小学奥数试题集与答案
称球问题
［专题介绍］
称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
［经典例题］
例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品
球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放
到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平
只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘
上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次
品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，
又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则
较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次
品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、
C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；
如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如
B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，
为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得
出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能
找出次品吗？
小朋友们，你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗？
他写得一手好字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅：“今
年正好晦气全无财帛进门。”主人一看：“今年正好晦气，全无财帛进
门。”差一点气昏过去，大骂祝枝山是个“大混蛋”。祝枝山不慌不忙，
笑嘻嘻地说：“你听我念：‘今年正好，晦气全无，财帛进门。’这是
多么好的好彩。”主人一听，马上转怒为喜。
古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发
挥类似的作用。
第十四讲填符号组算式
例【1】在下面4个4中间，添上适当的运算符号＋、－、×、
÷和（），组成3个不同的算式，使得数都是2。
4444＝2
4444＝2
4444＝2
分析由题意，可以在4之间添加运算符号和括号，而题中
没有一个运算符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。
解如果在第1个4后面添＋号，后3个4不能得到2；如果第
1个4后面是一号，4－2＝2，很容易想到：（4＋4）÷4＝2。所以4
－（4＋4）÷4＝2。
如果第1个4后面是×号，4×4＝16，由于16÷8＝2。容易想
到：4×4÷（4＋4）＝2。
如果第1个4后面是÷号，4÷4＝1，由于1＋1＝2，容易得到：
4÷4＋4÷4＝2。
例【2】在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但
结果是正确的。请你给小明的算式添上括号：
典型例题
4＋28÷4－2×3－1＝4
分析根据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除，
再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义
的，所添的括号要能够改变运算顺序。所以，括号应添在含有加减运
算的两边。
解从左往右看，在4＋28两侧试添括号，计算得32，再除以
4得8。小明的算式就变为8－2×3－1＝4。如果把括号加在8－2的
两侧，计算结果大于4，只能把括号加在3－1的两侧。很容易得到：
8－2×（3－1）＝4。正确的算式应为：
（4＋28）÷4－2×（3－1）＝4
例【3】在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。
123456789＝6
分析由题意，有8个地方要添运算符号，用逐一试验的方
法很难找到答案。分析写成的结果，由于60＝2×30＝3×20＝4×15
＝5×12＝6×10，因此可以把算式中的数分成两个部分，使两个部分
的乘积等于60。在分的过程中，应先考虑较大的数，再考虑较小的
数。
解把7□8□9分成一组，在它们之间添加号和减号，可得7
＋8－9＝6。剩下的1□2□3□4□5□6为一组，添上运算符号，结果
要得10。再看较大的数4□5□6，可得4＋5－6＝3。于是得到1＋2
×3＋4＋5－6＝10。所以正确算式为（11＋2×3＋4×5－6）×（7
＋8－9）＝60。
想一想：如果把6□7□8□9分成一组呢？
例【4】在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。
88888888＝1000
分析在8个8之间的适当的地方添上加号，运算符号是确
定的，关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近
1000的数是888，再考虑余下的5个8怎样安排就行了。
解88888＋888＝1000，余下的5个8可以
拿出2个8组成88，得到888＋88＋888＝1000。
因为1000－（88＋888）＝24，剩下的888只要再相加就
行了，答案是：8＋8＋8＋88＋888＝1000。
例【5】在下面式子的适当地方添上＋、－、×，使等式成立。
12345678＝1
分析这题等号左边的数字较多，而等号右边的得数是最小
的自然数1。可以考虑在等号左边最后一个数字8前面添“一”号，
这时等1234567－8＝1；再考虑式应为12
34567＝9；可考虑在7前面添＋号，等式应为123
456＋7＝9；用前面的方法，只要让123456＝2，
考虑12345－6＝2；这时让12345＝8就行了，考
虑1235＋5＝8。则只需1234＝3即可，1＋2×3－4＝3。
解1＋2×3－4＋5－6＋7－8＝1
根据题目给定的条件和要求添运
算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验
法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，
找到答案，如例1、例2；如果题中结果较大，可以把数字先分组，
然后每组再试验，如例3。
凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出
一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，
即增加或减少，使等式成立，如例4、例5。
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送
小结
最短路线
信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳
旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习
的“最短路线问题”。
典型例题
例[1]假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如
下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到
汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？
分析如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公
路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最
近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点
是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的
人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：
两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这
条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
AB
甲
乙
AB
甲
乙
图1图2
解用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，
所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P
点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2]一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示
各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？
分析选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画
路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问
题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必
须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所
有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回
到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重
复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有
不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。
为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路
12421
3
12421
3
12421
3
线。
图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：
（a）3×4=12（千米）
（b）3×2＋2×2=10（千米）
（c）2×4=8（千米）
（d）3×2＋4×2=14（千米）
当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找
出最合理的路线了。
解邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最
短，所以最合理。全程为：
（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4
=20＋18＋8
=46（千米）
例[3]图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有
街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的
方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？
分析为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。
我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各
处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上
“1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好
是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，则有3条路线，又
正好是两个对角上标的数1+2的和。
标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种
不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个
小明家
学校
北
小明家
ABF
EF
DEF
对角上的数的和，正好等于下右角上的数。
解从小明家到学校有13条不同的路线。如图7所示。
图7
第四讲拼拼摆摆
知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算
式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生
想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的
算式成为正确的算式，你感兴趣吗？
[例1]移动一根小棒，使下面的等式成立。
小明家
学校
北
1
12
1
3
1
4
25913
4
ABC
DEFGH
MNK
小结寻找最短路线，不应该走“回头路”。要按照一定的逻
辑次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。对比较复杂
的图形，可以借助图表来寻找路线。
分析：左边结果21，右边是1，所以通过火柴棒的移动，使左边变
