整体把握函数内容，宏观设计教学策略

整体把握函数内容，宏观设计教学策略

——以青岛版《义务教育教科书·数学》对“函数”的设计为例

山东沂南教育局（276399）李树臣

【发表在湖北《中学数学》2014年第8期】

函数中学数学的核心内容《标准》《标》

主要内容是函数的图象、一次函数的概念、图象及其性质，一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系、一次函数的应用。在呈现课程内容时突出数形结合思想的作用。在第10.1节“函数的图象”中，教材首先创设了“测定倒置的饮料瓶中水面下降高度随时间变化的实验数据”的问题情境。然后通过列表，在坐标系中描出对应的各点，用平滑的曲线连接各点，并从画出的曲线上获取信息，引出函数图象法的概念。函数图象的作用有二：一是通过函数的自变量的值和函数值与直角坐标系内的点建立联系，用坐标平面内的点的位置来刻画自变量与函数值的对应关系，通过点的位置的变化反映函数的某些特征；二是所有这些点的全体就构成了这个函数的图象。最后结合具体例子介绍了描点法画函数图象的步骤。在10.2节，教科书引导学生从实际问题情境中抽象出它们的一般形式y=kx+b（k≠0），从而给出一次函数的定义。特别地，当k≠0，b=0时，函数y=kx+b成为y=kx，它仍然是一次函数，叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特例，这样设计体现了特殊与一般的关系，符合学生认识事物的规律。一次函数和正比例函数的这种形式化的定义方式，实质上是模型思想的体现。在此基础上，教科书利用待定系数法确定一次函数的表达式，进而引导学生画出一次函数的图象。由于函数的图象可以形象直观地反映函数的变化情况和某些性质，同时为了突出几何直观和数形结合的作用，在学习了一次函数的有关知识后，教科书接下来探究了一次函数图象与二元一次方程及一元一次不等式的联系。通过现实生活中的一些实例介绍了一次函数的应用。

教科书的这种设计能充分体现“变化与对应”的思想，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，培养学生用运动变化的眼光，以函数为工具，从“数”与“形”两个方面动态地分析问题，从而全面地认识函数，帮助学生理解“数与代数”中核心内容间的实质性联系，感悟转化和数形结合的思想，提高学生对数学实质的理解和对数学各部分知识之间的整体性的感悟。为下阶段学习反比例函数、二次函数以及一般性地了解函数的概念打下基础。

3.深化学习阶段（九上第2章及九下第5章）

本阶段的主要任务是，理解对应与函数思想，深化对函数知识的理解和应用，使得学生能够一般性地了解函数的概念。教材是分两次完成这个任务的：

第一次，认识函数的本质。函数的本质是“对应”，为了让学生认识到这一点，教材在九上第2.1“锐角三角比”中学习三角比（三角函数）时，抓住正弦进行了深刻的剖析：正弦涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识。正弦的值本质上是一个“比”，这个“比”就是“函数”，∠α是自变量，这个“比”之所以叫做∠α的函数，就是因为对∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比与之相对应。有了这样的一些认识，学生对正弦的理解就比较容易了，同时对函数的本质也有了深刻的认识。

第二次，从本质上把握函数概念。教材九下第5章“对函数的再探索”主要研究了函数的概念及三种表示法；反比例函数；二次函数。

教科书首先在分析用图象法、列表法及解析式中两个变量之间的函数关系实例的基础上，第二次给出函数的定义：

在同一个变化过程中，有两个变量x，y，如果对于变量x在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。

相比第一次给出的定义，这里突出了两点：一是自变量“可以取值的范围（定义域）”；二是对应关系。从而使学生对函数概念的认识得到了深化。函数的这个定义比七上给出的定义更加靠近函数的近代定义，使学生真正理解“函数概念是建立在两个变量的依存关系之上”的。为加深学生对数形结合思想的认识，进一步获取用初等方法研究函数的体验，教科书以电费的收取为例介绍了“分段函数”的知识，这样有利于开阔学生的视野，丰富对函数的认识，加深对函数的理解。

