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初中数学竞赛几何试题1、如图，圆O与圆D相交于,AB两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC?.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.解:（1）连,,,OAOBOCAC，因为O为圆心，ABBC?，所以△OBA∽△OBC，从而OBAOBC???.因为,ODABDBBC??，所以9090DOBOBAOBCDBO???????????，所以DBDO?，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC?.设2ACy?(0)ya??，OEx?，ABl?，则222axy??，()Syax??，
22222222()2222()aSlyaxyaaxxaaxaaxy????????????.因为22ABCOBAOABBDO???????,ABBC?,DBDO?，所以△BDO∽△ABC，所以BDBOABAC?，即2raly?，故2alry?.所以22223222()4422alaaSSaSryyyy??????，即22Sr?，其中等号当ay?时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S.2、如图，给定锐角三角形ABC，BCCA?，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接
圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DFEG?．下面给出证明．因为FCDEAB???，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得CDDFBEAB??．同理可得CEEGADAB??．又因为tanADBEACBCDCE???，所以有BECDADCE???，于是可得DFEG?．解法2：结论是DFEG?．下面给出证明连接DE，因为90ADBAEB?????，所以A，B，D，E四点共圆，
故CEDABC???．
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又l是⊙O的过点C的切线，所以ACGABC???．所以，CEDACG???，于是DE∥FG，故DF＝EG．3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC的三边长分别为6?a，4?b，5?c时，BA???2．………………5分如图，当BA???2时，延长BA至点D，使bACAD??．连接CD，则△ACD为等腰三角形．因为BAC?为△ACD的一个外角，所以2BACD???．由已知，2BACB???，所以DB???．所以△CBD为等腰三角形．
又D?为△ACD与△CBD的一个公共角，有△ACD∽△CBD，于是BDCDCDAD?，即cbaab??，所以??cbba??2．而264(45)???，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．若BA???2，可得??cbba??2．有如下三种情形：（i）当bca??时，设1??na，nc?，1??nb（n为大于1的正整数），
代入??cbba??2，得??????21121nnn????，解得5?n，有6?a，4?b，5?c；（ⅱ）当bac??时，设1??nc，na?，1??nb（n为大于1的正整数），代入??cbba??2，得??nnn212???，解得2?n，有2?a，1?b，3?c，此时不能构成三角形；（ⅲ）当cba??时，设1??na，nb?，1??nc（n为大于1的正整数），代入??cbba??2，得????1212???nnn，即0132???nn，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．4、△ABC的三边长,,,,,BCaACbABcabc???都是整数，且,ab的最大公约数是2.点G
和点I分别为△ABC的重心和内心，且90oGIC??，求△ABC的周长.解：如图，连结GA，GB，过G，I作直线交BC、AC于点E、F，作△ABC的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P，内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为,abhh
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()()()ABCSrpppapbpc???????()()()papbpcrp?????易知：CDpc??,在RtCIE?中，2rDEpc??即()()papbDEp???∴()()()papbabCECDDEpcpp????????
又∵,CIEFCIACB??平分，所以CE＝CF由GEGFGFEABCABBACSSSSS?????????得：ABCS111))2323232abABChhabababSrppp??????????????＝（a（b即ABC2S11()()32323ABCabpbpaabShhrpppp??????????????＝ab整理得223pcpab??，即232(2)()abpcpppcPab??????
设△ABC的周长为m，则62abmpab???为整数。由已知(,)2ab?，设2,2,(,)1,,asbtstst???且都是正整数，代入上式，得12stmst??∵(,)1,(,)1ssttst????，∴st?是12的约数，即st?＝1，2，3，4，6，12不妨设st?，则1st（，）＝，得12351171,1,1,1,1,5689101135ssssssttttttmmmmmm????????????????????????????????????????????????
经检验，只有7535stm????????符合题意，
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所以：14,10,11abc???或10,14,11abc???，即所求△ABC的周长为35。5、设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，1I、2I分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求1I2I的长解作1IE⊥AB于E，2IF⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，22AB=AC+BC5?.又CD⊥AB，由射影定理可得2AC9AD=AB5?，故16BD=ABAD5??，2212CD=ACAD5??
.因为1IE为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以1IE＝13(ADCDAC)25???.连接D1I、D2I，则D1I、D2I分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠1IDC＝∠1IDA＝∠2IDC＝∠2IDB＝45°，故∠1ID2I＝90°，所以1ID⊥2ID，1113IE325DIsinADIsin455?????.同理，可求得24IF5?，242DI5?.所以1I2I＝2212DIDI2??.
6、已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.解因为BN是∠ABC的平分线，所以ABNCBN???.又因为CH⊥AB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB?????????????，因此CQNC?.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB?????，因此C、F、H、B四点共圆.又FBH=FBC??，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.