小，右边变大。我们试着把“＋”变为“－”，多出的这根火柴棒使
“1”变成“7”，等式成立。
也可以把“14”十位上的“1”移到等号的右边，使等式成立。
[例2]移动一根小棒，使下面的等式成立。
分析：只能移动1根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加
减号，使左边变成得数，右边变成算式。我们试着把“=”变为“－”，
多出的这根火柴棒使“－”变成“=”，等式成立。
[例3]你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗？
分析：等式右边结果是8，可使左边变成9-1或7+1，9-1算式难以
出现9，可选择7+1，这样经移动算式变为：
[例4]移动两根小棒，使下面的等式成立。
分析：四个1相加，结果是141，和太大了，因此要想办法使和变
小，加数变大，这样把141后面“1”拿到前面加数中任何一个“1”
的前面，等式就成立。
[例5]试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。
分析：四个11相加，结果是224，和太大了，因此要想办法使加数
变大，这样分别把两个11里面都拿一个“1”到前面加数中，变成两
个“111”，这样等式就成立了。
第四讲最大数和最小数问题
六月一日，“小天使”儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。
快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。
谁的年龄最小呢？
当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有10岁的，
也有9岁、8岁、7岁、6岁的，最小的是5岁。但是5岁的小朋友
有4位。按照这4位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因此
老板要他们各自报出自己的生日。结果如下：
小雨2月8日
豆豆5月2日
苗苗8月16日
慧慧12月9日
把这4位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是28位小朋友
当中最小的。
慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了28份，让大家和
她一起品尝。
也许有的同学会问：“如果这4个小朋友中有两个生日是同一天，那
怎么办呢？”
是不是谁生日的数字大就是谁大呢？哪些是通过比数字的大小
得到最大最小数？通过下面的一些例题与方法，我们将会得到这方面
的知识。
典型例题
例[1]用2，4，6，8这4个数字组成一个最大的四位数。
分析用这4个数字组成4位数有很多个，但最大的只有一个。
要使组成的四位数最大，应当遵循一条原则：用较大的数占较高的数
位。
解用2，4，6，8组成的最大的四位数是8642。
例[2]从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数
字（先后顺序不改变）组成的五位数最小。这个五位数最小的五位数
是多少？
分析在10个数字中划去5个数字，还剩5个数字组成五位数。
要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位），第2小
的占千位……
但是，10个数字中最小的2不能放在万位上（想一想，为什么？）。
这样，万位上的数只能在剩下的第2小的数中选，应选6。万位确定
后，千位在剩下的数中选最小的2。
而题目中要求剩下的5个数字的先后顺序不改变，所以，百位、
十位、个位上的数字只能是最后三个数字9，8，0。
解划去4个7和万位上的8。剩下的数组成的最小五位数是
62980。
例[3]钱袋中有1分、2分、5分3种硬币。甲从袋中取出3
枚，乙从袋中取出2枚，取出的5枚硬币仅有2种面值，并且甲取出
的3枚硬币面值的和比乙取出的2枚硬币面值的和少3分，那么取出
的钱数的总和最多是多少分？
分析因为乙只取2枚硬币，而2枚硬币的钱数最多是5×2=10
（分）。而甲取出的3枚硬币的和比乙取出的2枚硬币的和少3分。
因此，最多只有10－3=7（分）。两者合起来就是取出的钱数的总和
的最大值。
解10＋7=17（分）
例[4]一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不
知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
分析开第1把锁，从最坏的情况考虑，试了3把钥匙还未成功，
则第4把不用再试了，他一定能打开这把锁。同样的道理，开第2把
锁最多试2次，开第3把锁最多试1次，最后剩下的一把钥匙一定能
打开剩下的第4把锁，不用再试。
解最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为3＋2
＋1=6（次）。
例[5]把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最
大。
□□□□－□□×□□这个最大得数是多少？
分析要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□
□×□□）应当尽可能小。由例[1]的原则，可知被减数为8765。下
面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个“□”中，使
乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，
它们的十位数都要尽可能小。因为
12×34=408而14×23=322，13×24=312（最小）
解8765－13×24=8453
小朋友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的
比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，
证明她出生晚，所以她最小，同样的理由，如果这4位小朋友在同一
天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。
小结用不同的数字组成多位数，要使组成
的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当
用较小的数占较高的数位。
其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。
解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥
匙配对”的问题。
有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相
等时，乘积最大。
第五讲算式迷
小朋友们？你猜过算式迷吗？算式迷是由一些数字与算式构成
的。日本人形象地称之为“虫食算”，即算式中一些数字被虫子咬去
了。要想猜出算式迷，也得先分析这些数字和算式构成的“谜面”，
再运用一些推理方法找到“谜底”。
典型例题
例【1】将数字0、1、3、4、5、6填入下面的内，使等式
成立，每个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。
×＝2＝÷
分析先看×＝2，乘积是个两位数，个位数是2，所给的
数字0，1，3，4，6中只有3×4的个位数是2，前面几个可以填出来，
3×4＝12，余下的0，5，6要组成一个两位数除以一个一位数，商是12的除法算式，只能
是60÷5。
解
÷×＝2＝341605
例【2】将数字1～9分别填在下面9个方格中，使算式成立。
+=
=
=
-
×
（1）
（2）
（3）
分析算式（1）、（2）是加减算式。可填的数字较多。而算式（3）
是乘法算式，要考虑数字1～9中，哪两个数字的积等于另一个数字，
所以先从乘法算式填起。
1．乘法算式（3）中可以先填成2×3＝6，余下的数字再分别
填入（1）、（2）中。
1＋4＝5，剩下的7，8，9不能组成（2）式。
1＋7＝8，剩下的4，5，9能组成9－5＝4，或9－4＝5。
1＋8＝9，剩下的1，7，8能组成8－7＝1，或8－1＝7。
2．乘法算式（3）也可以填成2×4＝8，那么：
1＋5＝6，剩下的3，7，9不能组成（2）式。
1＋6＝7，剩下的3，5，9不能组成（2）式。
3＋6＝9，剩下的1，5，7不能组成（2）式。
所以，此题答案是：
178
945954（或）
236
＝1
459
871817（或）
236
＝2
例【3】把数字1～9填在方格里，使等式成立，每个数字只
能用一次。
÷＝÷＝÷
分析一位数组成除法算式商相等的情况：4÷2＝6÷3，6÷2
＝9÷3，8÷2＝4÷1，所以可先填写等式中的前4个数。如果先填4
÷2＝6÷3，剩下的1，5，7，8，9要组成一个三位数除以一个两位
数，商是23即×2＝，所得的积的个位一定是个双数，只
能填8。试验可知：79×2＝158。如果先填8÷2＝4÷1，剩下的3，
5，6，7，9不能组成一个三位数除以一个两位数、商是4的除以算
式，所以等式中的前4个数不能填8÷2＝4÷1。我们可以填4÷2＝6
÷3。
解
÷＝÷＝÷426315879
（第一种情况）
÷＝÷＝÷936217458
（第二种情况）
例【4】用数字0～9组成下面的加法算式，每个数字只许用
一次，现已写出3个数字，请把这个算式补充完整。
4
28＋
分析观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的
首位数字为1。因为算式中8已出现，故第一个加数的百位数字为9
或7。
如果第1个加数的百位数字为9，则和的百位数为1或2，而这时1，
2都已用过，所以第1个加数的百位数不是9。
如果第1个加数的百位数字为7，则和的百位数字必须为0，且十位
必向百位进一，此时1，0，4，2，8都已用过，还剩下9，6，5，3，
这里只有一个双数，如果放在第2个加数或者和的个位，那么和或者
第2个加数的个位也必须是双数，这样显然不可能，所以6只能放在
十位上，这样和的十位就是5，余下的分别填9和3。
解
4
28＋
76
4
1053
例【5】在下面算式的内填入一个合适的数字，使算式成
立。
00
509
193
－
分析由于（12）－9＝3，所以被减数的个位数字为2；再看十
位，由于9－（0）＝9，所以减数的十位数字为0；再看百位，由于
9－0＝（9），所以差的百位数字为9；最后看千位，由于（7）－5－
1＝1，所以被减数的千位数字为7。
解
00
509
193
－
72
0
9
小结在做算式迷这类题时，首先要观察题目
中的算式，看看它含有哪几种运算，要填的数是几位数，要填的数字
是否规定好了，还是可以任意填。其次是要熟练运用加减之间、乘除
之间的逆运算关系进行推理。先确定能够确定的数字，而且每一步要
把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后，所有的空格填完
之后要检验一下，看看答案是否正确。
第五讲有趣的算式
算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式
子中，使一些数字数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法
则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整，研究和解
决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维
能力。
[识基本常]
1．数为首位字不0。
2．两个数进为字相加，最大位1个数进为，三字相加最大位2。
3．两个数进为字相乘，最大位8。
4．数相同字母文字代表相同的字，不同的字母文字代表不同的
数字。
在下面算式的□里填上合适的数字，使算式成立：
可以这样想：
为了便于叙述，我们将各方格用字母代替。
第一步，由A4B×6的个位数为0可知，B＝5。
第二步，由A45×6＝1DE0可知，A只能为2或3。但A为
3时，345×6＝2070，不可能等于1DE0，不合题意，故A＝2。
第三步，由245×C＝□□5可知，乘数十位上的C是小于
5的奇数，即C只可能是1或3。
当C取1时，245×16<8□□□，不合题意，所以C不能取
1，只能取3，故C＝3。
这样，就可以填上所有的空格。
根据下式写出除法算式（）÷（）＝（）
可以这样想：
们给竖编号码我可以先式上，如下：
从（3连续两）移下位可得出商的十位一定是0从个，商的位9
数积数数和除相乘，仍是三位可得出除的最高位一定是1从。（1）
减（2）差等于9数，除的十位一定是1，11□×9积数的是三位
只有0和1两种可能，而如果是0数会数，余不是一位9，所以
数个选除位1它数。其各位上字迎刃而解。
拍脑袋提醒：
“解谜”的准则：“先推后试”。初学者往往急于求
成，拿到题就试解，结果欲速而不达。所以“先推”
是要认真分析题目，在□、类竖式谜中往往提供几
个已知数字，这些数字就是推理的基础，另外算式中
某行的□或的个数也是重要的推理依据。
讲第五线业在作
1．在圆圈内填上适当的数使算式成立。
＋63
182
8
答案：
＋63
182
845
94
10
2．在方框内填上适当的数使算式成立。
＋
11
9
81
答案：
＋
11
9
8110
8
9
9
3．在方框内填上适当的数使算式成立。
－
4
8
6
65】
答案：
－
4
8
6
65
9
2
4
8
4．在方框内填上数字1～9，使等式成立，不能重复。
÷×＝
＋－＝
答案：
÷×＝
＋－＝
93412
5876
5．将数字0～9填到圆圈里，组成等式，每个数字只能用一
次。
＋＝
－
×
＝
＝
1
2
3
答案：
＋＝
－
×
＝
＝
178
963
4521
1
2
3
第一讲年龄问题
知识要点：小朋友,你知道吗?今年你6岁,明年你
几岁?妈妈今年30岁,比你大24岁,明年妈妈比你大
几岁呢?这些年龄问题在解答时要记住:每过一年,每
人年龄都要长大一岁.今年妈妈比你大几岁,再过些年,
妈妈还是比你大几岁.
