培养学生数学观念的主要途径
山东沂南教育局李树臣
【发表在中学数学杂志，2014.8】
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）提出课程“总目标”后，又从“知识技能”“数学思考”“问题解决”和“情感态度”四个方面进行了具体阐述。仔细研读这些具体阐述，将会发现这四个方面都含有对学生进行数学观念培养的要求。怎样培养学生的数学观念是一个非常值得我们研究和实践的课题，经过长期的教学实践，我们认为培养学生数学观念的主要途径有：
一、加强“四基”教学，为培养数学观念奠定基础
学生拥有的知识容量越大，已有的数学认知结构越优化，其数学观念就越强。一个人有无数学观念或者说他的数学观念强弱的前提，是看他能否具备坚实的数学基础知识，牢固掌握《课标2011年版》规定的课程内容。因此，要培养学生的数学观念，首先应加强“四基”的教学，即强化数学基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验的教学。对这些知识的学习，有效的做法是让学生“经历三个过程，参与一个活动”：其一，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；其二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；其三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能；其四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验。长期经过这样的训练，学生就能扎实掌握基础知识，从而具备逐渐形成数学观念的“源泉”或“资本”。
案例1：cm）。请根据所学的知识回答下列问题：
（1）两台阶有哪些相同点和不同点？
（2）哪个台阶走起来更舒服？为什么？
（3）为方便旅客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。
这是一个很简单的实际问题，主要考查学生对中位数、方差和极差的理解和运用情况。学生通过解答这个问题，既加深了对中位数、方差和极差的认识，又经历了应用它们解答问题的过程。
要培养学生应用数学方法去观察、分析、解决所遇到的问题的意识，即培养学生的数学观念，必须重视基础知识的教学，如果学生基础知识学习的不扎实，就不能形成优化的数学认知结构，也就不能灵活运用这些知识解决有关的问题，培养其数学观念就成为一句空话。
二、注重过程教学
《课标2011年版》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”数学观念的形成贯穿在学过程之中
案例2：“垂线段最短”的垂线段最短下的问题，学生的
（1）如图，怎样测量跳远的成绩？在图中，如果要从人行横道线点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？l外，点O1、O2、O3…在直线l上，其中PO⊥l，量出线段PO、PO1、PO2、PO3…的长度。在这些线段中，哪一条最短？
（4）如图，P是直线l外一点，PO⊥l垂足为点O，是l上任意两点①画出所给图形沿直线l翻折后的图形；②你能说明PO＜PO1，PO＜PO2吗？
事实上，学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的。因此，在教学中应引导学生要像“小科学家”一样通过研究活动去发现问题、提出问题、分析问题直至解决问题。学生在探究过程中除能获取知识、发展技能、形成能力外，还能受到科学价值观和科学方法的教育，并发展自己的个性。这些都是数学观念的具体内容和表现。
三、实施问题解决的策略
《课标2011年版》在“课程目标”中要求学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”可见，在整个数学教育过程中都应培养学生的应用意识，应用意识是重要的数学观念之一。为实现上述目标，我们要实施“问题解决”的教学策略。
案例3：有趣的“握手次数”问题。
在一个国际活动中，来自不同国家的10位代表第一次见面，他们两两握手做自我介绍。试问：在这次见面中有多少次不同的握手？如果代表的人数多于10人，共有多少次握手？对于任意人数赴会，能否找出一种办法计算不同的握手次数？n个同学呢？用y表示n的数，请完成下表：n 1 2 3 4 5 6 … y
（2）以表中的对应数据为坐标点，描出y与n之间的函数关系所对应的图象。猜想y与n之间的函数关系是怎样的？求出y与n之间的函数关系式。y值。
（2）在得到y的值后，建立如图6所示的直角坐标系，横轴表示学生人数n，纵轴表示这n个学生两两握手y，描出并用光滑连线连结表中的各点：（1，0），（2，1），（3，3），（4，6），（5，10），（6，15）。
（3）观察图6可以发现，经过这些点的图象是一条抛物线的一部分，故不难猜到y与n之间的函数解析式为y=an2+bn+c，把（1，0），（2，1），（3，3）代入得
，解得，所以y=n2-n。这就是人数n与握手次数y之间的一个数学关系式，有了这个关系式，握手次数问题就不难解决了。
四、重视推理能力的训练
《课标2011年版》指出“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。…推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。”
《课标2011年版》把“课程内容”分三个学段从“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”及“综合与实践”四个方面进行了详细的要求，这四个方面都为学生推理能力的发展提供了丰富的素材。在教学时，要结合具体内容精心设计问题情境，为他们推理意识、空间观念、数据分析等观念的形成与发展，提供相应的时间与空间。
案例1：调查某校八年级学生的视力情况。