在给出函数的概念之后，教科书用较长的（约15课时）篇幅借助于学习一次函数的经验依次研究了反比例函数、二次函数的图象、性质以及二次函数与一元二次方程的联系。最后用四个实例介绍了二次函数的应用。

各种函数解析式的求法与图象的应用使得同学们完成了初中阶段对函数的学习任务。为高中阶段继续学习函数打下必要的基础。

三、函数模块教学的宏观策略

1.重视函数模型的教学

从数学自身的发展过程看，变量与函数概念的引入，标志着数学由常量数学向变量数学的迈进。函数是研究运动变化的一个重要的数学模型，它至少涉及到《课标（2011年版）》界定的十个核心词中的“符号意识”、“推理能力”、“模型思想”、“几何直观”和“应用意识”五个。可见，抓住函数模型进行教学意义重大。函数突出的是现实生活中可以用函数模型表达的各种“变化现象”，特别是其中存在的“不同变量之间的对应关系”。教学中要采取由具体例子逐步过渡到抽象定义的方法，在教学的开始不要急于给出定义，要结合生活生产中的实例提出多个问题，让学生尝试分析这些不同背景的现实问题中所蕴涵的“变化规律”，从而总结寻找变化规律的基本方法。同时，在函数模型的教学过程中，要让学生体会其中蕴涵的数学思想方法，如抽象法、模型化、运动与变化，数形结合等思想方法。

2.重视函数性质的研究

主要指研究一般意义上的一次函数、反比例函数、二次函数的基本性质以及它们之间的异同。对于这些性质的教学应当让学生经历完整的探究过程，针对以不同形式呈现的具体函数，从不同的角度、借助不同的方式、研究其基本性质，并在应用这些性质解决问题的过程中加深对相关性质的认识。同时注意对不同种类函数基本性质的比较，以加深对相关性质的认识，从而为了解一般的函数概念作铺垫。

在探究函数性质的过程中注重对学生几何直观的培养。几何直观主要指利用图形描述、解释和分析问题，加强数形结合的教学是培养学生几何直观的重要渠道。在传统的教学中，对“数”的特征（函数的表达式）的重视程度比对“形”的特征的重视程度要高，因而导致学生缺乏识图、用图能力，数形结合的意识较差。在函数内容的教学时，要把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，从“数”与“形”两方面动态地分析问题，从而全面地认识函数，充分体现“变化与对应”的思想，让学生感悟转化和数形结合的思想，提高学生对数学实质的理解和对数学各部分知识之间的整体性的感悟。

如教学“一次函数与二元一次方程”、“一次函数与一元一次不等式”、“二次函数的图象与一元二次方程”等内容时，注意从变量的观点去认识二元一次方程、一元一次不等式和一元二次方程。让学生能：（1）通过在同一个坐标系中作出两个一次函数图象，由它们的交点坐标，求二元一次方程组的解；能根据二元一次方程组的解确定两个一次函数的交点坐标。（2）根据直线与x轴的交点，说出该交点的代数意义，再以交点为界点，探索直线在x轴上方和下方部分的所有点的横、纵坐标的特征，并用不等式表示出来；能根据函数的图象得到不等式的解集，并把通过具体例题得到的方法进行一般化、抽象化，得到利用图象解不等式ax+b＞c或ax+b＜c的方法，让学生体验数学研究的过程和方法。（3）根据二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）图象求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解。

在函数性质的教学中，应当让学生体会其中蕴涵的实验、归纳、类比、数形结合等思想方法。

3.鼓励学生独立思考、自主探索与合作交流

主动探索、独立思考和合作交流是获得《课标（2011年版）》界定的“四基”、促使学生主动地、富有个性的学习、不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力的重要且有效的途径。在函数图象、描点法作图、各种函数的图象与性质、函数与方程（不等式）的关系等学习过程中，教师应引导学生积极主动地参与观察、实验、列表、画图、探究、交流等数学活动，以不断丰富数学活动经验，感悟数学思想，培养良好的学习习惯。长期进行这样的活动，学生不仅能主动地获取知识，而且能学会探索、学会学习。

