拉力做了多少功
题目右下图中定滑轮为理想滑轮，图中人重600牛，吊篮重400牛，不计绳重及其形变，求人把自己匀速向上拉起5米的过程中人对绳施加的拉力做的功。
有人给出的答案是2500焦，有人给出的答案是5000焦。哪一个对呢？
由功的计算公式可知，功的大小由力的大小和物体在力的方向上通过的距离决定，力的大小显然等于500牛，故争论的焦点显然是绳在拉力的作用下在拉力方向上移动的距离是5米还是10米。
由于物体的位移与所选择的参照物有关，因而功的大小也就与所选取的参照物有关。换句话说，如果不指出所选取的参照物是什么，那谈论功的大小也就没有意义。因为在没有特别说明的情况下，通常默认的是选取地面为参照物，且题中的5米显然也是指人相对于地面上升的高度，所以本题要求的应当是以地面为参照物时，人对绳施加的拉力做的功。
为了明确地确定以地面为参照物时绳在拉力的作用下在拉力方向上移动的距离，可假定右侧绳的正下方恰好有一口深井，且刚开始时右侧绳的末端恰好处于此井的井口处。由于在人和吊篮一起上升5米的过程中左段绳缩短了5米，因而右侧绳的末端在此过程中相对于井口竖直向下移动的距离也是5米。简言之，由左侧绳缩短了5米，即可推知右侧绳在拉力的作用下在拉力方向上相对于地面移动的距离为5米（注：虽然人在拉绳的过程中拉力的作用点时常变化，但这些作用点在拉力的作用下相对于地面累计移动的距离与右侧绳的末端下降的距离相同）。因为拉力的大小为500牛，所以由功的计算公式可得以地面为参照物时人对绳施加的拉力做的功为2500焦。
选择地面为参照物，人对绳施加的拉力对绳做的功还可以这样来计算。由于绳本身并没有消耗能量，而定滑轮在绳的拉力作用下也并没有移动距离，也就是说绳对定滑轮也没有做功，故而由能量守恒以及功与能的关系可推知，人对绳做了多少功，绳就对吊篮做了多少功。反过来，绳对吊篮做了多少功，人就对绳做了多少功。由于绳对吊篮施加的拉力为500牛，吊篮在这一拉力作用下沿拉力方向移动的距离为5米，故绳对吊篮做的功为2500焦。这样，人对绳做的功确实等于2500焦。由于绳对吊篮施加的拉力做功的过程显然也就是此拉力克服人和吊篮的重力做功的过程，因此人对绳做的这2500焦的功显然都被用来增加人和吊篮的机械能了。
然而，若人在上述过程中对绳仅做了2500焦的功，那人和吊篮的总的机械能为何不是增加2500焦而是增加了5000焦呢？多的2500焦的能量来自哪里呢？
多的2500焦的能量其实来自于人体内的内力做的功。如果细究，那与同弹簧收缩过程中拉动物体对物体做的功归根到底来自于弹簧内力做功释放出来的弹性势能一样，人对绳做的那2500焦的功其实也来自于人体内内力做功释放出来的化学能。事实上，正是由于人体内的内力做功之和可以大于零，我们的身体才可以动起来。从能量的角度看，在通常情况下，正是借助于人体内的内力做功，我们才能将储存在我们体内的化学能转化为我们身体活动的机械能，我们才能对外做功。
例如，在我们站在地面上向上跳起的过程中，地面对我们施加的支持力其实并没有做功。从功的计算公式看，这是因为在我们的脚底离开地面前，此力的作用点并没有在力的方向上移动距离；而在我们的脚底离开地面向上运动的过程中，此力又消失了。从功是能量转化的量度的角度来看，若起跳过程中地面有对我们做功，那地面的能量必定会减少。事实上在我们跳起来的过程中，地面的能量显然没有发生什么改变。当然严格地说会有点变化，但那点变化对于我们要讨论的问题而言显然可以忽略。我们增加的机械能来自于我们体内的内力做的功——在我们跳起的过程中，我们身体发生了形变，这也就导致我们体内的内力做的功并没有互相抵消。事实上，谁都不可能保持身体形状不发生变化而跳起，不信就试试看。