[例1]夏华今年7岁,他比爸爸小28岁,去年他比爸爸小多少岁?
分析：根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年,夏
华与爸爸同时减去一岁,夏华仍然比爸爸小28岁.
[例2]弟弟今年4岁,哥哥今年12岁,10年后,哥哥比弟弟大几岁?
分析：根据题意，今年哥哥12岁,弟弟4岁,那么我们知道哥哥比
弟弟大12－4=8(岁).10年后,哥哥的岁数是12＋10=22岁.10年后,
弟弟的岁数是4＋10=14岁.因此10年后,哥哥比弟弟大22－14=8岁.
[例3]小青说:“3年后,妈妈比我大25岁.”妈妈问:“5年前,你
比妈妈小多少岁?”
分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大8岁,10年后,哥哥还是比
弟弟大8岁.由此我们可以这样想:既然3年后,妈妈比我大25岁,那
么,5年前,妈妈仍然比我大25岁,也就是我比妈妈小25岁.
[例4]小林今年6岁,小红今年10岁,当小林的年龄和小红今年
的年龄一样大时,小红几岁?
分析：我们知道，小林今年6岁,要想使小林的年龄和小红今年的
年龄一样大,那么小林就要再过4年才能和小红一样大.小林过4
年,小红也要过4年,即长大4岁,那么小红就是10＋4=14岁.
[例5]小芳今年5岁,3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,
李老师今年多少岁?
分析：我们知道，3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,那么
3年前,小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁,又因为小芳今年5
岁,李老师今年就是20＋5=25岁.
第一讲一笔画问题
小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？
如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是
不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题
例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画
到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔
画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由
一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可
以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画
成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个
数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？
（1）（2）（3）
分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个
点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由ABCA
DC。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两
个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
解图（1）、（2）可以一笔画。
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关
系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只
有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
分析图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A
开始或由B开始到B结束或到A结束。
图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。
图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。
解图（1）的画法见下图。
例【4】下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？
分析图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成
几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画
出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采
用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶
点。经观察，图（1）可以切分成图（A）、（B）两个图形。这两部分
都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。
解将图（1）分成图（A）、（B），则图（A）可由A-B-O-D-A-C-D
A
O
BC
D
（1）
一笔画成，图（B）由B-C一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。
小结能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的
个数。
一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。
二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起
点和终点。
三、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，
可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的
方法进行解答。
和差倍问题讲义
1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁
两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？
解答：由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人”得到131+134=265，这265人包括1
个甲班和1个丁班，以及2个乙班和2个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚
好是3个乙班和3个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是88人，那么，甲、丁两个班的和就是88+1=89人。所以，四个
班的和是88+89=177人。
2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
解答：把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，
就是这四个数中的最小数，即64-52=12。
3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后
所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。
O
A
BC
D
（1）
A
O
BC
D
（A）
BC
（B）
解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，即这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，那么个
位只能是0或5。如果是0，显然不行。因为20×9=180，30×9=270，......所以个位只能是5。试验得到：15，25，35，45是满足要求
的数。
4.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每
人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?
解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有2个女生，那么就是一共有3
0个练习本，这30本“只给男生，平均每人可得10本”，说明男生有3个。那么，分给全部按同学，每人得30/（2+3）=6本，因此每
人应该付6本练习本的钱，即每人要付3元钱。
5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分
给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？
解答：由题意可知，花生总数必定是12、15、20的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生121520粒，那么第
一群猴子有1520只，第二群猴子有1220只，第三群猴子有1215只，即共有（1520+1220+1215）只猴子，121520/（1520+12
20+1215）=5，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得5粒。
注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为60粒，这样，计算就方便很多。
6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？
解答：被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只可能是0、1、2、3、4，那么，原来的整数只能是：154+4×0，154+4×1，
154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一个。经试验，结果是162，154+4×2=162。
7.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老
师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
解答：家长比老师多，所以老师少于22/2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸
多，所以妈妈要多于12/2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少
有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。
8.一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知
道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？
解答：20个题如果全部做对的话，总分是202=40分。绻?淮?道题的话就要在40分中扣除2分，而做错一道的话就要扣除1+2=3
分（因为在40分中我们假设它是做对的，给了2分，实际是不但不能给，反而要扣1分）。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因
为没有做的题是偶数，最小的偶数是0，如果是0道题没答的话，那么17分就都是做错被扣的，但17/3=5…2，所以不可能。同理2道
题没做也不可能。结果只能是4道题没做，17-24=9分=33。所以答错3题。
9.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李
的钱比小赵的钱多多少分钱？
解答：由“每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱”我们可以知道，九个7分钱是最便宜的，是最多的买法。那么，50÷9=5…
5，小赵应该有5×7+4=39分钱；500÷9=55…5，小李应该有55×7+4=389分钱。那么，小李的钱要比小赵多389-39=350分。
10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，每箱不超过60个，不少于50个，桔子总数
的个位数字是7。若每人分19个，则桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这
时大班每人分多少桔子？小班有多少人。
解答：首先，总人数不超过273+6=87人；其次，桔子的个数在25×50=1250和25×60=1500之间；现在大班每人比中班每人多分
一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出6个，让大班中的6个人先少拿一个，拿和中班一样多，这
样就变成平均都和中班的拿一样多，（1250-6）/87>14，所以，每人至少分15个，但至多分18个；再则，桔子总数的个位数字是7，所
以只能是每人17个或15个；但15个显然不可能，因为任何数乘以15后个位只能是5就是0。所以每人应该是17个桔子，即大班每人
17+1=18个。（1250-6）/17=73......3，总人数应多于73人，7417=1258，个位不是1，要使个位为1需加个位为3的17的倍数，17
9=153，所以，桔子总数为（1258+153）+6=1417个，总人数74+9=83人。
小班有（83-27-6）/2=25人。
11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数
和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？
解答：把小张和小李看到的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对面两个数的和都等于13，那么四个侧面的数
字和应为132=26，由此可知顶面数字为（18+24-26）/2=8，那么贴着桌子的这一面的数就是13-8=5。
12。图2-1是一张道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东
走。如果先后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少个孩子到过路口C？
解答：
13.比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边
形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色
皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有
白色正六边形皮子多少块？
解答：12块黑色正五边形皮子共有12×5=60条，这60条边每一条都是与白皮子缝合在一起的。而对于白皮子来说，每块6条边，
其中有3条边是与黑色皮子的边缝在一起，还有3条边则是与其它白色皮子的边缝在一起。因此，白皮子的边的总数就是黑皮子的边的
总数的2倍，即共有60×2=120条边。那么，共有120/6=20块白皮子。
14.5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
解答：这里给出一种思路：我们可以先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶去换汽水，能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需
要购买的数量。161个空瓶可以换回161/5=32…1，即32瓶，那么实际上只需要买161-32=129瓶汽水。检验：先买129瓶，喝完后用其
中的125个空瓶（还留有4个空瓶）可以换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶又可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶还可以换1瓶汽水，
最后用这个空瓶和开始留下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水。
15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的
苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的
2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
解答：
还原与年龄讲义
1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？
解答：
（6×6+6）÷6-6=1，这个数是1.
