直角三角形与勾股定理
一、选择题
1.（2014?湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）
A． 任意三点可以确定一个圆 B． 菱形对角线相等 C． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D． 平行四边形的四条边相等 考点： 命题与定理 分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案． 解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
C、正确；
D、平行四边形的四条边不一定相等．
故选C． 点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般． 2.（2014?湘潭，14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=4．
（第2题图）
考点： 切线的性质；勾股定理． 分析： 先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长． 解答： 解：∵PA切⊙O于A点，
∴OA⊥PA，
在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，
∴PA==4．
故答案为4． 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 3.（2014?泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）
A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2， 考点： 解直角三角形 专题： 新定义． 分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定． 解答： 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D． 点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念． 4.（2014?扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）
（第4题图）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长． 解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故选C．
点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 5.（2014?扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）
（第5题图）
A． B． C． D． ﹣2
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理 专题： 计算题． 分析： 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，
连接MN，过M点作ME⊥ON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN． 解答： 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC=AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2，
在Rt△BMC中，CM===2．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，
解得：x=，
∴EC=2﹣=，
∴ME==，
∴tan∠MCN==
故选A． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6.（2014?安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A． B． C． 4 D． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故选：C．
点评： 考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．
7.（2014?广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）
A． B． C． D．
考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算． 分析： 连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论． 解答： 解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA==，
∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
∵AE⊥CD，
∴=，
∴===．
故选B．
点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．
8.（2014?滨州，第7题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1，，3 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解答： 解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B． 点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 9．（2014年山东泰安，第8题3分）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）
A．6 B． 7 C． 8 D． 10
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．
解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，
∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．
点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．
10．（2014年山东泰安，第12题3分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）
A．cm B． 2cm C． 2cm D． 3cm
分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．
解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，
∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，
∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，
∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，
在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，
在Rt△ADE中，DE=BD?tan30°=×=cm．故选A．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．
二.填空题
1.（2014?福建泉州，第14题4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为5cm．
考点： 直角三角形斜边上的中线． 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB． 解答： 解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=×10=5cm．
故答案为：5． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
2.（2014?广东，第14题4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．
考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可． 解答： 解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC===3，
即圆心O到AB的距离为3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
3．（2014?新疆，第14题5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．
考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 分析： 先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 解答： 解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC===5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴=，即=，解得AD=．
故答案为：． 点评： 本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
4.（2014?邵阳，第17题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是2．
考点： 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形． 分析： 根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度． 解答： 解：∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD=4，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
故答案为：2． 点评： 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
5.（2014·云南昆明，第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD=cm.
考点： 直角三角形中线问题． 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结果． 解答： 解：∵∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，
∴．
故填5． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弄清性质是解决本题的关键． 三.解答题
1.（2014?湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
考点： 勾股定理的应用． 分析： 首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可． 解答： 解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
2CD2=8002，
CD=400≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖． 点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2.（2014?益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
（第2题图）
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长． 解答： 解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴，解得，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3﹣m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．
3.（2014?益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．
（第3题图）
考点： 相似形综合题． 分析： （1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC?sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；
（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．
（3）先求出S1=x?，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根据S1=x?BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+），最后根据S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值． 解答： 解：（1）过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，
∴CE=BC?sin∠B=4×=2，
∴AD=CE=2．
（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，
∴AP=AB﹣PB=2．
又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，
∴∠DPA=60°，
∴∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．
