2007年各地中考压轴题汇编(3)
10、(嘉兴)如图,已知A(8,0),B(0,6),两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向(→O→A→B→O→)运动,开始时点P在点B位置,点Q在点O位置,点P的运动速度为每秒2个单位,点Q的运动速度为每秒1个单位.
(1)在前3秒内,求△OPQ的最大面积;
(2)在前10秒内,求P、Q两点之间的最小距离,并求此时点P、Q的坐标;
(3)在前15秒内,探究PQ平行于△OAB一边的情况,并求平行时点P、Q的坐标.
11、(湖北武汉)如图①,在平面直角坐标系中,Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0)、B(0,2),抛物线y=ax2+ax-2经过点C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ是正方形?若存在,求点P、Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图②,E为BC延长线上一动点,过A、B、E三点作⊙O’,连结AE,在⊙O’上另有一点F,且AF=AE,AF交BC于点G,连结BF。下列结论:①BE+BF的值不变;②,其中有且只有一个成立,请你判断哪一个结论成立,并证明成立的结论。
12、(广东梅州)如图12,直角梯形中,,动点从点出发,沿方向移动,动点从点出发,在边上移动.设点移动的路程为,点移动的路程为,线段平分梯形的周长.
(1)求与的函数关系式,并求出的取值范围;
(2)当时,求的值;
(3)当不在边上时,线段能否平分梯形的面积?若能,求出此时的值;若不能,说明理由.
解:(1)过作于,则,可得,
所以梯形的周长为18. 1分
平分的周长,所以, 2分
因为,所以,
所求关系式为:. 3分
(2)依题意,只能在边上,.
,
因为,所以,所以,得 4分
,即,
解方程组得. 6分
(3)梯形的面积为18. 7分
当不在边上,则,
()当时,在边上,.
如果线段能平分梯形的面积,则有 8分
可得:解得(舍去). 9分
()当时,点在边上,此时.
如果线段能平分梯形的面积,则有,
可得此方程组无解.
所以当时,线段能平分梯形的面积. 11分
13、(湖北仙桃)如图①,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在轴的正半轴上,点C在轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标;
(2)如图②,若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒,过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式;当取何值时,S有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当为何值时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应时刻点M的坐标.
解:(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
∴在中,
∴∴
∴点坐标为………………………………………………………(2分)
在中,又∵
∴解得:
∴点坐标为………………………………………………………(3分)
(2)如图①∵∥∴
∴又知
∴又∵
而显然四边形为矩形
∴…………………(5分)∴又∵
∴当时,有最大值(面积单位)…………………(6分)
(3)(i)若(如图①)
在中,,∴为的中点
又∵∥,∴为的中点
∴∴∴
又∵与是关于对称的两点
∴,
∴当时(),为等腰三角形
此时点坐标为………………………………………………(9分)
(ii)若(如图②)
在中,
∵∥,∴,∴
∴∴
同理可知:,
∴当时(),此时点坐标为
综合(i)、(ii)可知:或时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,相应M点的坐标为或………………………………………(12分)
14、(山东济宁)如图,A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根(OA>OB),直线BC平分∠ABO交x轴于C点,P为BC上一动点,P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2,求S1∶S2的值;
(2)求直线BC的解析式;
(3)设PA-PO=m,P点的移动时间为t。
①当0<t≤时,试求出m的取值范围;
②当t>时,你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)?
15、(山东临沂)如图①,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
(3)连接OA、AB,如图②,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
16、(广东深圳)如图7,在平面直角坐标系中,抛物线与直线相交于两点.
(1)求线段的长.
(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少?
(3)如图8,线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点,垂足为点,分别求出的长,并验证等式是否成立.
(4)如图9,在中,,,垂足为,设,,.,试说明:.
(1)∴A(-4,-2),B(6,3)
分别过A、B两点作轴,轴,垂足分别为E、F
∴AB=OA+OB
(2)设扇形的半径为,则弧长为,扇形的面积为
则
∵
∴当时,函数有最大值
(3)过点A作AE⊥轴,垂足为点E
∵CD垂直平分AB,点M为垂足
∴
∵
∴△AEO∽△CMO
∴∴∴
同理可得
∴
∴
∴
(4)等式成立.理由如下:
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
17、(芜湖)已知圆P的圆心在反比例函数图象上,并与x轴相交于A、B两点.且始终与y轴相切于定点C(0,1).
求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形.
解:(1)连结PC、PA、PB,过P点作PH⊥x轴,垂足为H.…………………1分
∵⊙P与轴相切于点C(0,1),
∴PC⊥轴.
∵P点在反比例函数的图象上,
∴P点坐标为(k,1).…………………2分
∴PA=PC=k.
在Rt△APH中,AH==,
∴OA=OH—AH=k-.
∴A(k-,0).……………………………………………………………………3分
∵由⊙P交x轴于A、B两点,且PH⊥AB,由垂径定理可知,PH垂直平分AB.
∴OB=OA+2AH=k-+2=k+,
∴B(k+,0).……………………………………………………………………4分
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k.
可设该抛物线解析式为y=a+h.…………………………………………………5分
又抛物线过C(0,1),B(k+,0),得
解得a=1,h=1-.…………………7分
∴抛物线解析式为y=+1-.……8分
(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k,1-)
∴DH=-1.
若四边形ADBP为菱形.则必有PH=DH.………………………………………………10分
∵PH=1,∴-1=1.
又∵k>1,∴k=…………………………………………………………11分
∴当k取时,PD与AB互相垂直平分,则四边形ADBP为菱形.…………………12分
[注:对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分!]
18、(永州)23.AB是⊙O的直径,D是⊙O上一动点,延长AD到C使CD=AD,连结BC、BD。
(1)证明:当D点与A点不重合时,总有AB=BC。
(2)设⊙O的半径为2,AD=x,BD=y,用含x的式子表示y。
(3)BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切,则说明理由;若能相切,则指出x为何值时相切。
图8
图7
图②
图①
(第26题图)
y
y
x
x
O
O
B
B
A
A
y
x
P
C
B
A
O
·
N
M
P
B
C
D
E
A
O
图②
A
B
C
D
O
E
图①
A
P
D
C
B
Q
图12
(第25题图①)
y
x
D
C
B
A
O
(第25题图②)
G
O’
C
E
A
F
B
y
x
O
图9
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