2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的
和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？
解答：
和的后两位数字是72，说明另一个加数是99。
十位数字增加5，个位数字增加1，那么原来的加数是99-51=48。
3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从
哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？
解答：
先看最后兄弟俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑2块，这是一个和差问题，哥哥挑的块数=（26+2）÷2=14块，弟弟=26-14=12块；
然后再还原：哥哥还给弟弟5块：哥哥=14-5=9块，弟弟=12+5=17块；弟弟把抢走的一半还给哥哥：哥哥=9+9=18块，弟弟=17-9=8
块；哥哥把抢走的一半还给弟弟：弟弟原来是8+8=16块。
4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着
乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原
来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？
解答：
三人最后一样多，那么每人都是81÷3=27元；
还原：
甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就是原来的3倍，那么甲和乙都是27/3=9元，丙是27+229=63元；
甲和丙把钱还给乙：甲=9/3=3元，丙=63/3=21元，乙=9+23+221=57元；
乙和丙把钱还给甲：乙=57/3=19元，丙=21/3=7元，甲=3+219+27==55元。
所以，三人原来的钱分别是55、19和7元。
5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖
豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙
最开始有多少粒糖豆？
解答：
假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，
还原：
丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙=4/2=2份，甲=4+2=6份；
乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：乙=4/2=2份，丙=2+2=4份；
甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲=6/2=3份，乙=2+3=5份；
即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。
所以，如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有（51/3）5=85粒
6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等
分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？
解答：
因为要求至少多少个，所以我们可以先假设最后的每一份只有1个苹果。
那么，第三次没有操作前的两份就有13+2=5个，2汾是5个显然不对。
我们再假设最后的每一份有2个苹果。
还原：
第三次取出的两份有23+2=8个，每份8/2=4个；
第二次取出的两份有43+2=14个，每份14/2=7个；
原有73+2=23个。
7.今年，父亲的年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍。问：现在父子的年龄各是多少岁？
解答：
今年父亲的年龄是儿子年龄的5倍，即父亲的年龄比儿子的年龄4倍；
15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，即多一倍，说明儿子现在年龄的四倍等于儿子15年后时的年龄，
那么，儿子今年的年龄=15/（4-1）=5岁，父亲今年就是5×5=25岁。
8.有老师和甲、乙、丙3个学生，现在老师的年龄恰为3个学生的年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生年龄之和；又3
年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再3年后，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和。问：现在各人的年龄分别是多少岁？
解答：
老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，丙的年龄是9岁；
老师+12=甲+12+丙+12，乙的年龄是12岁；
老师+15=乙+15+丙+15，丙的年龄是15岁；
所以，老师是9+12+15=36岁。
9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄之和是58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年
龄分别是多少岁？
解答：
四个人四年共应增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，说明弟弟在4年前还没有出生。那么，弟弟今年应该是3岁；姐姐就
是3+2=5岁，父母的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，得到父亲是（65+3）/2=34岁，母亲是65-34=31岁。
10.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”求老师与学生现在的年
龄。
解答：
根据年龄差不变，39-3=36正好是3倍的年龄差，所以，年龄差=（39-3）/3=12岁。
那么，学生现在年龄是3+12=15岁，老师现在年龄是15+12=27岁。
11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥
现在多少岁？
解答：
哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，假设哥哥与弟弟的年龄差为1份，
哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥现在的年龄与弟弟当年的年龄相差他们年龄差的2倍，
那么，哥哥现在的年龄是年龄差的3倍，即3份，弟弟现在的年龄是年龄差的两倍，即2份；
而哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，所以，每一份为30/（3+2）=6岁，
则哥哥现在36=18岁。
12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10
倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”问陈老师有多少子女。
解答：
现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍，即多5倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍，即多9倍；六年后，我们的
年龄和是子女年龄和的3倍，
即多2倍。如果是2个子女，592=90，显然不符合常理。
如果是三个，将子女现在的年龄和看作一份，那么，每一份=（183-12）/3=14，即子女现在年龄和14岁，父母现在年龄和614=8
4岁，符合要求。
所以，陈老师有3个子女。
13.今年是1996年。父母的年龄之和是78岁，兄弟的年龄之和是17岁。四年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是哥哥的
年龄的3倍。那么当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是公元哪一年？
解答：
四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=4弟，母=3兄，那么父+母=3（弟+兄）+弟，所以弟弟是1
1岁，哥哥是25-11=14岁，父亲是114=44岁，母亲是143=42岁。显然，再过1年后父亲45岁，哥哥是15岁，父亲是哥哥年龄的3
倍。
所以，当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是4=1=5年后，即公元2001年。
14.甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是
17岁。那么乙现在是多少岁？
解答：
假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是x岁，乙就是2x岁，丙38岁；当甲17岁的时候，乙是17+x岁，那么丙是乙的2倍，
就是2（17+x），由甲、丙的年龄差得到：38-x=2（17+x）-17，所以，x=7。
因为当甲7岁、乙14岁、丙38岁时，三人的年龄和是7+14+38=59岁，（113-59）/3=18，即从那时到现在经过了18年，所以乙现
在的年龄是14+18=32岁。
15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄
的4倍。求：祖父今年是多少岁？
解答：
根据年龄差不变，今年祖父比小明多5倍，几年后，祖父比小明多4倍，又过几年，祖父比小明多3倍。3、4、5最小公倍数是60，
所以年龄差是60。再用差倍问题：今年小明是60/(6-1)=12，祖父是126=72。
计数问题排列组合讲义
1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？
分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=60
2、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？
分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列）合计120＋96
=216
另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。
3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？
分析：由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7
254。
4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24
个这样的四位数是多少？
分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6
个；
首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6
个；以上正好24个，最大的易知是2631。
5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。
分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个
1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；
1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；
1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；
1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；
总和为240000＋18000＋1800＋180=259980
6、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，
问其中被错误打印的共有多少个数？
分析：共有10000个数，其中不含数字3的有：五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共
8×9=72个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561所求为10000－6561=3439个
7、在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？
分析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样56个，计112个；
2□4□结构：8×7=56，4□2□同样56个，计112个；
3□5□结构：8×7=56，5□3□同样56个，计112个；
4□6□结构：8×7=56，6□4□同样56个，计112个；
5□7□结构：8×7=56，7□5□同样56个，计112个；
6□8□结构：8×7=56，8□6□同样56个，计112个；
7□9□结构：8×7=56，9□7□同样56个，计112个；
2□0□结构：8×7=56，
以上共112×7×56=840个
8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
分析：因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、
外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47
9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样
需要增加多少种不同的车票？
分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当于从7个元素中取2个的排列），现在有P（10、2）=
90，所以增加90－42=48张不同车票。
方法二：1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有
3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张
10、7个相同的球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？
分析：因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从6个加号中取3个的组合，C（6、3）=20种
11、从19、20、21、22、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？
分析：76个数中，奇数38个，偶数38个偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703种，以上共
有703＋703=1406种
12、用两个3，一个1，一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？
分析：因为有两个3，所以共有P（4、4）÷2=12个
13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？
分析：第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C（5、3）=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以
可能情况共有10×2=20种。
14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”
的有3张，把这9张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许在一起。⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有
多少种不同的放置方法？⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？
分析：
⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的6个位置中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下
的3个位置上“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。由乘法原理得共有2×3=6种不同的放法。
⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：
结构一：3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换位置，所以共有2×2=4种；
结构二：3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能着已有的“3”，加上2和3可以交换，所以共有2×2=4种；
结构三：3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能到已有的“4”，加上2和4可以交换位置，所以共有2×2=4种，
以上共有4＋4＋4=12种不同的放法。
15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每
两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？
分析：⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个
舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！=120960种。
⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有P（7、4），加上6个演
唱的全排6！，共有P（7、4）×6！=604800种。
计算问题多位数与小数讲义
1.计算：1991+199.1+19.91+1.991.
解析：1991+199.1+19.91+1.991
=1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009)
=2000+200+20+2-9.999
=2222-10+0.001
=2212.001
2.计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7.
解析：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7
=7142.85÷37÷27×17×7
=7142.85×7÷999×17
=49999.95÷999×17
=50.05×17
=850.85
3.光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）
解析：150000000÷300000÷60=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）
光从太阳到地球要用约8.3分钟。
4.已知105.5+[(40+□÷2.3)×0.5-1.53]÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？
解析：105.5+[(40+□÷2.3)×0.5-1.53]÷(53.6÷26.8×0.125)
=105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125)
=105.5+(18.47+□÷4.6)÷0.25
=105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25
=105.5+73.88+□÷1.15
因为105.5+73.88+□÷1.15＝187.5
所以□=(187.5-105.5-73.88)×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338
答：□=9.338
5.22.5-(□×32-24×□)÷3.2=10在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？
解析：22.5-(□×32-24×□)÷3.2
=22.5-□×(32-24)÷3.2
=22.5-□×8÷3.2
=22.5-□×2.5
因为22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10)÷2.5=5
答：所填的数应是5。
6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99.
解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99
=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2
=2.5+24.75
=27.25
7.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112.
