正确认识探究活动，精心设计探究问题
——探究活动的基本形式与探究性问题的主要类型
山东沂南教育局（276399）李树臣
【发表在《中学数学杂志》2014.10】
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程基本理念”中指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”为更好的体现上述要求，充分发挥学生学习的积极性，引发他们的数学思考，教师应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，精心设计问题系列，引导学生积极主动的进行探究活动，在探究的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能，体验和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。为在课堂教学中，笔者是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，为探究内容，能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题学习活动。数学学习本身就是一个探究的过程，数学探究活动可分为：独立探究是指学生个体对探究问题进行独立思考，是探究活动的最基本活动合作探究合作探究是指小组内学生之间对探究问题共同进行探究，合作探究一般是在学生已经经过独立探究，但探究的问题仍得不到很好解决的前提下所采取的一种探究活动方式。
（2）当每个同学都用自己的方法求出n边形的内角和后，再让每个学生在本小组内交流各自的添加辅助线的方法，进而相互比较、分享他人的成果。
（3）全班合作，共同概括。虽然添加辅助线的方法不同（如图2），但本质都是通过添加辅助线分割多边形，把多边形内角和的问题，转化为三角形内角和的问题。无论按照哪种分割法去计算，其结果都是一样的。学生最后通过计算、交流、归纳、发现将得到一个重要结论：n边形的内角和为（n-2）·1800。
本案例既含有独立探究，又有合作探究。（1）是独立探究。学生对图1可能会有不同的分割方法，并且针对自己的分割方法推导出n边形的内角和计算公式来。（2）（3）是合作探究。在学生独立探究问题（1）的基础上，学生会发现，分割方法虽然不同，但都能得到相同的结果，这个结果都是在自己分割图形的特殊情境下得到的，是否具有共性？需要继续探究。学生通过相互交流自己的探究过程，发现尽管添加辅助线的方法不一样，但结果是相同的。
3、引导探究引导探究是在教师引导下学生对问题进行的研究，引导探究一般是在学生已经经过独立探究和合作探究但绝大多数学生对所探究的问题仍感到无能为力或束手无策时所采取的一种探究方式。独立探究合作探究由于探究内容的难度不同、学生的探究能力存在一定的差异，所以选择探究活动的方式也往往有所不同。在课堂教学中，所以能由学生独立探究完成的就不采用合作探究，能由学生合作探究完成的就不采用引导探究。独立探究是前提，合作探究、引导探究是独立探究的补充。数学探究活动的：学生“最近发展区”内实践在数学课堂探究的问题主要有以下几：
（1）基础教材中的数学公式、法则、性质、定理及公理这些的发生、发展及形成过程，（2）这种问题一般都以问题串的形式出现思维启迪从而发现数学问题的一般规律。2014?江苏盐城卷）
如图7，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为。（用含n的代数式表示，n为正整数）
分析：根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律，表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解，并根据结果的规律解答即可。
解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，
…
第n个正方形的边长为2n-1，
由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2×（1+2）×2=，
S2=×4×4+×（2+4）×4×（2+4）×4=8，
Sn为第2n与第2n1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n，第2n1个正方形的边长为22n，
Sn=?22n?22n-2=24n-5。
故答案为：24n-5。
【点评】本题属于探究规律型问题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长。
（3）B，在∠B的两边上分别任取两点A，C。
（2）以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，BA的长为半径画弧，记两弧的交点为D，连接AD，CD。
（3）观察四边形ABCD的特点，你能得到怎样的猜想？并相互交流自己的结论；
（4）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论。
由上面的操作过程，学生可以发现，在图9中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可。这个证明思路的发现就是在同学们作图的过程中探究发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了。
（4）问题解决类
一个数学问题如果对人具有智力挑战特征、没有现成的直接方法、程序或算法可以套用时，就可以称为“问题”。作为“问题解决”的数学题，学生不能简单的模仿现成的公式或沿用常规的解题套路，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动才能解决。
案例6：判定一次函数关系的过程。
一次函数是重要的函数，它在生活实际中有着广泛的应用。笔者在“一次函数的应用”中，曾经以华氏温度与摄氏温度之间的对应关系为例，引导学生探索某个函数关系是一次函数的。
我们知道，世界各国温度之间的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（0C）和华氏温度（0T）两种。它们之间的关系如下表所示：
摄氏温度/0C … -10 0 10 20 30 … 华氏温度/0F … 14 32 50 68 86 … （1）观察上表，如果把表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量，那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索得到的？
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判定它们之间是一次函数关系吗？
（4）你能求出华氏温度为0度（即00T）时，摄氏温度是多少度吗？
（5）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？你会用哪几种方法解决这个问题？与同学交流。
【设计意图】本问题是在学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质的基础上设计的，学生利用已有的知识，能够根据已有经验以表中每一对（x，y）的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出表中相应的点，画出图10所示的图象，观察发现这些点都在同一条直线上，于是利用待定系数法确定出一次函数表达式。
根据表中给定的两个变量之间的数量关系判定这两个变量之间是否为一次函数是比较困难的。可引导学生从计算两个变量对应数值之差的比入手。学生通过计算将会发现这个比是一个常数，如，，，…。特别地，对于固定点（0，32）来说，同样有，，，。如果设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有，整理得y=1.8x+32，因此，y是x的一次函数。有了这个结果后面的问题便迎刃而解。
类似这样的问题来自于课本知识与现实生活的结合，对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力有积极的教育教学价值。进行问题解决教学，既是对教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”美籍匈牙利数学家波利亚也说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”[1]金晔[J].中学数学教学参考，2008（3）：10-12
[2]李树臣.数学教学过程化的4个常用策略[J].中国数学教育，2010（6）：2-5
[3]陈冬初中数学有效探究活动的策略研究[J].课程教材教法2011（3）：55-60
[4]董林伟.从形式走向本质：关于初中数学[J].中国数学教育，2011（11）：2-5
[5]李树臣.关于形成数学活动经验的若干思考[J].中学数学杂志，2011（12）：1-4
[6]李树臣.数学教材应充分体现知识的形成过程[J].中学数学杂志，2012（8）：3-8
[7]李树臣.数学途径[J].中国数学教育，
1
D
B
图7
图6
解决问题
引导探究
合作探究
独立探究
探
究
问
题
A
图8
C
D
A
B
图9
图1
（3）
（2）
（1）
图2
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A
图3
图4
B
A
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O
F
G
E
D
B
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图5
C
A
C
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