成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则
（A）（B）
（C）（D）
2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是
（A）（B）（C）（D）
3．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是
（A）复数的虚部为（B）复数的虚部为
（C）复数的共轭复数为（D）复数的模为
4．函数的图象大致为
（A）（B）（C）（D）
5．已知命题：“若，则”，则下列说法正确的是
（A）命题的逆命题是“若，则”
（B）命题的逆命题是“若，则”
（C）命题的否命题是“若，则”
（D）命题的否命题是“若，则”
6．若关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
7．已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴.若，则该椭圆的离心率是
（A）（B）（C）（D）
8．已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，则下列叙述正确的是
（A）若，则（B）若，则
（C）若，则（D）若，则
9．若，，且，，则的值是
（A）（B）（C）或（D）或
10．如图，正方体棱长为4，点上，且内作边长为1正方形是侧面内动点点到平面距离等于线段的长点运动，的最小值是
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．
12．二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答）
13．在中，内角的对边分别为，若，，，则的面积__________．
14．已知定义在R上的奇函数，当时，．若关于的不等式的解集为，函数在上的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．
15．已知曲线：（）处的切线，直线交轴，轴于点，．给出以下结论：
①；时，的最小值为；
时，；时，记数列的项和为，则．
其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．
（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；
（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
17．（本小题满分12分）
如图，为正三角形，平面，，为的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且；数列满足，.．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，．求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（，单位：小时）的函数近似地满足，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象．
（Ⅰ）根据图象，求，，，的值；
（Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式（）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.
参考数据:
（时） 10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 （万千瓦时） 5 3.5 2 2.75 3.125 2.375 2.563 2.469
20．（本小题满分13分）
已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点的距离之和为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于不同两点，，且．若点满足，求的值．
21．（本小题满分14分）
已知函数，，其中且．为自然对数的底数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极小值；
（Ⅱ）当时，若函数存在三个零点，且，试证明：
；
（Ⅲ）是否存在负数，对，，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
数学（理科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．A；2．C；3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．A；10．B．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．12．13．14.15．①③④
三、解答题：（本大题共6个小题,共75分）
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则
．……………………………………………………………4分
（Ⅱ）的可能取值为，则
……………………………………………………………2分
………………………………………………………2分
………………………………………………………………2分
∴的分布列为
∴的数学期望．…………………………………2分
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：作的中点，连结．
在中，，又据题意知，．
∴，∴四边形为平行四边形．
∴，又平面，平面．
∴平面．……………………………………4分
（Ⅱ）∵，∴平面．
在正中，，∴三线两两垂直．
分别以为轴，建系如图．
则，，．
∴，．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则．
∴平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为．
∴．
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………………8分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵(
当时，(
((得，，即（）．
又当时，，得．
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，
∴数列的通项公式为．………………………………………4分
又由题意知，，，即
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴数列的通项公式为．……………………………2分
（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，………………………………………………1分
∴(
④
由(④得
…………………1分
∴…………………………………………………1分
∴即
∴
∴数列的前项和………………………………………3分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由图知，．………………………………………………………1分
，．……………2分
∴．
又函数过点．
代入，得，又，∴．…………………………………2分
综上，，，，．………………………………………1分
即．
（Ⅱ）令，设，则为该企业的停产时间．
由，，则．
又，则．
又，则．
又，则．
又，则．…4分
∵．……………………………………………1分
∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分
（也可直接由，，得出；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知得，又．
∴．
∴椭圆的方程为．…………………………………………………4分
（Ⅱ）由得①………………………1分
∵直线与椭圆交于不同两点、，∴△，
得．
设，，则，是方程①的两根，
则，．
∴．
又由，得，解之．……………………………3分
据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点．
设的中点为，则，，
(当时，
∴此时，线段的中垂线方程为，即．
令，得．…………………………………………………………………2分
(当时，
∴此时，线段的中垂线方程为，即．
令，得．………………………………………………………………2分
综上所述，的值为或．
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）（且）．
∴由，得；由，得，且．……………………1分
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是．………………2分
∴.………………………………………………………………1分
（Ⅱ）．
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
∵函数存在三个零点．
∴．
∴…………………………………………………………………………………3分
由．
∴．……………………………………………………1分
综上可知，，
结合函数单调性及可得：．
即，得证．…………………………………………………………1分
（III）由题意，只需
∵
由，∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴．………………………………………………………………2分
∵
由，∴函数在上单调递增，上单调递减．
∴．……………………………………………………………2分
∴，不等式两边同乘以负数，得．
∴，即．
由，解得．
综上所述，存在这样的负数满足题意．……………………………1分
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