解析：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112
=0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5）
=0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5）
=0.112×12.5×（3×21.5+35.5）
=0.112×12.5×100
=1250×（0.1+0.01+0.002）
=125+12.5+2.5
=140
8.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.
解析：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7
=7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7
=7.63×91.8+91.8×2.37
=(7.63+2.37)×91.8
=10×91.8
=918
9.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656)÷(0.2×0.2).
解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656)÷(0.2×0.2)
=(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75)÷(0.2×0.2)
=16.4×(182-92-70)÷(0.2×0.2)
=16.4×20÷0.2÷0.2
=82×100
=8200
10.计算：(2+3.15+5.87)×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87).
解析：(2+3.15+5.87)×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87)
=(2+3.15+5.87)×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87)-(3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87)
=(3.15+5.87+7.32)×(2+3.15+5.87-3.15-5.87)-2×(3.15+5.87)
=(3.15+5.87+7.32)×2-2×(3.15+5.87)
=(3.15+5.87)×2+7.32×2-2×(3.15+5.87)
=7.32×2
=14.64
11.求和式3+33+333+…+33…3（10个3）计算结果的万位数字.
解析：个位10个3相加，和为30，向十位进3；十位9个3相加，和为27，加上个位的进位3得30，向百位进3；百位8个3
相加，和为24，加上十位的进位3得27，向千位进2；千位7个3相加，和为21，加上百位的进位2得23，向万位进2；万位6个3
相加，和为18，加上千位的进位2得20，万位得数是0。
答：计算结果的万位数字是0。
12.计算：19+199+1999+…+199…9（1999个9）.
解析：19+199+1999+…+199…9（1999个9）
=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+(200…0（1999个0）-1)
=22…20（1999个2）-1999×1
=22…2(1996个2)0221
13.算式99…9（1992个9）×99…9（1992个9）+199…9（1992个9）的计算结果的末位有多少个零？
解析：99…9（1992个9）×99…9（1992个9）+199…9（1992个9）
=99…9（1992个9）×（100…0-1）（1992个0）+199…9（1992个9）
=99…9（1992个9）0（1992个0）-99…9（1992个9）+199…9（1992个9）
=99…9（1992个9）0（1992个0）+100…0（1992个0）
=100…0（3984个0）
14.计算：33…3（10个3）×66…6（10个6）.
解析：33…3（10个3）×66…6（10个6）
=33…3（10个3）×3×22…2（10个2）
=99…9（10个9）×22…2（10个2）
=(100…0（10个0）-1)×22…2（10个2）
=22…2（10个2）00…0（10个0）-22…2（10个2）
=22…2（9个2）177（9个7）8
15.求算式99…9（1994个9）×88…8（1994个8）÷66…6（1994个6）的计算结果的各位数字之和.
解析：99…9（1994个9）×88…8（1994个8）÷66…6（1994个6）
=9×11…1（1994个1）×8×11…1（1994个1）÷6÷11…1（1994个1）
=9×8÷6×11…1（1994个1）
=12×11…1（1994个1）
=（10+2）×11…1（1994个1）
=11…1（1995个1）+22…2（1994个1）
=13333…3（1993个1）2
各位数字之和=1+1993×3+2=5982
答：计算结果的各位数字之和5982。
加法原理与乘法原理讲义
1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？
分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1
000+1=79个
2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？
分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字19=9个；二位数：10～99共用数字290=180个；
三位数：100～999共用数字3900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本
书有722+99=821页。
3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？
分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为35=15，大数为：
（687+15）÷2=351个（351-189）÷3=54，54+99=153页。
4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。
分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=
15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。
另从15到27的任意一数是可以组合的。
5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206788个位置上出现的数字。
分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还
剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.
6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？
分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5
分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法；1、2、5
分的组合：因为5=1+22，10=25，15=1+27，20=210，……，95=1+247，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+
44+47=461种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。
7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”。那么共有多少种不同的读法？
分析：按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。所以共有1+4+6+4+1=16种不同的读法。
8、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？
分析：十位是9的有9个，十位是8的有8个，……十位是1的有1个，共有：
1+2+3+……+9=45个。或是在给定的两位数中，总是在9876543210中，所以有C(10、2)=45个。
9、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条？
分析：同样用上题的方法，标上数字，有55条。
10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？
分析：按题意可知，1、4对称，2、3对称，这样1、2、A、B、C、D、E均有两种选择，
2×2×2×2×2×2×2=128种。
11、如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一
种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？
分析：C－A－B－D－E，根据乘法原理有：4×3×2×2×2=96种。
12、如图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方
法？
分析：根据乘法原理，第一个棋子有90种放法，第二个棋子有72种放法，共有：90×72=6480种。
此主题相关图片如下：
13、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行每列都只有1枚棋子，那么这样的放法有多少种？
分析：对于第1列必有1枚棋子，这有上下两行选择，对于第2列必有1枚棋子，这有除第1枚外的两行选择，……对于第5枚
棋子，只有唯一选择，所以共有2×2×2×2×1=16种。
此主题相关图片如下：
14、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，例
如890817表示1989年8月17日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中有6个数都不同的日期共有多少天？
分析：因为有91，所以1、9、10、11、12不能出现，实际上9102XX也是不行的，在剩下的6个月中，每个月都有5天，共56=3
0天，例如：三月份：910324，910325，910326，910327，910328。
15、如果一个四位数与三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？
分析：按题意给出这样一个算式：由于1已定，相应的8也就不能用，对于D来说，有2、3、4、5、6、7、9共7种选择，每一
种选择都有相应的A,对于E来说，在剩下的数中有6种选择，每一种选择都有相应的B,
对于F来说，在剩下的数中有4种选择，每一种选择都有相应的C,根据乘法原理，共有7×6×4=168种。
年龄问题
【试题】：
1、父亲45岁，儿子23岁。问几年前父亲年龄是儿子的2倍？
2、李老师的年龄比刘红的2倍多8岁，李老师10年前的年龄和王刚8年后的年龄相等。
问李老师和王刚各多少岁？
3、姐妹两人三年后年龄之和为27岁，妹妹现在的年龄恰好等于姐姐年龄的一半，求姐
妹二人年龄各为多少。
4、小象问大象妈妈：“妈妈，我长到您现在这么大时，你有多少岁了？”妈妈回答说：“我
有28岁了”。小象又问：“您像我这么大时，我有几岁呢？”妈妈回答：“你才1岁。”问大象
妈妈有多少岁了？
5、大熊猫的年龄是小熊猫的3倍，再过4年，大熊猫的年龄与小熊猫年龄的和为28
岁。问大、小熊猫各几岁？
6、15年前父亲年龄是儿子的7倍，10年后，父亲年龄是儿子的2倍。求父亲、儿子各
多少岁。
7、王涛的爷爷比奶奶大2岁，爸爸比妈妈大2岁，全家五口人共200岁。已知爷爷年
龄是王涛的5倍，爸爸年龄在四年前是王涛的4倍，问王涛全家人各是多少岁？
【答案】：
1、一年前。
2、刘红10岁，李老师28岁。
(10+8-8)÷(2－1)=10(岁)。
3、妹妹7岁。姐姐14岁。
[27-(3×2)]÷(2+1)=7(岁)。
4、小象10岁，妈妈19岁。
(28-1)÷3+1=10(岁)。
5、大熊猫15岁，小熊猫5岁。
(28-4×2)÷(3+1)=5(岁)。
6、父亲50岁，儿子20岁。
(15+10)÷(7-2)+15=20(岁)
7、王涛12岁，妈妈34岁。爸爸36岁，奶奶58岁，爷爷60岁。
提示：爸爸年龄四年前是王涛的4倍，那么现在的年龄是王涛的4倍少12岁。
(200+2+12+12+2)÷(1+5+5+4+4)=12(岁)。
牛吃草问题解析
解决牛吃草问题的多种算法
历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用
些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算
术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型：
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思
想解决实际问题的能力。
基本思路：
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷
每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的
较多天数－吃的较少天数)；
(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；
(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21
头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162(这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207(这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15
(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21
－15)＝72÷6＝12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完
牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16
头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
解答：
1)草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量：21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)
2)要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
破译字母竖式讲义
1．在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？
分析：首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。再看十位，“欢”
是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；
由此可知，“喜”等于8。所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。
2．在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”
所代表的三位数是多少？
分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）；接着看十位，四个“字”
相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”
可能是4或9；再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4
+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，
那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“数字谜”代表的三位数是965。
3．在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．
分析：首先万位上“华”=1；再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”
就是0；再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明
“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于9的；再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”
大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位；再看个位，两数相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”
=6，“归”=7。这样，整个算式就是：9567+1085=10652。
4．图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，RS，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式
的结果是多少？
分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，
O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三
个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。
5．在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么D+G等于多少？
分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这
样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。
6．王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成
的数相加得2529．求王老师家的电话号码．
分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；
首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，
f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。
7．一个三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，这两个数的差正好是原来的三位
数．求原来的三位数．
分析：
8．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最
大是多少？
分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，
所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。
9．（1）有一个四位数，它乘以9后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．
（2）有一个四位数，它乘以4后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．
分析：还是用abcd来代表原来的四位数：（1）abcd9=dcba，四位数乘9不进位，显然a=1、d=9；
再看百位，百位也没有进位，易得b=0，c=8。所以，原四位数为1089。（2）abcd4=dcba，先看千位，因为没有进位，且a是偶数，
所以，a只能是2；那么，d=8；再看百位，百位没有进位，b只能是0、1、2，分别试验可得b=1、c=7。所以，原四位数为2178。
10．已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？
分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。1428573=428571。
11．某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？
分析：由个位起逐个递推：44=16，原十位为6；46+1=25，原百位为5；45+2=22，原千位为2；
42+2=10，原万位为0；14=4，正好。所以，原数最小是102564。
12．在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？
分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有3和6可选：
