多边形与平行四边形
一、选择题
1.（2014?福建泉州，第4题3分）七边形外角和为（）
A． 180° B． 360° C． 900° D． 1260° 考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据多边形的外角和等于360度即可求解． 解答： 解：七边形的外角和为360°．
故选B． 点评： 本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
2.（2014?广东，第5题3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据多边形的外角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可． 解答： 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）?180°=900°，
解得n=7．
故选D． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
3.（2014?广东，第7题3分）如图，?ABCD中，下列说法一定正确的是（）
A． AC=BD B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB=BC
考点： 平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质分别判断各选项即可． 解答： 解：A、AC≠BD，故此选项错误；
B、AC不垂直BD，故此选项错误；
C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；
D、AB≠BC，故此选项错误；
故选：C． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．
4．（2014?新疆，第4题5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）
A． OA=OC，OB=OD B． AD∥BC，AB∥DC C． AB=DC，AD=BC D． AB∥DC，AD=BC
考点： 平行四边形的判定． 分析： 根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 解答： 解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选D． 点评： 此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5.（2014?毕节地区，第9题3分）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
考点： 多边形内角与外角 分析： 根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 解答： 解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B． 点评： 本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．
6．（2014·台湾，第24题3分）下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？()
A． B．
C． D．
分析：利用平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法分别对每个选项判断后即可确定答案．
解：A．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；
B．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行
四边形；
C．上、下这一组对边平行，可能为梯形；
D．上、下这一组对边平行，可能为梯形；
故选B．
点评：本题考查了平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法，掌握这些特殊的四边形的判定方法是解答本题的关键．
7.（2014·云南昆明，第7题3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是
A.AB∥CD，AD∥BC
B.OA=OC，OB=OD
C.AD=BC，AB∥CD
D.AB=CD，AD=BC
考点： 平行四边形的判定． 分析： 根据平行四边形的判定定理分别判断得出答案即可． 解答： 解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项正确；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确；
C、一组对边相等，另一组对边平行，不能判定其为平行四边形，故此选项错误；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项正确．
故选：C． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键． 8．（2014?浙江湖州，第10题3分）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）
A． B．
C． D．分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．
解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，
即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B选项延长AF、BH交于S1，作FK∥GH，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，
∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．
点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
8.（2014?湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）
A． 任意三点可以确定一个圆 B． 菱形对角线相等 C． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D． 平行四边形的四条边相等 考点： 命题与定理 分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案． 解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
C、正确；
D、平行四边形的四条边不一定相等．
故选C． 点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般． 9.（2014?益阳，第7题，4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（）
（第2题图）
A． AE=CF B． BE=FD C． BF=DE D． ∠1=∠2 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定． 分析： 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可． 解答： 解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：A．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
10.（2014?株洲，第7题，3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A． 选①② B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④ 考点： 正方形的判定；平行四边形的性质． 分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形． 解答： 解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B． 点评： 本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
11.（2014?孝感，第8题3分）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则?ABCD的面积是（）
A． absinα B． absinα C． abcosα D． abcosα 考点： 平行四边形的性质；解直角三角形． 分析： 过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可． 解答： 解：过点C作CE⊥DO于点E，
∵在?ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b，
∴sinα=，
∴EC=COsinα=asinα，
∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，
∴?ABCD的面积是：absinα×2=absinα．
故选；A．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键． 二.填空题
1.（2014?安徽省,第14题5分）如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
解答： 解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDE，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．
2.（2014?广东，第13题4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．
考点： 三角形中位线定理． 分析： 由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE． 解答： 解：∵D、E是AB、AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴ED=BC=3．
故答案为3． 点评： 本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．