4.加强新旧知识的联系，促使学生新的认知结构的构建

教师在函数知识的教学中，不仅应注意各节知识内容和思想方法上的密切联系，还要揭示函数知识与学生已学过的知识的联系，帮助学生从整体上理解数学。特别要注意一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式之间、二次函数的图形与图形的平移之间、二次函数与一元二次方程之间的联系。在具体问题上，让学生正确运用待定系数法、配方法，注意数学建模、转化以及数形结合思想的运用，以利于学生对知识的正迁移。

5.突出函数应用的教学

用函数的知识、方法解决各种具有特定变化规律的问题，从而培养学生的应用意识，是数学教学的基本要求之一。在引导学生学习与函数有关的内容时，要把解决实际问题贯穿于始终。

通过建立函数模型解决实际问题的过程主要包括：数学模型在的基础上从数学的角度，变量之间的数量关系建立相应的数学结构把实际问题转化成数学问题。求解模型：（）



















6.注重数学活动经验的积累和应用

对于函数，初中阶段主要研究一次函数（含正比例函数）、反比例函数和二次函数。青岛版教材研究的一次函数函数的知识是按照以下顺序展开的：第一，从实际问题情境中抽象得到函数的模型第二，给出函数的描述性定义第三，利用列表、描点、连线这些步骤画出函数的图象第四，通过比较不同的函数图象，考察函数解析式y=kx（k≠0）中的取值对函数图象位置的影响及对自变量和函数值之间变化关系的影响第五，应用函数的有关知识解决问题（包括实际问题）进一步地，通过分析锐角三角比例函数二次函数可以发现，基本是沿用函数的研究过程，可以用图3两种具体的数学活动经验和四种一般的数学活动经验两种具体的数学活动经验：（1）函数图象的画法经验即函数图象画法三部曲——列表、描点、连线；（2）函数性质的研究经验就是考察函数解析式中的参数变化对函数图象的位置特点和几何特征的影响，对函数的自变量和函数值之间变化关系的影响四种的数学活动经验：（1）函数的研究过程经验：抽象函数模型给出函数定义画出函数图象研究函数性质应用函数知识（2）函数性质的研究经验：借助函数的直观图象数形结合的方式来研究函数的性质（3）数学抽象的活动经验：学生在函数知识的学习中要经历两次抽象的过程，一是从实际问题情境中抽象得到函数概念模型；二是在函数概念模型的基础上进一步归纳形成抽象的函数概念（4）应用函数的知识分析问题和解决问题的活动经验这些数学活动经验反比例函数二次函数这些数学活动经验还可以在高中阶段和大学阶段的函数学习中积极作用关于教好函数知识的几个问题罗新兵数学活动经验的案例分析中学数学教学参考2013（3）

[5]李树臣.精心设计问题情境，引导学生自主发展——青岛版《义务教育教科书·数学》中问题情境的类型及设计意图[J].中学数学教学参考，2013（10）：9-12

[6]邢成云.类比引领，问题驱动，方法促成——《待定系数法求二次函数解析式》的教学实践及反思[J].中学数学（下），2014（1）

[7]李树臣.深入研究课程标准，精心选择课程内容——青岛版《义务教育教科书·数学》中课程内容选取的主要原则[J].中学数学杂志，2014（2）：15-18

[8]马复.初中数学教学策略[M].北京:北京师范大学出版社，2010

[9]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（（2011年版））[M].北京:北京师范大学出版社，2012































1





























































































































图2



实际问题的解



数

学

方

法



数学模型的解



回到实际问题、接受实践检验



分析、抽象、转化、建立数学结构



数学化



数学模型



生活中的

现实问题



图3



建立

函数

模型

解答

实际

问题



研

究

函

数

性

质



画

出

函

数

图

象















给

出

函

数

定

义



抽

象

函

数

模

型



图1



二次函

数



一

次

函

数



反

比

例

函

数



锐

角

三

角

比



函

数

概

念