好=3，则：1428573=428571；好=6，则：1428576=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或8
57142。
13．在图4-8所示的算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．
分析：还是利用1/7的特点：1428577=999999。
14．在图4-9所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么被除数是多少？
分析：
15．JF，EC，GJ，CA，BH，JD，AE，GI，DG已知每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中A代表5，并且上面的
9个数恰好是7的1倍至9倍，这里把一位数7记作07．求JDFI所代表的四位数．
分析：由A=5易得，C=3，那么，E=6；剩下：JF，GJ，BH，JD，GI，DG，分别为：07、14、21、28、42、49；根据21、28、42及1
4、42、49这两组可以推得J、G分别是2、4中的一个，并且可以得到BH=07；
进一步分析，GJ肯定是42，即G=4，J=2；于是，F=8，D=1，I=9。所以，JDFI代表的四位数为2189。
数字谜问题横式问题讲义
1、□，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？
分析：1503-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。
2、在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称：
（1）12×23□=□32×21，
（2）12×46□=□64×21，
（3）□8×891=198×8□，
（4）24×2□1=1□2×42，
（5）□3×6528=8256×3□。
分析：（1）12231=13221
（2）12462=26421
（3）18891=19881
（4）24231=13242
（5）436528=825634
3、在算式2×□□□=□□□的6个空格中，分别填入2，3，4，5，6，7这6个数字，使算式成立，并且乘积能被13除尽。那么这
个乘积是多少？
分析：2273=546
4、在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，
（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1）6104/56=109
（2）7548/37=204
（3）3393/29=117
（4）8468/58=146
5、在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。
分析：40796/102=399...98。
6、我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？
分析：学=1，我=8，数=6，8161981619=6661661161
7、□÷（□÷□÷□）=24
在上式的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。
分析：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/cd)=acd/b，(a
当a=1时，有68/2=24，89/3=24；
当a=2时，有49/3=12，68/4=12，89/6=12；
所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8
÷9）=24。
8、（□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）=□
将2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字分别填入上面算式的方框中，使等式成立。
分析：将第一个括号内的和（即被除数）用a来代替，第二个括号内的和（即除数）用b来代替，等式右边（即商）用c来代替，
则：a÷b=c，即a=b×c，a+b+c=44；b×c+b+c=44，（b+1）×（c+1）=45=315=59；c=2、b=14或c=4、b=8，由于2+3+5=9>8，因此只
能c=2、b=14；那么，3+4+7=14、3+5+6=14，
所以，满足要求的等式有：（5＋6＋8＋9）÷（3＋4＋7）=2、（4＋7＋8＋9）÷（3＋5＋6）=2
9、○×○=□=○÷○
将0，1，2，3，4，5，6这7个数字填在上面算式的圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式。
问填在方格内的数是多少？
分析：考察上面的等式，共需填入5个数，而0~6共有7个数字，因此必有两个地方是两位数；又0必定只能作为两个两位数中的
一个的个位；因此，分析得到：3×4=12=60÷5，即填在方格内的数是12。
10、□×□=5□12+□－□=□把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3
个数字已经填好。
分析：根据第一个等式，只有两种可能：78=56，69=54；如果为78=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当69=54时，
余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。
11、迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛
在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+
学+赛”等于多少？
分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛的只有8888=7744，于是，春=8，迎=7，
赛=4；这样，不难得到第一个为：7788=6776，第二个为：5599=5445；
所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。
12、迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？
分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）（8+1）=81，于是，迎=8；
这样，第一个算式显然只有：8+99=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。
13、□2＋□2=□2，□2＋□2＋□2=□2＋□2
在上面两个算式的各个方框中填入1至9中的不同自然数，使这两个等式成立。那么第二个等式两端的结果是多少？
分析：最直接的办法，写出1~9的平方数，并首先确定第一个：3^2+4^2=5^2，
这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117。
14、已知A，B，C，D，E，F，G，H，L，K分别代表0至9中的不同数字，且有下列4个等式成立：
K个H
D－K×L=F，E×E=HE，C÷K=G，H×H×……×H=B，求A+C。
分析：考察4个算式，首先可以发现第二个为：5×5=25，或6×6=36；
如果是5×5=25，则E=5、H=2；
再看第4个算式，只能是：2×2×2=8，于是K=3、B=8；
再看第三个算式，这是可以发现已经不行了。这样第二个就只能是66=36，于是：E=6、H=3；
再看第4个算式，只能是：3×3=9，于是K=2、B=9；
再看第三个算式，应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4；
最后看第一个算式，只有7-2×1=5，于是：D=7、L=1、F=5；
那么，A=0，A+C=8。
15、已知a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的8个不同数字，并且a≠0，e≠0，还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两
个四位数abcd与efgh之和的最大值是多少？最小值是多少？
分析：分析发现，c只能是9，g只能是0；那么，最大时：8497-6503=1994，最小时：3496-1502=1994；
所以，两数之和最大为：8497+6503=15000，最小为：3496+1502=4998
速算与巧算
【试题】计算9＋99＋999＋9999＋99999
【解析】在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法。例如将999化成1000—1
去计算。这是小学数学中常用的一种技巧。
9＋99＋999＋9999＋99999
＝(10－1)＋(100-1)＋(1000－1)＋(10000-1)＋(100000-1)
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105
速算与巧算（二）
【试题】计算199999＋19999＋1999＋199＋19
【解析】此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法。不过这里是加
1凑整。(如199＋1＝200)
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝(19999＋1)＋(19999＋1)＋(1999＋1)＋(199＋1)＋(19＋1)－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22225
速算与巧算（三）
【试题】计算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+…+995+997+999)
【分析】：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如
果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号
内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。
解：解法一、分组法
(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999)
=(2－1)+(4－3)+(6－5)+…+(996－995)+(998－997)+(1000－999)
=1+1+1+…+1+1+1(500个1)
=500
解法二、等差数列求和
(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999)
=(2+1000)×500÷2－(1+999)×500÷2
=1002×250－1000×250
=(1002－1000)×250
=500
速算与巧算（四）
【试题】计算9999×2222＋3333×3334
【分析】此题如果直接乘，数字较大，容易出错。如果将9999变为3333×3，规律就出
现了。
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×(6666＋3334)
＝3333×10000
＝33330000。
速算与巧算（五）
【试题】56×3+56×27+56×96-56×57+56
【分析】：乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时
要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一
个乘数凑成一个整数，再补上他们的和或是差。
56×3+56×27+56×96-56×57+56
=56×(32+27+96－57+1)
=56×99
=56×(100－1)
=56×100－56×1
=5600－56
=5544
速算与巧算（六）
【试题】计算98766×98768－98765×98769
【分析】：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成(98765+1)，将98769
拆成(98768+1)，这样就保证了减号两边都有相同的项。
解：98766×98768－98765×98769
=(98765+1)×98768－98765×(98768+1)
=98765×98768+98768－(98765×98768+98765)
=98765×98768+98768－98765×98768-98765
=98768－98765
=3
统筹规划
【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，
洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。
【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要
1+10=11分钟。
【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重
量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能
使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？
【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公
升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：
选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油
10×27+5×1=275(公升)
【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面
共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？
【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4
分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，
这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？
我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给
第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，
同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6
分钟。
统筹规划问题（二）
【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，
乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用
水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。
【分析】：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时
间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。
解：应按丙，乙，甲，丁顺序用水。
丙等待时间为0，用水时间1分钟，总计1分钟
乙等待时间为丙用水时间1分钟，乙用水时间2分钟，总计3分钟
甲等待时间为丙和乙用水时间3分钟，甲用水时间3分钟，总计6分钟
丁等待时间为丙、乙和甲用水时间共6分钟，丁用水时间10分钟，总计16分钟，
总时间为1＋3＋6＋16＝26分钟。
统筹规划问题（三）
【试题】5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。
因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，
最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过
桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？
【分析】：大家都很容易想到，让甲、乙搭配，丙、丁搭配应该比较节省时间。而他们
只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒。为
了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务。那么就应该让甲和乙先
过桥，用时2分钟，再由甲返回送手电筒，需要1分钟，然后丙、丁搭配过桥，用时10分
钟。接下来乙返回，送手电筒，用时2分钟，再和甲一起过桥，又用时2分钟。所以花费的
总时间为：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟。
解：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟
【试题】6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙
牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
【分析】：要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要
尽可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。
解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2＋1＝3分钟
然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6＋2＝8分钟
最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。
总共用时(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分钟。
行程问题讲义
1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路
程用了多少分钟？
分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，
时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟
解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80x+70x=61000，解方程得：x=40分钟
因为8040=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40
+（40-37.5）=42.5分钟
答：他走后一半路程用了42.5分钟。
2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已
知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？
分析：解法1：设路程为180，则上坡和下坡均是90。设走平路的速度是2，则下坡速度是3。走下坡用时间90/3=30，走平路一共
用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45因为速度与时间成反比，所以上坡速度是
下坡速度的45/60=0.75倍。
解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时
间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75
解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2路程/上坡速度+1/2路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75
答：上坡的速度是平路的0.75倍。
3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶
6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？
分析：解法１，第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。顺水走1小时比逆水多走8千米，
说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的1/4，所以顺水速度是每小时
54=20千米（或者说逆水速度是34=12千米）。甲、乙两地距离是121+3=15千米
解法２，顺水每小时比逆水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6千米，顺水行驶时间=6/8=3/4小时，逆水行驶时间=2
-3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=85/（5-3）=20千米/小时，两地距离=203/4=15千米。
答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。
