协方差反映了随机变量X,Y之间的某种关系一.协方差对于二维随机变量(X,Y),如果存在则称它为X与Y的协方差
，记为 即:1.协方差的定义22.协方差的常用计算公式：Ch4-若(X,Y)为离散型，若
(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算3.协方差的基本性质:31)2)3)证:1),2)显
然。4）前面已证二、相关系数对于二维随机变量(X,Y)称为X与Y的相关系数4对此定义作如下说明1.将随机变量和
标准化即令Ch4-求cov(X,Y),?XY10pqXP1
0pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij10
10p00q00pqXYP例1Ch4-例2设(X,Y)具有概率密度求Cov(X,Y)
.解：Ch4-例3设(X,Y)~N(?1,?12;?2,?22;?),例2则?XY=?
若(X,Y)~N(?1,?12,?2,?22,?),则X,Y相互独立X,Y不相关Ch4-
例4设?~U(0,2?),X=cos?,Y=cos(?+?),?是给定的常数
，求?XY解例3Ch4-Ch4-若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系2.
相关系数 满足 1) 的充要条件是存在常数a,b2)证：1)由使5此式说
明相关系数实际上是随机变量X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差.考虑新变量 与
之和的方差。2)必要性，设则6由方差性质4),存在常数C，使得下式成立即得如果可考虑也容易找到
常数使得7
取充分性,只要将代入由此表明，当 时，X，Y存在着线性关系，这时如果给定一个随机变量之值，另一
个随机变量值便可完全决定。得到8有线性关系是一个极端，另一极端是 场合。3.若X与Y
的相关系数 则称 X与Y不相关。Ch4-6.做n次试验，X、Y分别表示试验成功、失败的次数，则X与Y的相关系数为
（）1；-1；0；2.Ch4-X,Y不
相关X,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关
Ch4-例4设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y-1,求
?XZ解例4柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式设X与Y是两个随机变量若
存在，证明:考虑实变量t的二次函数则23(1)理解数学期望和方差的概念,掌握
它们的性质与计算;本章基本要求(4)了解矩,协方差和相关系数的概念和性质并会计算.(3)会计算随机变量函数的数学期望;
(2)掌握几个重要分布的数学期望和方差;24方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义
？引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙
8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.
3有五个不同数有四个不同数再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的程
度甲乙E[X-E(X)]2一、方差的定义又记称为X的标准差或均方差。设X是随机变量，若期望
存在，则称它为随机变量X的方差，记为关于方差的定义和计算作如下的说明：1)为什么用 的均值
来衡量随机变量X与均值的分散程度？7首先想到的应该是用
的均值 来表示，但由于会有正有负,相
互抵消，因此不能刻划随机变量X取值的分散程度.E(X)2)由定义知,方差实际上就是随机变量X的函数
的数学期望。对于离散型随机变量，设其分布律为则8如果用 加绝对值
的期望值来刻划随机变量X的分散程度，因计算不方便，故采用 的期望
来刻划随机变量X的分散程度。对连续型随机变量，设X的概率密度函数为则证：在 已知的情况下,用上式计算方差,只
需求出 即可。93)常用的计算方差之公式二、方差的性质①c为常数②c为常数③设X和Y相互独立，
存在则 的充要条件是：X依概率1取常数c，即④证：这里对②③性质进行证明,④的证明超
过范围②10③同理可得合并两式：X与Y独立，也相互独立故与由数学期望性质④可得此性质可推广
到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。11例1设随机变量X具有概率密度求D(X)解:于是三、常见分布的期望方
差1.两点分布设X服从参数为的两点分布，其分布律为12引进随机变量第i次事件A不发生第i次事件A发生而因
此13所以且相互独立设2.二项分布3、泊松分布X服
从参数为 的泊松分布，其分布律为：144、均匀分布设其它即位于区间(a,b)的中点。15因此，泊松分
布的期望与方差都等于参数,泊松分布只含一个参数,因此,只要知道它的期望式方差，就可确定它的分布。5
.指数分布设X服从参数为(>0为常数)的指数分布16令176.正态分布设令18
这就是说，正态随机变量的概率密度中的两个参数和分别是该随机变量的期望与方差，因而正态随机变量的分布完全可由它
的期望和方差确定。关于正态分布的一个重要结论:设X,Y相互独立,且都服从正态分布则X,Y的任一线性组合:仍服从正态分布例
2:(1)设随机变量X与Y独立,且服从均值为1、标准差为的正态分布,而Y服从标准正态方布,试求随机变量Z=2
X-Y+3的概率密度函数.(2)已知X,Y相互独立同服从分布求21解:(1)由题意知,
且X与Y相互独立,故X与Y的线性组合Z=2X-Y+3仍服从正态分布,且而故于是Z的概
率密度函数为:故X-Y也服从正态分布.(2)因为X与Y相互独立,22又因此故例3已知X,Y相互独立,
且都服从N(0,0.5),求E(|X–Y|).解故例4设活塞的直径（以cm
计），气缸的直径
,X与Y相互独立.任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率．解由题意需求由于
故有标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)?0,则称为X的标准化随机变量.显然，Ch4-§4.4协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y之间的某种关系§4.4 |
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