这个案例有利于发展学生的数据分析观念。教学中要以学生亲身经历和体验统计过程作为主线，引导学生经历“提出问题——收集数据——分析数据——作出判断”四个过程：
（1）提出问题
如果该校八年级学生不是很多，可以采用普查的方法。如果学生较多，可以采用抽样的方法，这时应当注意样本选取的代表性和适当的样本容量。
为便于记录和统计，很容易想到要设计下面的记录表（只给出样式）：
学校班级检查时间
编号 姓名 左眼 右眼 备注
（2）收集数据
假如采用的是抽样的方式，从该校八年级学生中随机抽取了50名学生进行视力检查，显然能收集到100个数据（具体数据反映在下面的表格中，这里省略）。
（3）分析数据
右眼情况是：
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 1 1 2 2 2 3 4 5 9 10 11
左眼情况是：
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 1 2 1 5 3 5 2 4 10 7 10
（4）作出判断
本次调查可得到的判断很多，如：
①只要是视力低于1.5的就算是近视眼，所以结论是该校八年级学生中视力情况不容乐观。就右眼来说有39人近视；就左眼来说有40人近视。
②这50名同学右眼视力的平均值为：
（0.1×1+0.2×1+0.3×2+0.4×2+0.5×2+0.6×3+0.7×4+0.8×5+1.0×9+1.2×10+1.5×11）=0.976。据此可估计该校八年级学生右眼视力的平均值为0.976。
左眼视力的平均值为：
（0.1×1+0.2×2+0.3×1+0.4×5+0.5×3+0.6×5+0.7×2+0.8×4+1.0×10+1.2×7+1.5×10）=0.906。据此可估计该校八年级学生左眼视力的平均值为0.906。
③该校八年级学生右眼的视力好于左眼的视力。
④同学们应加强体育锻炼，注意看书的姿势，减少看电视及上网的时间。
……
在这个过程中，学生的推理能力和数据分析观念都将得到到相应的提高。
五、强化数学思想方法的渗透与训练
《课标2011年版》已把数学思想方法作为重要的数学基础知识，重视和加强数学思想方法的教学对形成和发展学生的数学观念具有重要的价值。数学观念指导下的数学思想方法的教学分为渗透与启迪阶段、意识与领悟阶段、形成与应用阶段以及深化与发展阶段四个层次或阶段。
案例5：“对称”观念的形成过程。
就数学对象而立，“对称”是一个独具特色的形式，它可以是一个现象，也可以是一个概念，还可以是一种认知模式，解题策略，当然也是一种重要的数学思想。对它的理解与运用，有助于促进学生对整体思想、运动与变化思想及审美意识的形成，这些都是数学观念的具体体现。我们认为，学生对以下四个问题的思考与解答，基本上能体现出形成“对称”观念的四个阶段。
第一，渗透与启迪阶段。
让学生知道在数学中有“对称”这种形式存在。
问题1：见上期本人的文章“数学教学中应强化的几种数学观念”中的案例2。
第二，意识与领悟阶段。
要让学生认识到对称是一个概念，并能做到深入理解：可以有轴对称、中心对称等。
问题2：如图，有两个全等的正方形ABCD和MNPQ，A点位于正方形MNPQ的中心，AD在MN的处与之相截，那么重合的部分面积是多少？
延长BA、DA交PN、PQ于S、T，则MNPQ被分为四个面积相等的部分，于是重合部分的面积是正方形面积的。
或处或其它地方并不影响问题的结论。到此，对称就作为一个独立的概念，游离于正方形之外（如果不是正方形而是其它图形，只要有这种“对称”，则结论可类似得到）。
第三，形成与应用阶段。
把对称作为一种思维模式，自觉地意识到某些“对称”现象，并以此作为求解问题的突破口与策略，去构造问题的解。于是利用对称可以研究某些特殊的三角形、四边形及圆的有关性质。
问题3：给定一个圆，在该圆周的每一点可染上白色或黑色。采用什么样的染色方案，可以保证内接此圆的任一直角三角形的三个顶点的颜色不全相同（图8）？
圆既是一个中心对称图形，也是轴对称图形，圆内接直角三角形的斜边即为圆的一条直径，所以斜边的两个端点（即该三角形的两个顶点）是关于圆心0的一对“对称”点，只要使这一对“对称点”上颜色不同即可。从而知，染色方案是，只要将同一直径的两个端点染上不同的颜色，就能满足题目的要求。
第四，深化与发展阶段。
通过前三个阶段的学习，对称作为一种认知模式在同学们的认知结构中基本上已经建立起来了，它表现出个体自觉地意识到某些“对称”现象，并以此作为求解问题的突破口或策略，去构思问题的解。若要使学生对于“对称”模式的认知运用或超越“直观”的水平，则需使之彻底摆脱几何图形的束缚，从而渐升为一种思维方式，甚至一种观念。
问题4：求函数S=xy，x＞0，x+y=1时的最大值。
该题中x与y的地位相当——条件中x与y互换时，原题不变，这样可以认为：没有理由突出x或y，故极大值在x=y时取得。这样考虑，是认知水平的飞跃，彻底摆脱了几何图形的约束。
指出：模型。数学模型解决实际问题例子数学教学实际上就是教给学生前人构建的一个个数学模型模型y与同学人数n之间的一个函数关系式S=n2-n。这就是人数n与握手次数y之间的一个数学模型，有了这个数学模型，握手问题就不难解决了。
数学观念是在基础知识的学习、基本技能的训练、数学综合能力的提高等过程中逐渐形成和发展的。所以培养和发展学生数学观念是一个系统工程，培养的途径远不止上面这些。希望老师们深入研究《课标2011年版》和相关的教育理论研究成果，努力探讨一些新的有效的教学途径，共同为培养学生的数学观念，从而提高学生的整体素质，作出我们应有的贡献。
1
10
17
18
15
乙路段
11
15
14
14
16
16
甲路段
B
·
·
·
·
6
5
·
·
·
0
4
3
2
y
16
14
1
12
10
8
6
4
2
A
15
n
图6
B
C
A
图7
O
图8
C
图1
19
P
·
图3
l
P
图2
l
P
O1
O
O2
图5
P
l
O
O1
O2
O3
图4
D
P
Q
M
N
T
S
|
|