②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，
∴PB=2，PC=2，
∴AP=3．
则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．
（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x?（）2=x?，
①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；
作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．
在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，
∴BG=4，
∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，
∴GN=BG﹣BN=x﹣1．
在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=（x﹣1）．
在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，
∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）．
②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+）也成立，
∴S=S1+S2=x?+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．
∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x． 点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论． 4.（2014?株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
考点： 一元二次方程的应用． 分析： （1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键． 5.（2014?株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 分析： （1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等．
（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===； 解答： （1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC===m，
∴在RT△ABC中，tan∠B===，
在RT△EFB中，EF=BF?tan∠B=，
∴CE=EF=，
在RT△ACE中，tan∠CAE===；
∴tan∠CAE=． 点评： 本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键． 6.（2014?株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
（第6题图）考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 分析： （1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．
（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．
（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值． 解答： 解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=1，
∴OA=1．
∴AB=
=
=．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=，∠CAB=60°．
∵sin∠HAB=，
∴HB=AB?sin∠HAB
=×
=．
∴S△ABC=AC?BH
=××
=．
∴△ABC的面积为．（2）①当点A与点Q重合时，
线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A1B与圆O只有一个公共点，
此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，
∴cos∠A1OB==．
∴∠A1OB=60°．
∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，
α的范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．
∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，
∴∠PDO=90°．
∴∠PDO=∠PMQ．
∴△PDO∽△PMQ．
∴==
∵PO=OQ=PQ．
∴PD=PM，OD=MQ．
同理：MQ=AO，BM=AB．
∵AO=1，
∴MQ=．
∴OD=．
∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，
∴PD=．
∴PM=．
∴DM=．
∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，
∴AM===．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．
∵BM=AB，
∴AM=BM．
∴CM⊥AB．
∵AM=，
∴BM=，AB=．
∴AC=．
∴CM=
==．
∴CM的长度为． 点评： 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强． 7.（2014?泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
（第7题图）
考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形 分析： （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案． 解答： （1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG=6．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 8.（2014?泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（第8题图）
（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点： 圆的综合题 分析： （1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，
（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，
（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标， 解答： 解：（1）连接CD，EA，
∵DE是直径，
∴∠DCE=90°，
∵CO⊥DE，且DO=EO，
∴∠ODC=OEC=45°，
∴∠CFE=∠ODC=45°，
（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，
∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，
∴OM所在的直线函数式为：y=x，
∴交点M（b，b）
∴OM2=（b）2+（b）2，
∵OF=4，
∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，
∵FM=FG，
∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），
∵直线AB与有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，（3）如图，
当b=5时，直线与圆相切，
∵DE是直径，
∴∠DCE=90°，
∵CO⊥DE，且DO=EO，
∴∠ODC=OEC=45°，
∴∠CFE=∠ODC=45°，
∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP，
∵P是切点，
∴OP⊥AB，
∴OP所在的直线为：y=x，
又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，
∴P（，）． 点评： 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系． 9.（2014?扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（第9题图）
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题；动点型；探究型． 分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数．
（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长． 解答： 解：（1）如图1，
①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴====．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，
∴x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．（2）如图1，
∵P是CD边的中点，
∴DP=DC．
∵DC=AB，AB=AP，
∴DP=AP．
∵∠D=90°，
∴sin∠DAP==．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．
∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
．
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB==4．
∴EF=PB=2．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2． 点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．
10．（2014?安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．
解答： 解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC=90°，
而∠EOF=∠FOC，
∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，
∴⊙O的半径OC=9；
在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，
∴CF==3，
∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴CD=2CF=6．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
11.（2014?珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．
（1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．
考点： 切线的性质；扇形面积的计算；平移的性质 专题： 计算题． 分析： （1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=，所以BE=OE﹣OB=；
（2）求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影部分的面积． 解答： 解：（1）连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC==5，
∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，
∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF与半圆O相切于点G，
∴OG⊥EF，
∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，
∴OB=OG=2，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△EOG∽Rt△EFD，
∴=，即=，解得OE=，
∴BE=OE﹣OB=﹣2=；（2）BD=DE﹣BE=4﹣=．
∵DF∥AC，
∴，即，
解得：DH=2．
∴S阴影=S△BDH=BD?DH=××2=，
即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．
点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
12．（2014?温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+aB．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2
证明：连结过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．考点： 勾股定理的证明． 分析： 首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案． 解答： 证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．
点评： 此题主要考查了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．
直角三角形与勾股定理
一、选择题