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7、如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.证明设MN与EF交于点P，∵NE//BC，∴△PNE∽△PBC，∴PCPEPBPN?,∴PCPNPEPB???.又∵ME//BF，∴△PME∽△PBF，∴PFPEPBPM?,∴PFPMPEPB???.∴PFPMPCPN???,故PFPCPNPM?又∠FPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.8、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的
平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以KPKEKAKP?，即KAKEKP??2．由切割线定理得KAKEKB??2,所以KBKP?．…10分因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是ACKPCEPE?
故ACKBCEPE?，即PE·AC=CE·KB．…………15分9、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE
2＝CN·CB，BD2＝BM·BC∴22CNCEBMBD?又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，∴,BDCEGNCNFMBMCDBE????
ABCDEFMNP
ABCOPEK
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∴??221GNBDBECNBDBECEBECEFMCDCEBMCDCEBDBDCD???????????在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BC∴??2BECEENTNBDCDDMTM????由(1)(2)得：,.GNTNGNFMFGTFMTM???又，、、三点共线证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN
∴DFAHEGFMHRGN??由合比定理得：,,.DMENGNENTNFGTFMGNFMDMTM????故、、三点共线证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：1(1)BTCEADTCEADB???设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG
∴??,,11CECGADHFBTCGHFEAGHDBFBTCGHFB?????代入得由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.证法4：连结FT交EN于G’，易知''''DFEGFMGN?为了证明F、G、T三点共线，只需证明DFEGFMGN?即可∵1212sinsinsinsinBDFBMFBDBFABESDFBDABEFMSBMBFCBEBMCBE????????????12
12sinsinsinsinCEGCMGCECGACDSEGCEACDGNSCNCGBCDCNBCD????????????又,BDBCCEBCBMBDCNCE??
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∴sin,sinDFBCABEFMBDCBE?????sin1sinEGBCACDGNCEBCD???∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆∴∠ABE＝∠ACD(2)又,sinsinsinsinBDCEBCBDCBECEBCDBCDCBE????????(3)将(2)(3)代入（1）得：DFEGFMGN?，故F、G、T三点共线.10、在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF.（本题满分20分）
证明：(1)如图，据题设可知，DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM故∠AMD＝∠BND因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF11、如图4，已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16.①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值.分析：(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝l，并设△ABC的边AB上的高为1h，△ADC的边DC上的高为2h。则ABCDABCADCSSS????四边形＝1211()()22hahblab???
仅当12hhl??时等号成立。即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立。由已知可得64()lab??又由题设16abl???，可得264(16)64(8)64lll??????于是，8,8lab???，且这时AC⊥AB，AC⊥CD因此，这样的四边形有如下4下：7,1??ba，8;2,6,8labl????3,5,8;4,8ablabl??????
它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。(2)又由AB＝a，CD＝a?8，则2222228,8(8)BCaADa?????
C
E
AB
F
P
D
NM
8
因此，这样的四边形的边长的平方和为22222(8)1284(4)192aaa??????故当4??ba时，平方和最小，且为19212、已知P为?ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:(1)P,Q,O三点在一条直线上;(2)PQ=2OQ.证明如原图，连PO，设PO与AN，DM分别交于点''Q,''''Q.在PAC?中，∵OCAO?，NCPN?，∴''Q为重心，''2''OQPQ?
在PDB?中，∵BODO?，MPBM?，∴''''Q为重心，''''2''''OQPQ?这样''''''QQ?，并且''Q,''''Q就是AN，DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上，且OQPQ2?.13、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积.解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3.