3.（2014?毕节地区，第19题5分）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为30度．
考点： 矩形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质． 分析： 根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=AB，则符合要求，进而得出答案． 解答： 解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），
∴当AE=AB，则符合要求，此时∠B=30°，
即这个平行四边形的最小内角为：30度．
故答案为：30．
点评： 此题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出AE=AB是解题关键．
4.（2014?襄阳，第17题3分）在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，则?ABCD的周长等于12或20．考点： 平行四边形的性质． 专题： 分类讨论． 分析： 根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可． 解答： 解：如图1所示：
∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，
∴EC==2，AB=CD=5，
BE==3，
∴AD=BC=5，
∴?ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，
∴EC==2，AB=CD=5，
BE==3，
∴BC=3﹣2=1，
∴?ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则?ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
5．（2014?四川自贡，第13题4分）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．考点： 多边形内角与外角 分析： 多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1360度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 解答： 解：根据题意，得
（n﹣2）?180=1360，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9． 点评： 考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
6.（2014?泰州，第9题，3分）任意五边形的内角和为540°．考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°计算即可． 解答： 解：（5﹣2）?180°=540°．
故答案为：540°． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
7.（2014?扬州，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=67.5°．
（第2题图）
考点： 等腰梯形的性质；多边形内角与外角 分析： 首先求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半． 解答： 解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°，
则正八边形的内角是：1080÷8=135°，
则∠1=×135°=67.5°．
故答案是：67.5°． 点评： 本题考查了正多边形的内角和的计算，正确求得正八边形的内角的度数是关键． 三.解答题
1.（2014?安徽省,第23题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=60°；
②求证：PM+PN=3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，
（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，
（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，
解答： 解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，
故答案为；60°．
②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM=AM，HL=BP，PL=PM，NK=ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A．
（2）如图2，连接OE，
∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，
在△ONE和△OMA中，
∴△OMA≌△ONE（SAS）
∴OM=ON．（3）如图3，连接OE，
由（2）得，△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和∠DON中，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等边三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四边形MONG是菱形．
点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段．
2.（2014?广西贺州，第21题7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ABE≌△CDF是解题关键．
3．（2014年云南省，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．
考点： 平行四边形的判定与性质
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；
（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．
解答： 证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；（2）如图：连接ND，
∵MNCD是平行四边形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中点，
∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NVD是等边三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan，
∴DB=DC=MN．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．
4．（2014?温州，第24题14分）如图，在平面直角坐标系中国，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造?PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中?PCOD的面积为S．
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，
（2）连接CD交OP于点G，由?PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．
（3）当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解，
当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解，
②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围， 解答： 解：（1）∵OB=6，C是OB的中点，
∴BC=OB=3，
∴2t=3即t=，
∴OE=+3=，E（，0）
（2）如图，连接CD交OP于点G，
在?PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=PO，
∴AG=EG，
∴四边形ADEC是平行四边形．
（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，
第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴=，即=，
∴t=1，
第二种情况：当点N在DE边
∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴==，
∴t=，
（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，
第一种情况：当点M在DE边上时，
∵MF∥PD，
∴EMF∽△EDP，
∴=即=，
∴t=，
第二种情况：当点N在CE边上时，
∵NF∥OC，
∴△EFN∽△EOC，
∴=即=，
∴t=5．
②＜S≤或＜S≤20．
当1≤t＜时，
S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，
∵t=在1≤t＜范围内，
∴＜S≤，
当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，
∴＜S≤20． 点评： 本题主要是考查了四边形的综合题，解题的关键是正确分几种不同种情况求解．
5．（2014?舟山，第23题10分）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
考点： 四边形综合题 分析： （1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；
②举例画图；
（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解． 解答：
解：（1）如图1
∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；
（2）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正确，
反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，
