动态综合型问题
一、选择题
1、(曲阜市实验中学中考模拟)如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）
A．15B．20C．15+D．15+
答案：C
2、(深圳育才二中一摸)如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是cm/秒．设、同时出发秒时，△的面积为cm2．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，△∽△；其中正确的结论是（）．
A．①②③B.②③C.①③④D.②④
如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是
1、（吉林镇赉县一模）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作EF⊥AD交折线DCB于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1，设运动时间是秒（＞0）.
（1）当点E和点C重合时，求运动时间的值；
（2）当为何值时，△BCD1是等腰三角形；
（3）在整个运动过程中，设△FED1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与的函数关系式.
已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止。连结PQ、点D是PQ中点，连结CD并延长交AB于点E.
试说明：△POQ是等腰直角三角形；
设点P、Q运动的时间为t秒，试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S，并求出[中国教@~&育^S的最大值；
如图2，点P在运动过程中，连结EP、EQ，问四边形PEQC是什么四边形，并说明理由；
求点D运动的路径长（直接写出结果）.
(1)、证明：连接CO，则：CO⊥AB∠BCO=∠A=45°CO=AO=1/2AB
在△AOP和△COQ中
AP=CQ，∠A=∠BCO，AO=CO
∴△AOP≌△COQ(SAS)
∴OP=OQ∴∠AOP=∠COQ
∴∠POQ=∠COQ+∠COP=∠AOP+∠COP=∠AOC=90°
∴△POQ是等腰直角三角形（3分）
(2)、S=CQ×CP=t(4－t)=t2+2t=(t－2)2+2
当t=2时，S取得最大值，最大值S=2（3分）
(3)、四边形PEQC是矩形
证明：连接OD
∵点D是PQ中点[w^w#w~.zzst&ep.com]
∴CD=PD=DQ=PQ
OD=PD=DQ=PQ∴CD=OD
∴∠DCO=∠DOC
∵∠CEO+∠DCO=90°
∠DOE+∠DOC=90°
∴∠CEO=∠DOE
∴DE=DO
∴DE=CD
∵PD=DQ
∴四边形PEQC是平行四边形
又∠ACB=90°∴四边形PEQC是矩形（3分）
(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段
点D运动的路径长=AB=（3分）如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，
试探索：
①当S1＜S＜S2时，求t的取值范围
（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）
解：（1）k=1－－－－－－－1分
（2）由（1）知抛物线为：
∴顶点A为（2，0），－－－－－－－－－－－－－－2分
∴OA=2，OB=1；
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，
∴AD=m－2，
由已知得∠BAC=90°，－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽Rt△DCA，
∴，即－－－－－－－－－4分
∴n=2（m－2）；
又点C（m，n）在上，
∴，
解得：m=2或m=10；
当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）．－－－－－－－－－6分
（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，
∴点C为（10，16）
此时S1=，
S2=SBODC－S△ACD=21；－－－－－－－－－－7分
又点P在函数图象的对称轴x=2上，
∴P（2，t），AP=|t|，
∴=|t|－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分
∵S1＜S＜S2
∴当t≥0时，S=t，
∴1＜t＜21．－－－－－－－－－－－－－－－－9分
∴当t＜0时，S=－t，
∴－21＜t＜－1
∴t的取值范围是：1＜t＜21或－21＜t＜－1－－－－－－－－10分
②t=0，1，17－－－－－12分
(山西中考模拟六)如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
]
答案：
∴
∵∴当时，S的值最大．
（3）存在。
设经过t秒时，NB=t，OM=2t，则，，∴==
①若，则是等腰Rt△底边上的高，∴是底边的中线∴，∴，∴，∴点的坐标为（1，0）
②若，此时与重合，∴，∴，∴
∴点的坐标为（2，0）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点P,Q分别从点A,B同时出发，运动速度均为1cm/s,动点P沿A－B－－C－－E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B－－C－－E－－D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s，PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形)解答下列问题：
(1)当x=2s时，y=_____cm2;当=s时，y=_______cm2
(2）当5≤x≤14时，求y与之间的函数关系式。
(3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时的值。
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．
解：（1）2；9、
（2）当5≤≤9时
y=S梯形ABCQ–S△ABP–S△PCQ
=(5+－4)×4×5(－5)(9－)(－4)
当9＜≤13时
y=（－9+4）(14－)
当13＜≤14时
y=×8(14－)=－4+56
即y=－4+56
（3）当动点P在线段BC上运动时，
∵S梯形ABCD×(4+8)×5=8
即2－14+49=0
解得1=2=7
∴当=7时，S梯形ABCD
（4）
说明：（1）自变量取值不含9，13可不扣分.(2）不画草图或草图不正确，可不扣分
6、（温州市中考模拟）如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为s，解答下列问题：
（1）当0＜＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2．
（2）①若是S1与S2的和，求与之间的函数关系式．（图②为备用图）
②求的最大值．
答案：（1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同，
故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，
所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．
∵正方形边长为，
∴AC=16．
∵AE=，过B作BO⊥AC于O，则BO=8．
∴S2=4（2分）
∵HE=，EF=16﹣2，
∴S1=（16﹣2）．（3分）
当S1=S2时，（16﹣2）=4．
解得=0（舍去），x2=6．
7、（湖州市中考模拟试卷1）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs。
（1）求证：△AMN∽△ABC；
（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
答案：解：（1）∵，∠A＝∠A．
∴△AMN∽△ABC．‥‥‥4分
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴，∴，
∴⊙O的半径r＝
可求得圆心O到直线BC的距离d＝
∵⊙O与直线BC相切
∴＝．解得＝
当＝时，⊙O与直线BC相切‥‥‥8分
（3）当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点．‥‥‥9分
故以下分两种情况讨论：
①当0＜≤1时，．
∴当＝1时，…………‥11分
②当1＜＜2时，设MP交BC于E，NP交BC于F
MB＝8－4，MP＝MA＝4
∴PE＝4－（8－4）＝8－8
‥‥‥13分
∴当时，．
综上所述，当时，值最大，最大值是8‥‥‥14分
8、（湖州市中考模拟试卷7）如图，在平面直角坐标系中，BC在X轴上，B(﹣1,0)、A(0,2),，AC⊥AB.
