尺规作图的创新教学
米脂第二中学贺建军
尺规作图，它起源于古希腊的数学课题，只准使用圆规和直尺有限次，来解决问题。历史上关于尺规作图的著名问题较多，例如，“三等分角”、“立方倍积”、“化圆为方”和“高斯与尺规作十七边形”等等．笔者作为青年教师在听课的过程中，不时观摩到教师讲授有关尺规作图的内容，对于尺规作图，执教的老师各有标准，课后就该内容与老师们的交流中，发现不少教师认为初中阶段涉及尺规作图的类型较少;同时，由于《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《课标》)中对所要掌握的尺规作图的类型和要求比以往教学大纲有所减少，特别是在中考复习阶段，教师教学中对该内容的处理“方法单一”或者干脆匆匆带过，学生只要掌握或者就是记住基本的操作方法即可，对尺规作图在教学中的作用认识不足，这个现象引起笔者的思考．
尺规作图在现今的初中阶段教学中可作如何调整?调整意义在哪里?在此和大家做个探讨，谈一点自己的反思和建议．
应鼓励学生尺规作图方法多样化尺规作图教学，所涉及的知识不同，方法不同需要学生自己动手操作，观察、大胆猜想、构思出不同于已有解决问题的画法．在构思画法的过程中，学生运用所学知识对该画法进行必要的证明．教师不仅只是帮助学生学习原有作图方法的由来，还可引导学生分析原有作法，对原有作图的原理进行新的认识，从而利用前后知识间的联系，突破成法．教学中在处理“作线段垂直平分线”的问题时可以向学生提出是否可以只作出中点即可?这样可引导学生通过利用等腰三角形“三线合一”的性质，作出顶角的角平分线，即可知道该角平分线垂直且平分线段底边．在此过程中，教师帮助学生从已有的思维定势中跳出;同时，也在一定程度上展示怎样从已解决问题的基础上“提出问题”，培养学生“问题意识”和“创新意识”．
教学中对尺规作图的重视还应加强尺规作图是问题解决的不可分割的一部分．在教学中相当部分同学无法确定为什么“SSA”不能作为三角形全等判定的准则，不少同学甚至认为“SSA”可以作为三角形全等的判定准则，课后询问为什么不确定，同学反映教师对这个问题解释过为什么，要求记住，虽然给出相应的解释，但他们理解起来有困难，因而难免有类似错误在做题中出现．同时，一些关于几何命题(命题为真)的逆命题是否为真往往不易判断．在几何教学中，针对某些这样的问题，用尺规作图很容易构造反例，而且论证直观，思路清晰，具有很强的说明力．同时，应利用尺规作图对上述问题进一步深入引导学生将此问题解决．
教材中尺规作图的基本类型偏少按照《课标》所倡导的理念，教学中应强调让学生自己动手，通过翻折、度量、拼凑、类比等方法进行几何操作，那么，尺规作图正是包含这样的活动．实际教学中，尺规作图是一种“问题情境”的创设，即在某种问题条件下，由学生自己动手解决问题．学生能作出一张符合要求的图形，即使该图形较简单，也是一种具有挑战性和创造性的活动，在这个活动中，学生探索运用知识，构思作图方法，对所学知识进行直观理解，兴趣和创新精神得以培养．在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图的基本类型偏少．“过直线上一点作直线的垂线”，该作法在以前的《教学大纲》上有，现在《课标》已删除．为了加强培养学生动手操作，在操作中运用所学知识，加深对知识的理解和掌握，笔者对其中部分同学加以适当点拨后这部分同学均能理解并迅速利用尺规解决此类问题．也有现在《课标》中没有的内容:“过一点作已知直线的平行线”，这也是学生通过自己动手和运用所学知识解决问题的机会．事实上，教师可利用这些基本原理，创设较丰富的“几何问题情境”，学生运用这些基本知识，借助直尺和圆规，在作图的学习活动中不断思考问题，寻找问题解决的方法，正是一个观察、操作、验证的过程，这对于学生加深对这些知识的理解和培养严密的逻辑思维能力是有益的．
反思和建议在尺规作图问题上，以往的教学大纲同现在的《课标》相比，教学大纲对几何作图的要求很高，需要掌握的类型较多，包括“直线形”、“圆”、“比例线段”、“面积”四类．在圆的部分，有作“内接圆”、“外切圆”、“旁切圆”、“弓形”等;在比例线段中有“内分”、“外分”、“定比”等;面积部分要求作“和已知正方形等积的正方形”等．其中的大多数已经不符合我们现在教学的发展，需要删减．但是，其中的第一类:关于直线形的作图类型，即以下7条:1．作一角等于已知角;2．已知三边或两边一夹角或两角一夹边作出三角形;3．过已知点作已知直线的垂线;4．过一点作已知直线的平行线;5．平分一角;6．作已知线段的垂直平分线;7．分一线段为n等份．上述7条却是应该保留的，这7条，简单、准确、实用、理性，是尺规作图的精华所在，试想，如果学生都理解以上7条作图步骤的由来，都能用圆规和直尺将其作出，那么对整个初中几何知识的组成和结构就会有个清楚的认识．实际教学中，这7条学生十分容易理解和接受，也便于操作．同时，上述7条与图形运动有密切的联系．《课标》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换，尺规作图是实现图形运动的极佳手段．从逻辑上看，尺规作图作为图形变换的一种手段是成立的．比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直尺作一条射线，再用圆规以已知角的顶点为端点，在已知角的一边上画弧截取一段线段，再在射线上截取线段，使其长度等于已知线段，其中截取的过程，实质是以射线端点为圆心，以已截取线段长为半径画弧，交射线于一点，其中射线的端点是所作的线段的一个端点，弧与射线的交点是线段的另一个端点．这里体现了线段的两种“运动”，用圆规在射线上截取线段的长度，可以看作是平移，而画弧的过程，实质是旋转变换．再如，平分一个角，使用圆规直尺可以顺利地作出来，且方法严谨缜密，这种基本的作图方法，是学生掌握图形对称的直观根据．
鉴于此，笔者认为在初中阶段的几何教学中可根据学生学习情况，创设问题情境，适时将以上7条中的某些部分引入教学，对已有的尺规作图方法进行充实和完善．同时，在教学中可采用这样的步骤:①要求学生画出草图，假设图形已作出;②根据图形分析画法;③利用尺规严格操作并写出作法;④对作法进行证明，某些作法来由尽可能要求学生“一法多证”．学生按照这样的步骤进行作图学习的过程，正是一个猜想、观察、操作、验证的过程，这一过程符合学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，培养严密的逻辑思维能力，也有利于激发学生的兴趣和创造性．
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