4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人
从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，
恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？
分析：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆
车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是58=40（分钟）。
答：他从乙站到甲站用了40分钟。
5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现
在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？
分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20
=59（米）
答：甲现在离起点59米。
6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：
东西两地的距离是多少千米？
分析：解法1：甲比乙1小时多走8千米，一共多走322=64千米，用了64/8=8小时，所以距离是8（56+48）=832（千米）
解法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48（X+32）=56（X-32），解得X=416，距离是2416=832（千米）
解法3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=232/（1/13）=832千米。
答：东西两地间的距离是832千米。
7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多
走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？
分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-40.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4（0.
5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）
答：骑车人每小时行驶20千米。
8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.
5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？
分析：解法１，快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行1个单程用5小
时，如果不停，再次相遇需要52=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相遇。快车多停30分钟，这段路程快车与慢
车一起走，需要30/（1+2/3）=18（分钟）所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟
解法2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全程，两车合起来少开1/25，节省时间=51/25=0.2小时，
所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=52+1-0.2=10.8小时。
答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。
9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步
行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？
解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇时，劳模走了60+20=80
分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8
答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。
10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而
行，那么甲追上乙需要多少小时？
分析：两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和0.5；同向而行，路程之差是AB，AB=速度差追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速
度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差0.5=2.4/0.40.5=3（小时）
答：甲追上乙需要3小时。
11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑
3步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？
分析：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。狗速=6速度差，路程=106=
60（米）
答：狗追上兔时，共跑了60米。
12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。
当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？
分析：解法1，张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是20（20/60）=20
/3（千米）所以甲乙距离=24（20/3/4）=40（千米）
解法2：张比李每小时快4千米，现共多前进了8千米，即共骑了8/4=2小时，张从甲到乙用了260-20=100分钟，所以甲乙两地距
离=（100/20）8=40千米。
答：甲、乙两地之间的距离是40千米。
13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，
到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几时几分？
分析：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=
16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。
答：这时8点32分。
14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始
睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少
米？
分析：兔子跑了10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了99001/5=1980米，兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米
答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。
15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在
两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又
知大轿车是上午10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。
分析：解法1，大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8
=5/4，所以大车行驶时间是16/（5-4）5=80分钟，小车行驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。大车10点出发，
到中间点是10点40分，离开中点是10点45分，到达终点是11点25分。小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大车晚4
分；到终点是11点21分，比大车早4分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分。
解法2：大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小轿车用时的1/0.8=1.25倍，大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分
钟，大轿车行驶时间=16（1.25/0.25）=80分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64分钟，小轿车比大轿车实际晚开17-5=12分钟，追
上需要=120.8/（1-0.8）=48分钟，48+17=65分=1小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分
答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。
第二讲义
1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？
分析：从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100秒，一共用了300+100=400
秒
答：需要400秒。
2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。
这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是多少米？
分析：设火车速度是每秒X米。行人速度是每秒3.61000/6060=1（米），骑车人速度是每秒1.81000/6060=3（米）根据已知
条件列方程：（X-1）22=（X-3）26，解得：X=14（米），车长=（14-1）22=286（米）
分析２，骑车人速度是行人速度的10。8/3。6=3倍，22秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2
倍行人22秒所走的路程，即距离2；26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火
车与骑车人的速度比为28/11：6/11=14：3；火车速度=1410.8/3=504千米/小时；火车车长=（50400-3600）22/3600=286米。
答：这列火车的车身总长是286米。
3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身
长为320米，速度每秒17米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。
分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=2023-210=250米
客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）
答：客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。
4、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。14小时10分钟追上向北行走的一位工人，15
秒种后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？
分析：解法1：工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米
学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米
14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟
14时16分+24分=14时40分
解法2：（车速-工速）15=车长=（车速+学速）12,那么
工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）车长
而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工人与学生距离恰好是
（车速-工速）6=6/15车长
这样，从此时到工人学生相遇用时
（6/15车长）/[（1/12-1/15）车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24分
答：工人与学生将在14时40分相遇。
5、东、西两城相距75千米。小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，
每小时骑行15千米。3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？
分析：3人相遇时间即明与强相遇时间，为75/（6.5+6）=6小时，小辉骑了156=90千米
答：小辉共骑了90千米。
6、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从
B地去A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原
有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目
的地？谁最后到达目的地？
分析：
如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只
走了MA。所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到。
分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将
整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行23/4=3/2份，总步行4-3/2=
5/2份；乙步行1+（2-3/2）=3/2，骑行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲最后到。
答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。
7、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向
而行，在途中甲与乙相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？
分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=（100+75）6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此
甲、乙相遇时走了：[（100+75）6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）[（100+75）6/（80-75）]=37800（米）
答：东、西两村之间的距离是37800米。
8、甲、乙、丙3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终
不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）
分析：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑200/1805=5（5/9）=5.56（米）
答：当乙到达终点时，丙离终点还有5.56米。
9、张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。赵上午8时
从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？
分析：甲、乙距离是512=60（千米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追上李时走了（42）/（6-4）=4（小时），这时的时间
是8+4=12（点）
分析２，赵晚走2小时，此时张已走出52=10千米，李走出42=8千米，从上午8时到下午18：00时，共10个小时，赵、张同时
到达乙地，赵每小时比张多走10/10=1千米，那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要8/2=4小时，即追上为12：00时。
答：赵追上李的时间是12时。
10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑
车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？
分析：快车6分钟行2410006/60=2400（米），中车10分钟行20100010/60=3333（1/3）（米）
骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-2400）/（10-6）=700/3（米）
慢车12分钟行2400-700/36+700/312=3800（米），每小时行3800/1260=190000（米）=19（千米）
分析２，6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6（24-20）/60=0.4千米，10分钟时，中车又开了420/60=4/3千米，追上
骑车人，说明骑车人4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米，即骑车人速度=（14/15）（60/4）=14千米/小时，因为快车用6分钟追上骑车人，
由此可知原本三辆汽车落后骑车人6（24-14）/60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+1412/60=3.8千米，所以，慢车速度=
（3.8/12）60=19千米/小时。
答：慢车每小时行19千米。
11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达
乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。
分析：第一次相遇一共走了全程S，其中客车走40千米第二次相遇两车一共又走了3个全程2S，其中客车走（S+20）千米所以
S+20=340，解得S=100（千米）
答：甲、乙两站之间的距离是100千米。
12、甲、乙、丙是3个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站100
米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？
分析：
第一次相遇，小明走：全程的一半+100米从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200米，小明又走：全程+20
0米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。小强第二段也应该走第一段的2倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。乙丙距
离=200+100=300米，甲丙距离=2300=600米。
答：甲、丙两站距离是600米。
13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。
张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问：
当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？
分析：设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份张20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所以
速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走9个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）
答：当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。
14、甲、乙两车分别从A，B两地出发，在A，B之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千
米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么两地之间的距
离等于多少千米？
分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶5个AB，其中甲行53/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行