1.（2014?山东枣庄，第3题3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）
A． 17° B． 34° C． 56° D． 124° 考点： 平行线的性质；直角三角形的性质 分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠A=34°，
∵∠DEC=90°，
∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．
故选C． 点评： 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 2.．（2014?）如图，在RtABC中，ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）
A． 4 B． 4 C． 8 D． 8
考点： 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 分析： 求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可． 解答： 解：如图，在RtABC中，ACB=60°，
A=30°．
DE垂直平分斜边AC，
AD=CD，
A=∠ACD=30°，
DCB=60°﹣30°=30°，
BD=2，
CD=AD=4，
AB=2+4+2=6，
在BCD中，由勾股定理得：CB=2，
在ABC中，由勾股定理得：AC==4，
故选：B．
点评： 本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中． .（2014?十堰9．（3分））如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）
A． 2 B． C． 2 D．
考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解． 解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB
∵点G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠GAD=∠GDA，
∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG=3，
在Rt△CED中，DE==2．
故选：C． 点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．
4.（2014?娄底8．（3分））下列命题中，错误的是（）
A． 平行四边形的对角线互相平分 B． 菱形的对角线互相垂直平分 C． 矩形的对角线相等且互相垂直平分 D． 角平分线上的点到角两边的距离相等
考点： 命题与定理． 分析： 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断． 解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；
B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．
故选C． 点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 5.（2014?山东淄博）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）
A． 1 B． C． D． 2
考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
解答： 解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD==．
故选：C．
点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．
二、填空题
1.（2014?山东威海，第17题3分）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为18．
考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长． 解答： 解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，
∴∠BCD=90°﹣∠DCE，
又∵∠B=90°﹣∠A，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=AD==5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE==3，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴，
∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．
故答案为：18． 点评： 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC的中位线关键． 2.（2014?山东枣庄，第18题4分）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．
考点： 平面展开-最短路径问题；截一个几何体 分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解答： 解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD==6cm，
∴BE=CD=3cm，
在Rt△ACE中，AE==3cm，
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．
故答案为：（3+3）． 点评： 考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题． 3.（2014?山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上''高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．
考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．
分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长=25（尺）．
故答案为：25
点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
4.半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于．
考点：圆和圆相切的性质，勾股定理．
分析： 作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．
解答：如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，
设O2C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O2C=r，
∵⊙O1的半径为2，OO1=7，
∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，
∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，
故答案为：3或15．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．
（2014?）ABC和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角α（0°<α≤90°），有以下四个结论：
①当α=30°时，与的交点恰好为的中点；
②当α=60°时，恰好经过点；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得；
④在旋转过程中，始终存在，
其中结论正确的序号是①②④.(多填或填错得0分，少填酌情给分）
解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确
如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确
如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,∴,∴AA′=BB′.错误
如图4，∠A′B′D=∠CBB′－－＋＋－＋
6.(2014年湖北咸宁13．（3分）)如图，在扇形OAB中，AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），ODBC，OEAC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为．
考点： 三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．
分析： 连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且AOB=90°，可以求得该扇形的半径．
解答： 解：连接AB，
OD⊥BC，OEAC，
D、E分别为BC、AC的中点，
DE为ABC的中位线，
AB=2DE=2．
又在OAB中，AOB=90°，OA=OB，
OA=OB=AB=，
扇形OAB的面积为：=．
故答案是：．
点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
(2014?年山东东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10米．
考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答： 解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，AC==10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．．2014?四川宜宾，第14题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=1.5．
考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 首先根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，然后设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案． 解答： 解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3
设BE=EB′=x，则EC=4﹣x，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，，
∴B′C=5﹣3=2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，
解得x=1.5．
故答案为：1.5． 点评： 此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的． （2014?四川凉山州4分）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．
考点： 勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 解答： 解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：=；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：=5；
故第三边的长为：5或． 点评： 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
．（2014?四川凉山州分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为20cm．
考点： 平面展开－最短路径问题 分析： 将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 解答： 解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B===20（cm）．
故答案为：20．
点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
1．（2014?临夏）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是cm．考点： 勾股定理；等腰三角形的性质． 分析： 利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度． 解答： 解：如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．
故答案是：8．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
三、解答题
1.（2014?上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
考点： 解直角三角形；直角三角形斜边上的中线． 分析： （1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE． 解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB；
（2）∵sinB，
∴AC：AB=1：，
∵CD=，
∴AB=2，
由勾股定理得AC=2，则CE=1，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
点评： 本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大． （2014），中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，，知,
又，所以正方形的边长为．
（2）①过点作垂直于于点M，在中,,,故，所以互余，与之和为，故=－.
