专题跟踪突破一规律探索型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是()A．0B．1C．3D．7C2．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是()A．31B．46C．51D．66B3．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的().A.B.C.D.D4．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()A．22B．24C．26D．28C5．(2014·内江)如图，已知A1，A2，A3，…，An，An＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn＋1＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，An＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1，B2，B3，…，Bn，Bn＋1，连接A1B2，B1A2，B2A3，…，AnBn＋1，BnAn＋1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn.△A1B1P1，△A2B2P2，△AnBnPn的面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn为()A.n＋12n＋1B.n3n－1C.n22n－1D.n22n＋1D二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由____个▲组成．3n＋18．(2014·梅州)如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．(8，3)(5，0)9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第n－2个数是．(用含n的代数式表示)10．(2013·潍坊)当白色小正方形个数依次等于1，4，9…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．(用n表示，n是正整数)n2＋4n三、解答题(共40分)11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．解：(1)观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6(2)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S，N，L的值可得，??í?ì4a＋b＝1，1＋6a＋b＝3，解得??í?ìa＝12，b＝－1，∴S＝N＋12L－1，将N＝82，L＝38代入可得S＝82＋12×38－1＝10012．(12分)(2012·宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．解：(1)寻找规律：第一个图需棋子6＝3×2，第二个图需棋子9＝3×3，第三个图需棋子12＝3×4，第四个图需棋子15＝3×5，∴第五个图需棋子3×6＝18.答：第5个图形有18颗黑色棋子(2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n＋1)颗，设第n个图形有2013颗黑色棋子，则3(n＋1)＝2013，解得n＝670.答：第670个图形有2013颗黑色棋子13．(16分)(2014·凉山州)实验与探究：三角点阵前n行的点数计算．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＝300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系是1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n，可以发现．2×[1＋2＋3＋4＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＋[n＋(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋3＋2＋1]．把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n＋1，整个式子等于n(n＋1)，于是得到1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n＝12n(n＋1)，这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12n(n＋1)．下列用一元二次方程解决上述问题：设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12n(n＋1)整理这个方程，得n2＋n－600＝0，解方程得n1＝24，n2＝－25.根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300.请你根据上述材料回答下列问题：(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．.
解：(1)由题意可得＝600整理得n＋n－1200＝0此方程无正整数解所以三角点阵中前n行的点数的和不可能是600
由题意可得2＋4＋6＋…＋2n＝2(1＋2＋3＋＋)＝＝n(n＋1)；依n(n＋1)＝600整理得＋－600＝0(n＋25)(n－24)＝＝－25＝24为正整数＝24.故n的值是24
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