（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2，
∴AC===2
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2，
∵∠BCD=60°，
∴CF=，
∴BC=CF+BF=+2=3，
∴AC===2． 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．
6.（2014年广东汕尾，第20题9分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）证明：FD=AB；
（2）当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积．
分析：（1）利用已知得出△ABE≌△DFE（AAS），进而求出即可；
（2）首先得出△FED∽△FBC，进而得出=，进而求出即可．
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，∴AE=ED，∠ABE=∠F，
在△ABE和△DFE中，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB；
（2）解：∵DE∥BC，∴△FED∽△FBC，∵△ABE≌△DFE，
∴BE=EF，S△FDE=S平行四边形ABCD，∴=，∴=，∴=，
∴△FED的面积为：2．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出S△FDE=S平行四边形ABCD是解题关键．
7.（2014?泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
（第1题图）
考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形 分析： （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案． 解答： （1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG=6．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
多边形与平行四边形
一、选择题
1.（2014?四川巴中，第11题3分）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正边形．
考点：正多边形的内角和．
分析：一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解答：外角是180﹣135=45度，360÷45=8，则这个多边形是八边形．
点评：根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
（2014）（2014）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得，于是A，B都一定成立；
又由BE＝AB，可知，所以C所给结论一定成立，于是不一定成立的应选D．
4.(2014年贵州黔东南3．（4分）)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A． ABDC，AD=BC B． ABDC，ADBC C． AB=DC，AD=BC D． OA=OC，OB=OD
考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解答： 解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2014?十堰6．（3分））如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）
A． 7 B． 10 C． 11 D． 12
考点： 平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质． 分析： 根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长． 解答： 解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，
故选：B． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等． 6.（2014?十堰6．（3分））如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）
A． 7 B． 10 C． 11 D． 12
考点： 平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质． 分析： 根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长． 解答： 解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，
故选：B． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等． 7.（2014?山东临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）
A． 减少180° B． 增加90° C． 增加180° D． 增加360°
考点： 多边形内角与外角． 分析： 利用多边形的内角和公式即可求出答案． 解答： 解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）?180°，
因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180=180°．
故选C． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容． ．（2014?四川泸州分）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）
A． 30° B． 60° C． 120° D． 150° 解答： 解：由等边△ABC得∠C=60°，
由三角形中位线的性质得DE∥BC，
∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，
故选：C． 点评： 本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． ．（2014?）下列各数中，最大的是（）
A． 0 B． 2 C． ﹣2 D． ﹣ 考点： 有理数大小比较． 专题： 常规题型． 分析： 用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题． 解答： 解：画一个数轴，将A=0、B=2、C=﹣2、D=﹣标于数轴之上，
可得：
∵D点位于数轴最右侧，
∴B选项数字最大．
故选B． 点评： 本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键． .如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是（）
(A)8(B)9(C)10（D）11
答案：C
解析：根据平行四边形的性质勾股定理可得，Rt△ABO,OA=AC=×6=3,AB=4,∴OB=5,又BD=2OA=2×5=10.故C正确。
6.
7.
8.
二、填空题
1.（2014?上海，第15题4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=﹣（结果用、表示）．
考点： 平面向量 分析： 由点E在边AB上，且AB=3EB．设=，可求得，又由在平行四边形ABCD中，=，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案． 解答： 解：∵AB=3EB．=，
∴==，
∵平行四边形ABCD中，=，
∴==，
∴=﹣=﹣．
故答案为：﹣． 点评： 此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 2.（2014?四川巴中，第19题3分）在四边形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）AB=CD，（4）AD=BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是．
考点：平行四边形的判定，求简单事件的概率．
分析：列表得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形ABCD是平行四边形的情况数，即可求出所求的概率．
解答：列表如下：
1
2
3
4
1 ﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2） ﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3） ﹣﹣﹣
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中能判定出四边形ABCD为平行四边形的情况有8种，分别为（2，1）；（3，1）；（1，2）；（4，2）；（1，3）；（4，3）；（2，4）；（3，4），
则P==．故答案为：
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2014?娄底20．（3分））如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．
考点： 平行四边形的性质；三角形中位线定理． 分析： 根据平行四边形的性质得出DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可． 解答： 解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+B=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=BC，DO=BD，OE=DC． 4.（2014?山东临沂）如图，在?ABCD中，BC=10，sinB=，AC=BC，则?ABCD的面积是18．
考点： 平行四边形的性质；解直角三角形． 分析： 作CE⊥AB于点E，解直角三角形BCE，即可求得BE、CE的长，根据三线合一定理可得AB=2BE，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 解答： 解：作CE⊥AB于点E．