②过E点作ON垂直于分别交于点O，N，,故,,，
由勾股定理可知菱形边长为.
3.（22.10分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为60；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE。
解:（1）①60；②AD=BE.…………………………………………2分
提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200，
又∠CED=600，
∴∠AEB=1200－600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。
解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE.…………………………4分
（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,即∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE.……………………………………………………6分
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7分
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。
(3)或………………………………………………………10分
【提示】PD=1，∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．
第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD=,∴BD=2,BP=,
∴AM=PP/=(PB－BP/)=
第二种情况如图②，
可得AMPP/=(PB+BP/)=
直角三角形与勾股定理
选择题
1.（2014?海南,第6题3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）
A． 120° B． 90° C． 60° D． 30°
考点： 直角三角形的性质． 分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 解答： 解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．
故选D． 点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 2．（2014?随州，第7题3分）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）
A． 100米 B． 50米 C． 米 D． 50米
考点： 解直角三角形的应用 分析： 过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案． 解答： 解：过B作BM⊥AD，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=CB=100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC=90°，
∴∠CBM=30°，
∴CM=BC=50米，
∴BD==50米，
故选：B．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半． 3．（2014?黔南州，第11题4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）
A． cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm
考点： 含30度角的直角三角形． 分析： 根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE，即可得出CE的值． 解答： 解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm；
故选C． 点评： 此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE． 4．(2014年广西钦州，第12题3分)如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．
解答： 解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为+1=2+1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，
故选C
点评： 此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键．
5．(2014年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）
A． A B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．.
分析： tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
解答： 解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB=4：1，
∴=5，
∴=，
设AB=2x，则BC=x，AC=x．
∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．
则tan∠CFB==．
故选C．
点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
6．（2014?山西，第4题3分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
考点： 勾股定理的证明．
分析： “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明．
解答： 解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选C．
点评： 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明．
7.（2014?乐山，第7题3分）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（）
A． B． C． D．
考点： 勾股定理；三角形的面积．. 分析： 利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度；最后在直角△BCD中，利用勾股定理来求CD的长度． 解答： 解：如图，由勾股定理得AC==．
∵BC×2=AC?BD，即×2×2=×BD
∴BD=．
在直角△BCD中，由勾股定理知，CD==．
故选：C．
点评： 本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
8.（2014?丽水，第4题3分）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）
A． 50° B． 45° C． 35° D． 30°
考点： 平行线的性质；直角三角形的性质． 分析： 根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案． 解答： 解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°，
故选：D． 点评： 本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差． 9．(2014年湖北黄石)（2014?湖北黄石,第5题3分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）
第1题图
A．30° B． 60° C． 90° D． 120°
考点： 直角三角形的性质．
分析： 根据直角三角形两锐角互余解答．
解答： 解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°．
故选C．
点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
10．（2014?湖北荆门,第12题3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
第2题图
A．4dm B． 2dm C． 2dm D． 4dm
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
解答： 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm．
故选A．
点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决
11．（2014?四川绵阳,第11题3分）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（）
A． B． C． D．
考点： 勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 分析： 设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可． 解答： 解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或，
解得或，
∵2×＜（此时不能构成三角形，舍去）
∴取，其中n是3的倍数
∴三角形的面积S△=××=n2，对于S△=n2=n2，
当n≥0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，S△=取最小．
故选：C． 点评： 本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组是解答此题的关键．
二、填空题
1.（2014?无锡，第15题2分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8．
考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线 分析： 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可． 解答： 解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8． 点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点． 2．(2014年广西南宁，第17题3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.