驶7个AB，其中甲行73/10=2（1/10）AB，这两点的距离是5/10-1/10=4/10AB=100（千米）所以AB=10010/4=250（千米）
答：两地之间的距离是250千米。
15、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池
的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？
分析：5分钟两人一共游了（1+0.6）560=480米第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游230=60米，就
迎面相遇一次，480=30+607+30，迎面相遇了8次。甲比乙多游了（1-0.6）560=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；以后每
多游230=60米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙2次两人相遇次数=8+2=10次。
分析２，甲的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5个来回；乙的速度是每秒游0.6米，一个来回100秒，5
分钟共游了560/100=3个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。
答：在这段时间内两人共相遇10次。
整数与数列讲义
1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？
17131925313743495561
28142026323844505662
39152127333945515763
410162228344046525864
511172329354147535965
解答：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5
=（33×11）×5
=1815
[或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]
1994-1815=179
答：它们的和加上179才等于1994。
2、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
解答：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101
=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）
=4+4+……+4+4
=［（1000-101）÷1+1］÷4×4
=900
3、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
解答：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）
=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）
=1+1×（1989-1）÷2
=1+994
=995
4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。
解答：15×15+16×16+……+21×21
=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6
=3311-1015
=2296
5、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1
=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）
=210
6、计算：3333×5555+6×4444×2222。
解答：3333×5555+6×4444×2222
=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111
=15×1111×1111+48×1111×1111
=（15+48）×1111×1111
=63×1111×1111
=7×9×1111×1111
=9999×7777
=（10000-1）×7777
=77770000-7777
=77762223
7、计算：19931993×1993-19931992×1992-19931992。
解答：19931993×1993-19931992×1992-19931992
=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）
=19931993×1993-19931992×（1992+1）
=19931993×1993-19931992×1993
=1993×（19931993-19931992）
=1993
8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
解答：1111111111×9999999999
=1111111111×（10000000000-1）
=11111111110000000000-1111111111
=1111111118888888889
有10个奇数
答：乘积中有10个数字是奇数。
9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
解答：1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，33333+33335=66668
答：这两个奇数的和是66668。
10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。
解答：l×2+2×3+3×4+……+9×10
=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3
=9×10×11÷3
=3×10×11
=330
11、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2
×3×4×5×6×7×8。
解答：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3
×4×5×6×7×8
=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！
=（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）
=9！-1！
=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1
=362879
12、在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：13?5=3，6?2=0．试计算：（2000?
49）?9．
解答：2000?49＝40，40?9＝4
答：计算结果是4。
13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼
=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，
所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，
狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合
运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。
解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）
=羊△羊☆羊△狼
=羊☆羊△狼
=羊△狼
=狼
答：运算结果是狼。
14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有
一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。问：这100个乘积之和为多少?
解答：1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，29，和是2×45；……；91，92，……，99，和
是9×45；10，20，……，90，和是45；100的为1。
总和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1
＝47×45+1
=2116
答：这100个乘积之和是2116。
15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？
解答：把1到1998之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：0001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998。从
两头开始配对组合：（0001+1998），（0002+1997），（0003+1996），……共999对。每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28，所以1
到1998的数字和是28×999=27972。
多算了1990到1998的数字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。27972-207=27765
答：从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765。
组合问题构造与论证讲义
1、有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？
分析：可以。（1）标3条刻度线，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整数），那么，A，B，C，9这4个数中，大减小两两之
差，至多有6个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9这9个不同的数。（2）
例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，6-
1=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，还可以标出1，4，7这3个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=
8，9。另外，与1，2，6对称的，标出3，7，8；与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。
2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241
被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当
中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。问这6个三位数分别是多少？
分析：6个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，
只能让3个数百位是1，另外3个数百位数是2。百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；百位是2的3个数同样。这样先保证前两
位没有完全一样的。即：11，12，13，21，22，23。11最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5个数个位均小于4。114
12较小，个位应取3，它要求前两位能吃12的数，个位小于3。12313个位取2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃1
3的数个位小于2。13221较小，个位应取3，才能不被23和22吃。21322个位取2即可。22223各位必须取1。231
所以这6个数是114，123，132，213，222，231。
3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。
问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？
分析：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，
即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有4种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，
由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不一定能选出。
4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？
分析：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少
有一条边是白色。如图就是一种。
5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？
分析：2×2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盘，
中心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放2个皇后。如图所示。
6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二
行中的5个数字各是几？
分析：设第二行从左到右填入A，B，C，D，E，则A+B+C+D+E=5若E大于0，如E=1，则B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，
A大于0小于4；若D大于0，如D=1，则B大于0，因A大于0，则A和C无法填写，所以D=0，A必等于2；A=2，可知B+C=3，只有
当B=1，C=2时，ABCDE=21200，符合要求。所以第二行的5个数字是2，1，2，0，0。
7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所
知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。
分析：给100个人分别编号1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1，50号
得到1-50号消息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51，100号得到51-100号消息。（2）1号和51号通1次电话，
50号和100号通1次电话，这时1，50，51，100号这4个人都知道了1-100号消息。（3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50，
51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。
8、有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个3×4小长方形（不论横竖）的12个方格中
都恰有4个红格和8个蓝格？
分析：能。3×4=12，有4红8蓝，即红1蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。
9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第199
3次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？
分析：可以。按要求一共翻动1+2+3+……+1993=1993×997，平均每个硬币翻997次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把
原来朝下的一面翻上来。因为：1993×997=1993+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996）所以，可以这样翻动：第1次翻1993个，
每个全翻1次；第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；第3次与第1992次（倒数第2次），第4
次与第1991次，……，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。这样每个都翻动了997次，都把原先朝下的一面翻成
朝上。
10、能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行
中其余各数之和？
分析：不能。
假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数。
1+2+3+……+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。
11、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
分析：不能。假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。
另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是
奇数。
12、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99
枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。
分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99枚真币的重量，说明伪币数为偶数。如果拿出1个真币，
剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，
随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。
所以，只要把98个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。
13、在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。
现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
分析：设7分者胜X局，负Y局；20分者胜M局，负N局，则有X-Y=7，M-N=20假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：
X+Y=M+N，X+Y+M+N为偶数。另一方面，因为X-Y=7，X和Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M-N=20，可知M和N奇偶性相
同，那么M+N为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N之和为奇数。
矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。
14、如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：你
能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？
分析：不能。如果进行操作后，表中9个数能变为相同的数，其和必能整除3；因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同
的整数，增加的数也能整除3。那么，原来表中的9个数的和也必能整除3。把表中的9个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100
不能整除3，与假设矛盾，所以不能实现。
15、今有长度为1，2，3，……，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成（1）
一个正方体框架？（2）一个长方体框架？
分析：（1）不能。正方体有12条棱，金属杆长度之和能被12整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+……+199=19
900，1+9+9=19，19不能整除3，所以长度之和不是12的整数倍。（2）可以。
（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以组成100个199，所以可以构成一个长199×12，宽199×12，高199的长方体框架，
棱长共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以构成一个长199×20，宽199×3，高199×2的长方体框架，棱长共（199×20+1
99×3+199×2）×4=199×100；等等。
小学数学奥数1--6年级培优讲座、习题集、与答案完
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