0(,)64x???0000(),(),()()fxgxfxgx0x
an()()()Fxfxagx??(0,)n?
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