分析： 根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
解答： 解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=30°=∠ACB，
∴AB=BC=20海里，
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，
∴sin60°=，
∴CD=12×sin60°=20×=10海里，
故答案为：10．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
3．(2014?黑龙江牡丹江,第16题3分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于12cm．
第1题图考点： 勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．版权所有
分析： 根据三角形的面积求得=，根据勾股定理求得AB2=BC2+36，依据这两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长．
解答： 解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴AB?CE=BC?AD，
∵AD=6，CE=8，
∴=，
∴=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=BC，
∵AB2﹣BD2=AD2，
∴AB2=BC2+36，
∴=，
整理得；BC2=，
解得：BC=，
∴AB=×BC=×=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2×+=12．
故答案为12．
点评： 本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关系是本题的关键．
三、解答题
1.（2014?河北，第22题10分）如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米．四人分别测得∠C的度数如下表：
甲 乙 丙 丁 ∠C（单位：度） 34 36 38 40 他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：
（1）求表中∠C度数的平均数：
（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
（3）用（1）中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）
考点： 解直角三角形的应用；扇形统计图；条形统计图；算术平均数 分析： （1）利用平均数求法进而得出答案；
（2）利用扇形统计图以及条形统计图可得出C处垃圾量以及所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出A处垃圾量；
（3）利用锐角三角函数得出AB的长，进而得出运垃圾所需的费用． 解答： 解：（1）==37；（2）∵C处垃圾存放量为：320kg，在扇形统计图中所占比例为：50%，
∴垃圾总量为：320÷50%=640（kg），
∴A处垃圾存放量为：（1﹣50%﹣37.5%）×640=80（kg），占12.5%．
补全条形图如下：
（3）∵AC=100米，∠C=37°，
∴tan37°=，
∴AB=ACtan37°=100×0.75=75（m），
∵运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，
∴运垃圾所需的费用为：75×80×0.005=30（元），
答：运垃圾所需的费用为30元． 点评： 此题主要考查了平均数求法以及锐角三角三角函数关系以及条形统计图与扇形统计图的综合应用，利用扇形统计图与条形统计图获取正确信息是解题关键． 2、（2014?河北，第23题11分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
（3）求证：四边形ABEF是菱形．
考点： 全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质 专题： 计算题． 分析： （1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据全等三角形对应角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得．
（3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得． 解答： （1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，
∴∠ACE=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣100°）=40°；
（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=140°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=20°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=160°，
∴∠BFE=360°﹣∠DAE﹣∠ABD﹣∠AEC=160°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABEF是菱形． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2、（2014?宁夏，第20题6分）在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．
考点： 解直角三角形；勾股定理 分析： 先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解 解答： 解：在Rt△ABD中，∵，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2﹣AD2，
∴．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=+1． 点评： 本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键． 2．(2014年广西钦州，第24题9分)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
解答： 解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，
∴CH=AH?tan∠CAH，
∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×（米），
∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==4+≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米．
点评： 此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
3．（2014?湖北黄石,第22题8分）小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）
第1题图考点： 勾股定理的应用
分析： （1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．
解答： 解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，
∵∠ABC=120°，BC=20，
∴BE=10，
在△ACE中，
∵AC2=8100+300，
∴；（2）乘客车需时间（小时）；
乘列车需时间（小时）；
∴选择城际列车．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．
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