在直角△BCE中，sinB=，
∴CE=BC?sinB=10×=9，
∴BE===，
∵AC=BC，CE⊥AB，
∴AB=2BE=2，
则?ABCD的面积是2×9=18．
故答案是：18．
点评： 本题考查了平行四边形的面积公式，以及解直角三角形的应用，三线合一定理，正确求得AB的长是关键． （2014?四川分）ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：AD=BC（答案不唯一），使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
考点： 平行四边形的判定． 专题： 开放型． 分析： 直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案． 解答： 解；当AD∥BC，AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：AD=BC（答案不唯一）． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 6．（2014?四川分）正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是6．考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷60°，计算即可求解． 解答： 解：这个正多边形的边数：360°÷60°=6．
故答案为：6． 点评： 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． ．（2014?四川泸州分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为4．
解答： 解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2=32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
S=4×2=4． 点评： 本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半． ．（2014?）如图，在ABCD中，DE平分ADC，AD=6，BE=2，则ABCD的周长是．
ABCD的周长是内角和与外角和相等的多边形的边数为四．
考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解． 解答： 解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）?180°=360°，
解得n=4．
故答案为：四． 点评： 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1.（2014?上海，第23题12分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）联结AE，交BD于点G，求证：=．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定． 分析： （1）证△△BAD≌≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；
（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案． 解答： 证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAD和△CDA中
∴△BAD≌△CDA（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵AD∥BC，
∴=，=，
∴=，
∵平行四边形ACED，AD=CE，
∴=，
∴=，
∴=，
∴=． 点评： 本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中． 2.（2014?山东枣庄，第22题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定 专题： 计算题． 分析： （1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 解答： （1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2014?江苏徐州已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定与性质．菁优网
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．
解答： 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
．（2014?四川凉山州分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 解答： 证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形． 点评： 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形． （2014?四川分）y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
考点： 反比例函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）由AC=BC，且OC垂直于AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，将P与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出C坐标，得出直线BC斜率，求出过P且与BC平行的直线PD解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，检验得到四边形BCPD为菱形，符合题意． 解答： 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，
解得：k=，b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，
对于一次函数y=x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），
∴直线BC的斜率为=﹣，
设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，
与反比例解析式联立得：，
消去y得：=，
整理得：x2﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
当x=8时，y=1，
∴D（8，1），
此时PD==，BC==，即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵PC==，即PC=BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，两直线平行时斜率满足的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 6．（10分）（2014?）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
考点： 三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定． 分析： （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答． 解答： （1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE=BC，
同理，GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形． 点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键． （2014?）
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 解答： 解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2． 点评： 此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．
多边形与平行四边形
（2014?）平行四边形的内角和为（）
A． 180° B． 270° C． 360° D． 640°
考点： 多边形内角与外角． 分析： 利用多边形的内角和=（n﹣2）?180°即可解决问题 解答： 解：解：根据多边形的内角和可得：
（4﹣2）×180°=360°．
故选：C． 点评： 本题考查了对于多边形内角和定理的识记．n边形的内角和为（n﹣2）?180°． 2014?湖南衡阳,第4题3分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）
A．5B．6 C．7 D．8
考点： 多边形内角与外角．.
分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可．
解答： 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）?180°=900°，
解得n=7．
故选C．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
（2014?广西来宾）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（）
A． 四边形 B． 五边形 C． 六边形 D． 七边形
考点： 多边形内角与外角． 专题： 方程思想． 分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 解答： 解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）?180°=720°，
解得：n=6．
则这个正多边形的边数是6．
故选C． 点评： 考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解． ．(2014年广西南宁）如图，在?ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（）
A． B． C． D． 2