∴OH＝22BHOB?＝1，AH＝OA-OH＝2-1＝1.∴31322121???????AHBDSABD，∵E是AC的中点，∴,,CDEADEBCEABESSSS??????，∴BCDABDSS???，∴322???ABDABCDSS.14、D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ACBADP???，求PDPB的值.解：连结AP，则ADPACBAPB?????，所以，△APB∽△ADP，∴ADAPAPAB?，
所以223APABADAD???，∴ADAP3?，
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所以3??ADAPPDPB.15、如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：tanEFPADBC??．证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则AEFABCACBAFD???????，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得EFAHBCAP?，从而EFPDBCAP?，所以tanPDEFPADAPBC???.…………（20分）16、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MQ//AC，交⊙I于点Q.证明：PQ是⊙I的切线.证明：过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，…………10分所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.…………………25分17、如图，在四边形ABCD中，已知60BAD???，90ABC???，120BCD???，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2?，P为AC的中点．求证：（1）???30PBD；（2）DCAD?．
证明（1）由已知得90ADC???，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．作BDPM?于点M，知M为BD的中点，所以BPM?＝12BPD?＝60A???，
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从而???30PBM．（2）作BPSN?于点N，则12SNSB?．又BDMBDMSBDS21,2???，∴SNSBSBSBDMDSMS??????21232，………15分∴Rt△PMS≌Rt△PNS，∴?????30NPSMPS，
又PBPA?，所以1152PABNPS?????，故DCADAC?????45，所以DCAD?．…25分18、如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作ABACBC,,的垂线，垂足分别为FED,,，BM为ABC?的平分线，MP的延长线交AB于点N．如果PFPEPD??，求证：CN是ACB?的平分线．证明如图1，作BCMM?1于点1M，ABMM?2于点2M，BCNN?1于点1N，ACNN?2于点2N．
设NMNP??，∵11////MMPDNN，∴111MNDN??．…………5分若11MMNN?，如图2，作1MMNH?，分别交PDMM,1于点1,HH，则△1NPH∽△NMH，∴???NMNPMHPH1，∴MHPH??1，∴111NNMHHHPHPD?????11111)1()(NNMMNNNNMM?????????．若11MMNN?，则1111)1(NNMMMMNNPD???????．若11MMNN?，同理可证11)1(NNMMPD?????．…………15分
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∵2//NNPE，∴????12NMPMNNPE，∴2)1(NNPE???．∵2//MMPF，∴???NMNPMMPF2，∴2MMPF??．…………………20分又PFPEPD??，∴2211)1()1(NNMMNNMM?????????．又因为BM是ABC?的平分线，所以12MMMM?，∴21)1()1(NNNN?????．显然1??，即01???，∴21NNNN?，∴CN是ACB?的平分线．………25分19、如图，AD、AH分别是△ABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，M是AD的中点．△MDH的外接圆
交CM于E．求证：∠AEB＝90°．证明：如图，连结EHMH,,∵M是AHDRt?斜边AD的中点∴MDMHMA??（5分）∴MDHMHD???∵EHDM,,,四点共圆∴MDHCEH???∴HECMDHMHD?????∴MEHHECMHDMHC???????????180180∵HMECMH???,∴CMH?∽HME?
∴MHMEMCMH?,即MCMEMH??2（15分）∴MCMEMA??2,又∵AMECMA???∴CMA?∽AME?,∴MAEMCA???（20分）∴MAEBADDHEBAEBHE?????????MCAMACDHE???????180?????DMEDHE∴EHBA,,,四点共圆，∴?90????AHBAEB.（25分）20、如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的
中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，
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∴△ACB∽△AEC，∴AC：AB=AE：AC即PA2=AC2=AE?AB，同理PB2=BD2=BF?AB．两式相减可得PA2-PB2=AB（AE-BF），∴PA2-PB2=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），∴AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，∴PE=PF，∴点P是线段EF的中点．∵M是CD的中点，∴MP是直角梯形CDEF的中位线，∴MP⊥AB，∴MP分别与⊙A和⊙B相切．21、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，
所以2124CDEEABSCECEABSABCDAE????????????，．又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以2CEFCDFSCESCD????．所以22121111334342224CEFCDEABESSS????????????．解法2：如图，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，于是Rt△EHF∽Rt△BAE．
因为EHABFHAE?.即EH=2h，所以HC=12-2h．又因为HC=FH，所以h=12-2h，h=16，所以S△CEF=11111222624ECFH??????．22、如图，△ABC中，60BAC???，2ABAC?．点P在△ABC内，且352PAPBPC???，，，求△ABC的面积．解：如图，作△ABQ，使得QABPACABQACP??????，，则△ABQ∽△ACP.由于2ABAC?，所以相似比为2.于是22324AQAPBQCP????，．60QAPQABBAPPACBAPBAC?????????????.
由:2:1AQAP?知，90APQ???，于是33PQAP??．所以22225BPBQPQ???，从而90BQP???．
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于是222()2883ABPQAPBQ?????.故213673sin60282ABCSABACAB???????．23、如图，⊙O的直径为AB，⊙O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O1交于点D，且ODCD?．点E在OD上，且DCDE?，BE的延长线与⊙O1交于点F，求证：△BOC∽△1DOF．证明：连接BD，因为OB为1O?的直径，所以90ODB???．
又因为DCDE?，所以△CBE是等腰三角形．设BC与1O?交于点M，连接OM，则90OMB???．又因为OCOB?，所以22BOCDOMDBC?????12DBFDOF????．又因为1BOCDOF??，分别是等腰△BOC，等腰△1DOF的顶角，所以△BOC∽△1DOF．24、如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：(1)2ADBDCD??．(2)∠BAE=∠ACB．
证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得2PAPDPO??，2ADPDOD??.又由切割线定理可得2PAPBPC??，∴PBPCPDPO???，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴PDBDCDOD?，∴2ADPDODBDCD????.ADCDBDAD??
又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD=∠AC∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE=∠ACB．
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