再如，在我们沿着一根竖直悬挂的理想的绳向上爬的过程中，我们没对绳做功（绳在拉力方向上没有移动距离），绳也没对我们做功（在我们的双手交替向上爬的过程中，就像我们做引体向上运动时一样，绳对手的拉力的作用点并没有移动），我们增大的机械能也是来自内力做功消耗的化学能。
本题中，人拉绳的同时沿着绳向上升，与人上升中因内力做功（不含拉绳绳动那部分功）而相对应的那部分能量的增量显然可以这样来计算——因为人对绳的拉力的大小为500牛，所以那一部分能量就相当于一个体重为500牛的人顺着一条固定不动的竖直悬挂的绳向上匀速爬5米的过程中增加的机械能。这一数值恰好等于上述缺省的2500焦。
再来看人对绳做了5000焦的功是怎么计算出来的。
以上升的人为参照物，由人相对于地面上升5米而绳相对于地面下降5米可知，绳在拉力的作用下在拉力的方向上相对于人移动的距离为10米。由功的计算公式可得此种情况下人对绳的拉力做功的大小为5000焦。也就是说，5000焦的功是以上升的人为参照物时的计算结果。现在的问题是，以上升的人为参照物时，与这5000焦的功相对应的能量最终到哪里去了呢？
为了便于阐述，现假定吊篮旁另有一与吊篮始终保持相对静止的观察者甲。显然在甲看来，或者说相对于甲而言，吊篮中的人对绳做的功的大小也为5000焦。也就是说在甲看来，在上述的过程中人向绳注入了5000焦的能量（这些能量当然也是源自于人体内储存的化学能）。但以甲为参照物时，吊篮是静止的。也就是说，在甲看来，绳对吊篮施加的拉力没有对吊篮做功。换句话讲，那5000焦的能量好像并未注入吊篮中。
由能量守恒定律可知，能量不可能凭空消失。既然能量不可能凭空消失，那绳一定是把那部分能量传递给了其周边的其它物体。因为绳重不计，所以在绳的周边的与绳存在相互作用的未曾考虑的物体就只有定滑轮。从综合起来的效果上看，绳对定滑轮施加了一个竖直向下的大小为1000牛的力。相对甲而言，定滑轮在上述的过程中竖直向下移动了5米。二者相乘即得绳在上述过程中对定滑轮做了5000焦的功。这样，在甲看来，绳将从人那里获取的5000焦的能量全部传递给了定滑轮。然而在甲看来，定滑轮所具有的能量并没有增加，那定滑轮又将此能量传递给了谁？
假定此定滑轮是固定在一个放在水平地面的重量不计的木框上。由定滑轮对木框的拉力、木框对地面的压力的大小与方向，木框、地面在上述两种作用力的方向上相对于甲移动的距离可知，定滑轮在上述过程中对木框做了5000焦的功，木框在上述过程中对地面也做了5000焦的功。这样，人提供给绳的那5000焦的能量最终全部都传递给了地球。那地球是将这5000焦的能量以什么形式储存起来了呢？还是将它又传递给了其它物体？
相对甲而言，人和吊篮不动，地球则匀速向下移动了5米。这样，在甲看来，在地球向下移动的过程中就需要克服人和吊篮对其施加的大小为1000牛的引力做5000焦的功。也就是说，木框对地面的压力做功的过程实质上也就是克服人和吊篮对地球远离过程中引力做功的过程（这与我们将一个物体匀速举起的过程中我们对物体施加的力做功的过程也就是克服地球对物体施加的重力做功过程一样）。因而在甲看来，那5000焦能量最终都转化为了与地球与人和吊篮间相互吸引相联系的重力势能。
在前述的分析中忽略了定滑轮或木框所受的重力。若考虑二者所受的重力，那结果是否会发生改变呢？
为简便起见，在此先考虑一最简单的情形。假定在水平地面上有一相对于地面不动的重200牛的物体乙。显然，在甲看来，在上述的同一时间段内，物体乙对地面的压力对地面做了1000焦的功。这样，由功与能间的关系以及能量守恒定律，很自然地就有这样的两个问题：乙做这1000焦的功所消耗的能量是从哪里来的，输入地面的这1000焦的能量最终又到哪里去了。