考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．.
分析： 由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DE∥CF），即四边形CFDE是平行四边形．如图，过点C作CH⊥AD于点H．利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=1，则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度．
解答： 证明：如图，在?ABCD中，∠B=∠D，AB=CD=5，AD∥BC，且AD=BC=8．
∵E是AD的中点，
∴DE=AD．
又∵CF：BC=1：2，
∴DE=CF，且DE∥CF，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∴CE=DF．
过点C作CH⊥AD于点H．
又∵sinB=，
∴sinD===，
∴CH=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得到：DH==3，则EH=4﹣3=1，
∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：EC===，
则DF=EC=．
故选：C．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．（2014?莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
考点： 多边形内角与外角．. 分析： 由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案． 解答： 解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选C． 点评： 此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键． 2014?四川绵阳下列命题中正确的是（）
A． 对角线相等的四边形是矩形 B． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C． 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D． 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
考点： 命题与定理． 分析： 根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选C． 点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． ．2014?重庆五边形的内角和是（）
A． 180° B． 360° C． 540° D． 600°
考点： 多边形内角与外角．
专题： 常规题型．
分析： 直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
解答： 解：（5﹣2）?180°=540°．
故选C．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关（2014?黔西南州）四边形的内角和为360°．
考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据n边形的内角和是（n﹣2）?180°，代入公式就可以求出内角和． 解答： 解：（4﹣2）×180°=360°．
故四边形的内角和为360°．
故答案为：360°． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单． 2014?四川广安,第15题3分）一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°，这个多边形的边数是9．
考点： 多边形内角与外角 分析： 多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的3倍多180°，则多边形的内角和是360×3+180°度，再由多边形的内角和列方程解答即可． 解答： 解：设这个多边形的边数是n，由题意得，
（n﹣2）×180°=360°×3+180°
解得n=9．
故答案为：9． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 3．2014?四川绵阳如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）
考点： 正多边形和圆分析： 根据题意得出△COW≌△ABW，进而得出图中阴影部分面积为：S扇形OBC进而得出答案． 解答： 解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==．
故答案为：．
点评： 此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键． （2014?无锡2分）如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于4．
考点： 平行四边形的性质；解直角三角形 分析： 设对角线AC和BD相交于点O，在直角△AOE中，利用三角函数求得OA的长，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得． 解答： 解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=，
∴OA===2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=4．
故答案是：4．
点评： 本题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，正确求得OA的长是关键． （2014?无锡2分）如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作?ABCD．若AB=，则?ABCD面积的最大值为2．
考点： 平行四边形的性质；勾股定理；切线的性质． 分析： 由已知条件可知AC=2，AB=，应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大，根据AB⊥AC即可求得． 解答： 解：由已知条件可知，当AB⊥AC时?ABCD的面积最大，
∵AB=，AC=2，
∴S△ABC==，
∴S?ABCD=2S△ABC=2，
∴?ABCD面积的最大值为2．
故答案为2． 点评： 本题考查了平行四边形面积最值的问题的解决方法，找出什么情况下三角形的面积最大是解决本题的关键． 2014?湖南永州,第23题10分）在同一平面内，ABC和ABD如图放置，其中AB=BD．
小明做了如下操作：
将ABC绕着边AC的中点旋转180°得到CEA，将ABD绕着边AD的中点旋转180°得到DFA，如图，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接EF，CD，如图，求证：四边形CDEF是平行四边形．
考点： 旋转的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．. 分析： （1）根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形；
（2）由于四边形ABDF是菱形，则ABDF，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形，根据判死刑四边形的性质得ABCE，且AB=CE，
所以CEFD，CE=FD，所以可判断四边形CDEF是平行四边形． 解答： （1）解：四边形ABDF是菱形．理由如下：
ABD绕着边AD的中点旋转180°得到DFA，
AB=DF，BD=FA，
AB=BD，
AB=BD=DF=FA，
四边形ABDF是菱形；
（2）证明：四边形ABDF是菱形，
AB∥DF，且AB=DF，
ABC绕着边AC的中点旋转180°得到CEA，
AB=CE，BC=EA，
四边形ABCE为平行四边形，
AB∥CE，且AB=CE，
CE∥FD，CE=FD，
四边形CDEF是平行四边形． 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定． （2014?乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．. 专题： 计算题． 分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到NC=2MN，根据三角形MND与三角形DNC高相等，底边之比即为面积之比，由三角形DCN面积求出MND面积，进而求出三角形DCM面积，表示出平行四边形ABCD面积与三角形MCD面积，即可求出平行四边形ABCD面积． 解答： 解：（1）平行四边形ABCD，
AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
DMN=∠BCN，MDN=∠NBC，
MND∽△CNB，
=，
M为AD中点，
MD=AD=BC，即=，
=，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
BD=2x=6；
（2）MND∽△CNB，且相似比为1：2，
MN：CN=1：2，
S△MND：SCND=1：4，
DCN的面积为2，
MND面积为，
MCD面积为2.5，
S平行四边形ABCD=AD?h，SMCD=MD?h=AD?h，
S平行四边形ABCD=4SMCD=10． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 在平行四边形ABCD中，将ABC沿AC对折，使点B落在B处，AB和CD相交于点O．求证：OA=OC．
考点： 平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题） 专题： 证明题． 分析： 由在平行四边形ABCD中，将ABC沿AC对折，使点B落在B处，即可求得DCA=∠B′AC，则可证得OA=OC． 解答： 证明：AB′C是由ABC沿AC对折得到的图形，
BAC=∠B′AC，
在平行四边形ABCD中，ABCD，
BAC=∠DCA，
DCA=∠B′AC，
OA=OC． 点评： 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
第10题图
F
E
D
C
B
A
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