2014-2015海淀区初三数学第一学期期末练习2015.1
一、选择题
1．方程的根的情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定是否有实数根
2.在Rt△ABC中，∠C=90o，，则的值为
A.B.C.D.
3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是
A.长方体B.正方体C.圆柱D.圆锥
4.小丁去电影3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是
A.B.C.D.
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为
A.1B.2C.4D.8
6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为
A．B．C．1D．
8．如图1，在矩形ABCD中，AB
图图2
A．线段EFB．线段DEC．线段CED．线段BE
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
93cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________cm2．
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.
11．如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________．
对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．
规定，（为正整数）．例如：，．
求：____________，______________；
若，则正整数m的最小值是_____________
三、解答题（共30分，每小题5分）
计算.
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E求证：△ACDBCE．
已知是二次方程的实根的值
16.抛物线平移后，，求平移后的抛物线的表达式．
17.如图在平面直角坐标系中，与反比例函数的图象交于AB两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18.如图△ABC中，ACB=90°，BC=8，D是AB中点，过B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求D的长；
（2）求的值．
四、解答题（共20分，每小题5分）
有两个不相等的实数根
（1）求m的取值范围
（2）若，且，求整数m的
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）
质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … … 50 单件利润（万元） 6 8 … … 24 为了便于调控此工厂每天只生产一个档次的产品生产x的产品时，
（1）求y关于x的函数关系式
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
21.如图，ABCD是平行四边形O上AD与⊙O相切O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长
22．阅读下面材料：
小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC=_______________；=_______________；
图1图2图3
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，计算：=_______________．
五、解答题（共22分，第23题7分，第2题7分，第25小题8分
23.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点.
求代数式mn的值；
若二次函数的图象经过点B求代数式的值
若反比例函数的图象与二次函数的图象有一个交点且该交点的下方求
24．如图1，在△ABC中，BC，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段
AD，DE之间的数量关系；
将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
连接BF，AF．
若α=90°，依题意补全图3，AF的长；
②请直接线段AF用α的式表示．
图2图3备用图
25.在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的点．
定义图形W的测度面积：的最大值为m，的最大值为n为图形W的测度面积．
例如若图形W是半径为1的O．当P，Q分别是O与x轴的交点时，取得最大值且最大值m2；当P，Q分别是O与轴的交点时取得最大值且最大值n=2W的测度面积．
（1）若图形W是等腰直角三角形ABOOA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；
②如图4，当ABx轴时，的测度面积
（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，此图形测度面积S的最大值
（3若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，它的测度面积S的．
阅卷须知:
1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.
2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.
3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C B B C B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．； 10．24；
11．；12．（1）37，26；（每个答案1分）（2）6.（2分）
三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解：原式……………………………………………………………………4分
．………………………………………………………………………………5分
14.（本小题满分5分）
证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．…………………………………………………………………………1分
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°．
∴∠ADC=∠BEC．……………………………………………………………………2分
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD∽△BCE．………………………………………………………………………5分
15.（本小题满分5分）
解：由已知，可得．………………………………………………………1分
∴．………………………………………………………………………2分
∴原式=．………………………………………………5分
16.（本小题满分5分）
解：设平移后抛物线的表达式为．………………………………………1分
∵平移后的抛物线经过点，，
∴………………………………………………………………………3分
解得…………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为．……………………………………5分
解二：∵平移后的抛物线经过点，，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线.…………………………………………1分
∴设平移后抛物线的表达式为．…………………………………2分
∴．.………………………………………………………………3分
∴．.………………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为．…………………………………5分
17.（本小题满分5分）
解：（1）将代入中，得．
∴点A坐标为．………………………………………………………………1分
∵点A在反比例函数的图象上，
∴．……………………………………………………………………2分
∴反比例函数的解析式为．…………………………………………………3分
（2）或．……………………………………………………………5分
18.（本小题满分5分）
解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，
∴．…………………………………………………………1分
∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴．…………………………………………………………………2分
（2）法一：过点C作CF⊥AB于F，如图．
∴∠CFD=90°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
∵，
∴．………………………………3分
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分
∴．…………………………………5分
法二：∵D是AB中点，AB=10，
∴．……………………………………………………………………3分
∴．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．………………………………………………4分
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∴．……………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（本小题满分5分）
解：（1）由已知，得且，
∴且．…………………………………………………………………2分
（2）原方程的解为．
∴或．…………………………………………………………………3分
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．……………………………………………………………………4分
∵m是整数，
∴．…………………………………………………………………………5分
20.（本小题满分5分）
解：（1）．……………………………2分
（且x为整数）．
（2）∵．…………………………3分
又∵且x为整数，
∴当时，函数取得最大值1210．
答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．
………………………………………………………………5分
21.（本小题满分5分）
解：（1）连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°．……………………………………1分
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线．…………………………………………………………2分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，
∴．
设⊙O的半径为r，则，．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴．
∴．
解得．…………………………………………………………………………3分
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．
∴△OCE∽△CPE．……………………………………………………………………4分
∴．
∴．
∴．……………………………………………………………………………5分
22.（本小题满分5分）
（1）如图，线段CD即为所求；……………………1分
（2）OC=，=5；……………………3分
（3）=．…………………………………5分
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．（本小题满分7分）
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴．………………………………………………………………………1分
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数的图象经过点，
∴．………………………………………………………………………2分
（2）∵二次函数的图象经过点，
∴．…………………………………………………………………3分
∴．
∴．
由（1）得，
∴原式
．……………………………………………………………………4分
（3）由（1）得反比例函数的解析式为．
令，可得，解得．
∴反比例函数的图象与直线交于
点，．…………………………5分
当二次函数的图象经过点时，可得；
当二次函数的图象经过点时，可得．
∵二次函数的顶点为，
∴由图象可知，符合题意的的取值范围是或．…………7分（注：只写或只写，减1分.）
24.（本小题满分7分）
（1）AD+DE=4．…………………………………………1分
（2）①补全图形，如右图所示．……………………2分
解：设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，如图．
∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC．
在△ADE与△BDC中，
∴△ADE≌△BDC．……………………………………3分
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC．
∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分
线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF//CB．
∴AE=EF．CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°．
AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°．
∴AF==4．…………………………………………………………………………5分
②．………………………………………………………………………………7分
25.（本小题满分8分）
解：（1）①1；………………………………………………………………………………1分
②1．…………………………………………………………………………………2分
（2）2．…………………………………………………………………………………4分
（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．
当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12．
………………………………5分
当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．
过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，
过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点
G，则可得四边形EFGH是矩形．
当点P，Q分别与点A，C重合时，取得最大值，
且最大值；
当点P，Q分别与点B，D重合时，取得最大值，且最大值．
∴图形W的测度面积．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°．
∴∠BAE=∠CBF．
又∵，
∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分
∴．
设，则，
在Rt△ABE中，由勾股定理得．
∴．即．∵，∴
易证△ABE≌△CDG．∴．
∴，．
∴
∴当，即时，测度面积S取得最大值．…………7分
∵，∴．∴．
∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为．
综上所述，测度面积S的取值范围是．……
图1
5
图6
图7
|
|
