2009年全国中考数学压轴题精选精析（二）
2.（09年福建龙岩26．（1分）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到
△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q.问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
（09年福建龙岩又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2.……………………………2分解得
∴抛物线的解析式为：……4分分.
解得x1=1，x2=4.∴A（4，0），B（1，0）.……………………………6分°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，－1）.………………………………………………7分，得，
∴点E在抛物线上.…………………………………………………………8分a－1.
S梯形BCGF=5，S梯形ADGF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2，
下面分两种情形：
①当S1∶S2=1∶3时，
此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF=3－a，
由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a)=3a－6
由S1=2，得，解得；…………………11分当S1∶S2=∶1时
此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF=a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG=3a－－－，解得.
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………14分S1∶S2不符合条件，故a≠3.
设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，则，解得，
∴.由y=2得x=3a－6，∴Q（3a－6，2）……10分a－1，.
下面分两种情形：
①当S1∶S2=1∶3时=2；
∴4a－7=2，解得；……………………………………………12分当S1∶S2=∶1时；
∴4a－7=6，解得；[来源:学#科#网]，0）或（，0）…………14分或两个答案，就给6分.]
3.（09年福建宁德）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
（09年福建宁德26题解析）解：（1）由抛物线C1：得
顶点P的为（-2，-5）………2分
∵点B（1，0）在抛物线C1上
∴
解得，a＝………4分
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）………6分
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为………8分
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称
由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）………9分
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34………10分
①当∠PNF＝，∴Q点坐标为（，0）
②当∠PFN＝，∴Q点坐标为（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
的三角形是直角三角形．………13分
4.（09年福建莆田）25．（14分）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）解:方法一如图1当时,
时,
∴ 1分
2分
设直线的解析式为 3分
则解得
∴直线的解析式为 4分
当时,
5分
方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设 3分
4分
解得
5分
(2)证明：方法一：在中，
6分
在中，
由（1）得
7分
8分
方法二：由（1）知
6分
同理：[来源:Z|xx|k.Com]
7分
同理：
即 8分
（3）存在.
解：如图3，作轴，垂足为点 9分
又[来源:学科网]
10分
设，则
①当时，
11分
解得
12分
②当时，
13分
解得
综上，存在点、使得与相似. 14分
5.（09年福建泉州）28．（13分）在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C.
(1)请直接写出点C的坐标；
（2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D.
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
②现有一动点P从B点出发，沿路线BA—AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值.
（09年福建泉州28题解析）28.（本小题13分）
解:（1）C（-5，0）………………………（3分）
（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下：
如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.…………………………………（5分）
∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD
∴四边形ABCD是矩形.…………………（7分）
②如图，由①得四边形ABCD是矩形
∴∠CBA=∠ADC=90°……………（8分）
又AB=CD=6，AC=10
∴由勾股定理，得BC=AD=
==8…………………………………（9分）
∵，，∴0≤t≤14.……………………（10分）
当0≤t≤6时，P点在AB上，连结PQ.
∵AP是直径，∴∠PQA=90°…………………………………（11分）[来源:Z,xx,k.Com]，即,解得t=3.6…………………………（12分）
当6＜t≤14时，P点在AD上，连结PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴，即t-6,解得t=12.
综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12.……（13分）
6.（09年福建厦门）26．(11分)已知二次函数y＝x2－x＋c．
(1)若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；
(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2＋时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．
（09年福建厦门26题解析）(1)解：法1：由题意得
……1分
解得……2分
法2：∵抛物线y＝x2－＋，
且－－－∴A、B两点关于对称轴对称.
∴n＝2n－∴n＝1，c＝－∴有y＝x2－－3分
＝(x－－∴二次函数y＝x2－－－∵点P(m，m)(m＞0∴PO＝m.
∴2≤m≤＋∴2≤m≤1＋1：∵点P(m，m)(m＞0－＋∴m＝m2－＋－＋∵开口向下，且对称轴m＝1，
∴当2≤m≤1＋－1≤≤0.……6分
法2：∵2≤m≤1＋∴1≤m－1≤∴1≤(m－1≤2.
∵点P(m，m)(m＞0－＋∴m＝m2－＋－－1∴1≤1－≤2.
∴－1≤≤0.……6分
∵点D、E关于原点成中心对称，
法1：∴x2＝－－∴
∴2y1＝－2－－≠x2.
∴存在x1，使x1≠0.……7分
∴k＝－∴直线DE：y＝－2：设直线DE：y＝kx.
则根据题意有kx＝x2－＋－＋＋∵－1≤≤0，
∴(k＋－≥0.
∴方程x2－＋＋∵x1＋∴k＋∴k＝－∴直线DE：y＝－则有x2＋＋－－－－－－－－－＋＋－－＞＜－－≤c＜－－－－－＋＋－－＜＞－－＜≤0时，
方程x2＝－－－－＋＋22．（满分14分）
已知直线l：y=－x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在
线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M
旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上,点F在直线l上;取线段EO中
点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：
过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M
为顶点的抛物线为.
(1)如图10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，
②求、的函数解析式；
（2）当m发生变化时，①在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。
②若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。
（09年福建福州22题解析）解：（１）①点Ｍ的坐标为（２，４），点Ｆ的坐标为（－２，８）．……………………2分
设的函数解析式为（．
∵过点Ｆ（－２，８）
∴的函数解析式为．
∵的顶点Ｂ的坐标是（０，６）
∴设的函数解析式为．
∵过点M（2，4）
∴
．
∴的函数解析式为．……………………6分
（2）依题意得，A（m，０），B（０，m），
∴点Ｍ坐标为（），点Ｆ坐标为（，）．
①设的函数解析式为（．[来源:Z。xx。k.Com]
∵过点Ｆ（，）
∴．
∵
∴
∴在的每一支上，y随着x的增大而增大．
②答：当＞０时，满足题意的x的取值范围为0＜x＜；
当＜０时，满足题意的x的取值范围为＜x＜０．…………14分
7
B
O
A
x
y
图（1）
C3
C2
C1
图1
M
P
B
O
A
x
y
图（2）
F
E
Q
C4
C1
图2
N
P
B
O
A
x
y
图10
Q
l
P
M
图3
y
x
F
O
C
D
E
M
H
G
（图2）
l
y
O
x
B
F
A
C
D
E
（图1）
l
y
O
x
B
F
A
C
D
E
（第25题图）
备用图
（图1）
y
x
F
O
C
D
E
l
y
O
x
B
F
A
C
D
E
K
G
H
F
E
Q
C4
C1
图(2)
N
P
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