在甲看来，在上述的同一时间段内，地球对物体乙施加的引力对乙也做了1000焦的功。因为有吸引才会有挤压，所以这1000焦的能量正是物体乙用来对地面做1000焦功的能量的来源。反过来，物体乙对地面做的1000焦的功也正好被地球用来克服物体乙对地球施加的引力做功了。这样，地球对物体乙的引力做的1000焦的功事实上也就正好被地球用来克服物体乙对地球的引力做功了。前者消耗了二者间的相互作用能1000焦，后者正好补充了二者间的相互作用能1000焦，故二者间的相互作用能保持不变。因此在甲看来，只要地球与物体间的相对位置保持不变（不论二者接触与否），它们间的相互作用能就保持不变。也正是因为如此，即使考虑定滑轮与木框所受的重力，也不会对前述的分析结果有影响。
在当前中学物理教学中，习题课占相当大的比重。曾长时间主持物理竞赛工作的北京大学物理学院舒幼生教授在一次答记者问时说：“对于物理教学，一定量的习题是必要的。但到了一定程度还是只做量的积累，会让人失去进一步求知的愿望与兴趣。”舒教授的意思是说中学物理教学不能仅仅做量的积累，要有一定程度的质的突破，要有意识地为学生打开一扇扇新的窗口。本文尝试在密切联系实际的基础上，拓展加深学生对功和能的认识，有意识地渗透相对性原理，引领学生感受物理学之奥妙，希望能在习题教学改革中起点滴抛砖引玉之用。
后记：
原本给定的习题只是要求拉力的大小，因为上课时还有部分剩余时间，我就叫学生求求拉力做的功。结果有的学生说是2500焦，有的学生说是5000焦。在学生争论时，我才认真地考虑这一问题。没想到，从教二十多年的我，对这类问题还从未认真地思考过。
在回办公室的路上，我突然意识到问题的关键在于位移是相对的。虽然功与能的关系却与所选的参照物无关，但功与能却与位移一样，都是相对的。在进一步分析增大的机械能的来龙去脉的过程中，我慢慢地意识到了问题的关键是内力做功与能量转化的关系。通过具体地分析人在爬绳和原地跳起过程中的内外力做功与能量转化的关系，我终于明白了此题中内力做功与机械能变化的关系。
为了进一步理清功、能与参照物的关系，我又分析另外几种常见情形下功及能的转化情况。
如一小孩站在水平地面用力推一块大石头，没有推动。若选地面为参照物，小孩显然没有做功；若选沿与推力方向相反的方向作做匀速直线运动的火车为参照物，那小孩显然做了功。做了功就一定消耗了能量，这一能量到哪里去了呢？
人比较复杂，为了简化问题，排除一些次要因素的干扰，同时也为了突出问题的实质，我将人换作一根固定在墙上的张紧的绳子或弹簧。以弹簧为例，弹簧对石头做了功，为何其能量却并没有减小呢？在弹簧对石头做功的过程中，能量是如何流动的？仔细分析发现，弹簧对石头做多少功，石头就对地做多少功，地就对墙做多少功，而墙又反过来对弹簧做了多少功，最后一点也就是为何弹簧的能量并没有减少的缘故。若将弹簧、石头、地面与墙等之间的力以及它们内部各部分间的力均看作内力，那这些物体的机械能之所以均能保持不变，其原因就在于这些互为相互作用力的每一对内力做功之和均为零。
再如，在一在水平地面上匀速行驶的火车上有一张水平台，台上放一物体。一人用一根弹簧沿车行方向水平拉物体，没有拉动。在站在地面上的人看来，弹簧对物体做了功，与这一功相关的能量的走向又是怎样的呢？通过分析不难得到与前例相似的结论。
在探究上述问题的过程中，虽然曾多次迷惑过，但一旦理清各种关系，特别是领悟到内力做功与能量转化的关系以及相关的概念、规律的和谐统一，对物理之美也就有了一点新的感悟。
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