（1）求线段OC的长.
（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以个单位每秒速度向点C运动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．
（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上、如果有求t值，如果没有说明理由。（每小题4分，共12分）
（1）利用即可求得OC=4.
（2）ⅰ当P在BC上，Q在线段AC上时，（）过点Q作QDBC，
如图所示，则,且，，
由可得，所以
即（）
ⅱ当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（），过点Q作QDBC，
如图所示，则,且，，
由可得，所以
即（）
ⅲ当或时C、P、Q都在同一直线上。
（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB,所以BQ是直径，所以，即，则,得
解得，（不合题意，舍去）
所以当t=时，点P在圆G上.
（也可以在（2）的基础上分类讨论，利用相似求得）10）如图，二次函数的图象与轴交于A,B两点(点在点左侧)，顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E作轴的平行线，交的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形，设正方形与重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点在边上，在边上时的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．
（1）=,顶点C的坐标为（）2分
=，故点(1,0)(4,0)
设AC直线为，得，解得3分
（2）可求得BC直线为,当在边上，在边上时
点E坐标为（）,点F坐标为（）
得EF=,
而EF=FG,2分
方法一：因为抛物线的对称轴和等腰三角形的对称轴重合
所以FG=
=
解得3分
方法二：抽取如图三角形，设正方形边长为，
从∽得，得，2分
即,得1分
（3）点E坐标为（）随着正方形的移动，
重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：
点F在BC上时，如图重叠部分是,
此时时，点F坐标为（）
1分
②点F在AC上时，点F坐标为（）又可分三种情况:
Ⅰ.如图，时重叠部分是直角梯形EFKB,此时
1分
Ⅱ.如图，,点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH.
此时，，
点H坐标为（），点M坐标为（）
,,
=()
=(如果不化成一般式不扣分)1分
Ⅲ.如图,点G在BC上或BC上方时,重叠部分是正方形EFGH,
此时
1分
直接分类给出表达式不扣分.
10、(河北省一摸)|如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，,动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，
（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；
（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的？
（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．
过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
∵AB=10，sinB=，∴AM=ABsinB=，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,
∴，即，
∴DE=t，AN=t，MN=﹣t，
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图①，
DE=DG=MN，即t=﹣t，∴t=，
∴当t=时，正方形DEFG的边GF在BC上．
(2)当GF运动到△ABC外时，如图②，
S△CEP+S△BDQ=
=
S△ABC=
令，解得t1=1（舍去），t2=，
∴当t=时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的．
（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图，
S=DE2=(t)2=t2，此时t的范围是0≤t≤当t=时，S的最大值为．
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图②，S=DE?MN=t(﹣t)=﹣t2+t，此时t的范围是
∵>16，∴S的最大值为．
11、(河北二摸)已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD．
（1）BD与CF的位置关系是．
（2）①如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为．
②如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为．
③如图3，当CE=3时，△BDF的面积为．
（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
答案：(1)平行3分
（2）①8；②8；③8；6分
（3）△BDF面积等于正方形ABCD面积的一半
∵BD∥CF，∴△BDF和△BDC等低等高
∴……………………………………………10分
12、(本题9分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
(1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长,则
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴,
∴,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,,即,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得
综上所述,与满足的数量关系式是
-1-
A
（第28题图1）
（第28题图2）
26题图
备用图
N
M
D
B
A
C
D．
C．
B．
A．
O
图
图
y
x
2
1
-1
3
2
1
O
y
x
2
1
-1
3
2
1
O
y
x
2
1
-1
3
2
1
O
y
x
2
1
-1
3
2
1
图
图
图
图
B
图15
A
D
E
F
G
C
B
（备用图①）
A
C
B
（备用图②）
A
C
M
B
（备用图②）
A
D
E
F
G
C
N
P
Q
B
图14
A
D
E
F
G
C
(E)
E
A
B
C
D
F
A
B
C
D
F
A
B
C
D
F
图1图2图3
E
E
D
A
图4
B
C
F
E
图1
图2
备用图
图1
图2
图3
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