第17讲等腰三角形考点1角平分线的性质和判定┃考点自主梳理与热身反馈┃B4【归纳总结】相等角平分线考点2线段垂直平分线的性质和判定7线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等【归纳总结】相等垂直平分线考点3等腰三角形的性质A16cm或17cm8【归纳总结】相等相等三线合一轴考点4等腰三角形的判定DC【归纳总结】等腰等边考点5等边三角形15【归纳总结】相等60°360°【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一等腰三角形边或角计算中的分类讨论4或6[中考点金]C探究二等腰三角形与角平分线或线段垂直平分线的综合计算36[中考点金]4探究三等腰三角形性质与判定的综合应用[中考点金]┃考题自主训练与名师预测┃DB1．如图17－1点D在BC上且DE＝DF则线段AD是△ABC的()
图17－1高．角平分线垂直平分D．中线2．若AD平分角∠BAC则∠BAC＝2________＝________．如图17－2在△ABC中＝90的平分线交BC于点D若CD＝4则点D到AB的距离是________．
图17－2∠BAD
∠CAD
角平分线的性质和判定性质 (1)若OC平分∠AOB则∠AOC＝____＝____；(2)角平分线上的点到角两边的距离______判定 角的内部到角的两边距离相等的点在________上∠BOC
∠AOB
1．若点P在线段AB的垂直平分线上＝7则PB＝________．如图17－3所示用两根钢索加固直立的电线杆AD若要使钢索ABAC的长度相等则需要BD＝DC理由是__________________．
图17－3线段垂直平分线的性质和判定性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________判定 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的____________________上
1．已知等腰三角形的一个底角为80则这个等腰三角形的顶角为()40°C．50°D．80°
2．等腰三角形的两条边长分别为5和6则它的周长是____________．在△ABC中＝AC＝10底边BC＝12则△ABC的角平分线AD的长是________1．等腰三角形的两腰________．等腰三角形的两底角________．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合简称“______________”．等腰三角形是________对称图形．1．如图17－4在△ABC中＝∠C＝5则AC的长为()
图17－42．下列条件中不能判定△ABC为等腰三角形的是()＝70＝55＝AC＝2＝3＝3＝7周长为15＋＝90等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是________三角形；(2)等角对________．1．边长为6的等边三角形中其一边上高的长度为________．2．如图17－5已知△ABC是等边三角形点B在同一直线上且CG＝CD＝DE则∠E＝________度．
图17－53cm
等边三角形的性质与判定性质 (1)等边三角形的三边都________；(2)等边三角形的三个角都等于________；(3)等边三角形有________条对称轴判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是________的等腰三角形是等边三角形
例1等腰三角形的周长为14其一边长为4那么它的底边长为________．[解析]由题知可能为底边也可能为腰故要分两种情况讨论．当4为腰时则底边长为14－4－4＝6故三边长分别为4符合三角形三边关系故底边长为6；当4为底边时则腰长为＝5故三边长分别为5符合三角形三边关系故底长为4.所以它的底边长为4或6.
等腰三角形的边、角从度量上可分为两类：腰与底边顶角与底角．在题目条件中若出现有关等腰三角形边或角的已知条件应按以上情况进行分类讨论．变式题已知等腰三角形的一个内角为70则另外两个内角为()或55以上都不对
例2如图17－6在△ABC中＝AC＝36的垂直平分线交AC于点E垂足为D连接BE则∠EBC的度数为________
图17－6三角形中出现线段垂直平分线时可得到等腰三角形；等腰三角形与角平分变式题如图17－7在△ABC中＝AC的平分线交BC边于点D＝5＝6则AD＝________．
图17－7
[解析]由等腰三角形“三线合一”的性质知AD垂直平分BC所以BD＝3且△ABD为直角三角形由勾股定理得AD＝＝＝4.故答案为4.例3如图17－8在△ABC中＝AC＝36的垂直平分线交AB于E为垂足连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5求BC长．
图17－8
[解析](1)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质或全等三角形的判定与性质直接计算．(2)利用(1)中计算结果和“等边对等角”“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”“等角对等边”直接计算．
解：(1)解法一：∵DE垂直平分AC＝AE＝∠A＝36解法二：∵DE垂直平分AC＝CD＝∠CDE＝90又∵DE＝DE＝∠A＝36.
(2)解法一：∵AB＝AC＝36＝∠ACB＝72＝36＝∠ACB－∠ECD＝36＝72＝∠B.∴BC＝EC＝5.解法二：∵AB＝AC＝36＝∠ACB＝72＝36＝∠A＋∠ECD＝72＝∠B＝EC＝5.
等腰三角形的性质定理和判定定理是将边角关系进行相互转化的重要依据在解题时应按条件由角得边的关系或由边得角的关系或者由对称得边、角关系从而找出解答问题的方法．变式题如图17－9在△ABC中＝AC为BC边上一点＝30＝45(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.
图17－9
解：(1)∵AB＝AC＝∠C30°.
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180＝180－30－30＝120＝45＝∠BAC－∠DAB＝120－45＝75(2)证明：∵∠DAB＝45＝30＝∠B＋∠DAB＝75＝∠ADC＝AC＝AB.
1．[2014·盐城]若等腰三角形的顶角为40则它的底()B．2．把一张对边平行的纸条按如图17－10所示折叠则重叠部分是()
图17－10直角三角形．等腰三角形等腰直角三角形．无法确定
3．如图17－11在边长为4的等边三角形ABC中是BC边上的高点E是AD上的两点则图中阴影部分的面积是()
图17－11B．3C．2D.
4．[2014·金华]如图17－12将绕直角顶点C顺时针旋转90得到△A′B′C连接AA′若∠1＝20则∠B的度数是()
图17－12[2014·扬州]若等腰三角形的两条边长分别为7和14则它的周长为________6．[2014·丽水]如图17－13在△ABC中＝AC于点D若AB＝6＝4则△ABC的周长是________．
图17－13[解析]∵在△ABC中＝AC是等腰三角形．又∵AD⊥BC于点D＝CD.＝6＝4的周长＝6＋4＋4＋6＝20.
7．[2014·襄阳]如图17－14在△ABC中点D分别在边AC上与CE交于点O给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中由哪两个条件可以ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形写出证明过程．
图17－14解：(1)①②；①③.(2)选择①②证明如下：在△BOE和△COD中＝∠DCOEOB＝∠DOC＝CD＝CO＝∠OCB＋∠OBC＝∠DOC＋∠OCB即∠ABC＝∠ACB＝AC故△ABC是等腰三角形．8．[2014·菏泽]如图17－15在△ABC中平分BAC，BD⊥AD，垂足为D过点D作交AB于点E若AB＝5求线段DE的长．
图17－15解：∵AD平分∠BAC＝∠2.＝∠ADE.＝∠ADE.＝DE.＝90＋∠ABD＝90BDE＝∠ADB＝90＝∠BDE.＝BE＝AE＝＝
9．如图17－16是等边三角形是AB边上一点以CD为边作等边三角形CDE使点E在直线DC的同侧连接AE.求证：AE∥BC.
图17－16证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形＝∠DCE＝60－∠ACD＝∠DCE－∠ACD即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中＝AC＝∠ACE＝EC(SAS)，
∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠ACB60°，
∴∠ACB＝∠EAC.
1．如图17－17在△ABC中＝AC且D为BC上一点＝AD＝BD则∠B的度数为()
图17－172．已知实数x满足|x－4|＋＝0则以x的值为两边长的等腰三角形的周长是()或16以上答案均不对等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36则该等腰三角形的底角的度数为________． |
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