24.8角平分线的性质及其逆定理
1.如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B．
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90o，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______．
答案：3，5，24
3.用三角尺画角平分线：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理．
答案：提示：OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP，∴射线OP是∠AOB的平分线．
4.如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置．
答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置．
5.如图，△ABC中，∠C=90o，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（）
A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm
答案：D．
6.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
答案：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN。∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．
7.如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．
求证：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．
答案：△ABP≌△CBP，∴AB=CB，又∠ABP=∠CBP，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．
8.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．
求证：点C在∠AOB的平分线上．
答案：提示：作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，∴S△MOE=S△NOD，同时去掉S四边形ODCE，得S△MDC=S△NEC，易证，MD=NE，∴CE=CF，∴点C在∠AOB的平分线上．
9.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．
求证：AD垂直平分EF．
答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得∠DEF=∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF．
10.如图，已知△ABC中，∠C=90o，∠BAC=2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE=DC．
求证：AD=BD．
答案：提示：DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=∠DAC=∠BAC，又∠B=∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD．
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1.如图，△ABC中，∠CAB=120o，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（）A．40o B．50o C．60o D．80o
答案：C．
2.已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．
答案：垂直平分线上；垂直平分线上．
3.已知：△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在BC的垂直平分线上．
答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上．
4.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）
A．60° B．75°
C．90° D．95°
答案：C．
5.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．
答案：15．
6.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？
答案：AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等．
7.如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
答案：提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．
8.把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．任意三角形
答案：B．
9.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
答案：C．
线段垂直平分线和角的平分线部分典型习题
1、（2008·重庆）△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）
A、点P在△ABC内B、点P在△ABC底边上
C、点P在△ABC外D、点P的位置与△ABC的边长有关
2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形
3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于()
A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°
4、（2009·陕西）如图1，在锐角△ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是。
5、（2009·甘肃）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（）
A、AB＞AD＋BCB、AB＝AD＋BC
C、AB＜AD＋BCD、无法确定
6、在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，M是AB上一点，连接MD、MC,MD、MC分别平分∠ADC、∠BCD，求证：（1）AM=BM；（2）∠DMC=90°.
7、（2009·北京）如图3-①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图3-③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
8、（2007·绵阳）如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②(③,①③(②，②③(①。
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题。
9、如图5，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分∠DOE
10、（2007·日照）如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。
1.在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长变式1:如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=?变式2:如图，Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于E，若BE=2，∠B=15°，求AC的长。变式3:如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于E，若BE=2，∠B=22.5°，求:AC的长。
变式1：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？
解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°.
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.
变式2：
如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B=15°
求：AC的长。
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A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
B
C
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C
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P
A
B
C
D
P
A
B
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M
N
A
B
C
D
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F
A
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C
E
C
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E
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E
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C
F
A
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B
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A
B
C
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Q
R
图1
图2
图3
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