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《幾何原本》之商高﹝畢氏﹞定理及黃
金比例﹝理分中末線﹞
Pythagoras’Theorem&GoldenRatio
inEuclid’sElementsofGeometry
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:ThisarticlenarratessomeofthequestionsconcerningPythagoras’
TheoremandGoldenRatioinEuclid’sElementofGeometry.
提要：《幾何原本》有題目涉及商高定理及黃金比例，本文舉出數題以說明
之。
關鍵詞：歐几里得、《幾何原本》、利瑪竇、徐光啟、《幾何論約》、杜知耕、
商高定理、畢氏定理、理分中末線、黃金比例。
第1節《幾何原本》與《幾何論約》
《幾何原本》乃意大利傳教士利瑪竇(MatteoRicci,1552-1610)與明?徐光
啟合譯之數學著作。
徐光啟（24-4-1562至8-11-1633），字子先，號玄扈。曾師事利瑪竇，故曾
洗禮為天主教教徒，其天主教聖名為保祿，卒諡文定。明南直隸松江府上海縣人。
徐光啟乃明末學者、擅長天文曆法，亦精於數、水利、農及軍事諸學。崇禎時官
至禮部尚書兼文淵閣大學士、內閣次輔。
利瑪竇，字西泰。1552年10月6日生於意大利之馬切拉塔城(Macerata)。
1571年8月加入耶穌會，1583年來華傳教，1605年時，據云北京信奉天主教人
數已逾二百人。利瑪竇於1609年在北京創立天主教在中國之第一善會組織“天
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主之母善會”。1610年5月11日卒於北京。
本文取材自西洋?歐几里得《幾何原本》。筆者所採用之版本為欽定四庫全
書?子部六?天文算法類二?算書之屬。此書分六卷，分六册﹝注意《幾何原本》
中之“歐几里得”之“几”用“几”而非“幾”﹞：
第一册：卷一之首?卷一
第二册：卷二之首?卷二?卷三之首
第三册：卷二?卷四之首
第四册：卷四?卷五之首
第五册：卷五?卷六之首
第六册：卷六
《幾何原本》乃古希臘數學家歐几里得Euclid(330-275B.C.)所著之數學著
作，共13卷。中國之最早譯本乃1607年利瑪竇與徐光啟據拉丁文本《歐幾里得
原本》﹝原有15卷﹞合譯﹝利瑪竇口譯，徐光啟筆錄﹞，定名為《幾何原本》，
此乃該書之得名。二人只翻譯前6卷，後9卷則由英國人偉烈亞力(Alexander
Wylie,1815-1887)口譯，李善蘭筆錄，譯時四載，於1857年刊行。李善蘭乃浙
江海甯數學家(1810-1882)。
其後因太平軍叛及英法聯軍入侵之故，《幾何原本》原版燬於兵燹。曾國藩
駐金陵時，李善蘭向曾氏談及此算書之燬，曾氏應允出資重刊，於同治四年﹝公
元1865年﹞印刷刊行金陵足本版之《幾何原本》，此書遂得以流傳。
《幾何原本》提要曰：
《幾何原本》六卷，西洋歐几里得撰，利瑪竇譯，而徐光啟所筆受也。歐几
里得未詳何時人，其書十三卷，五百餘題。利瑪竇之師丁氏為之集解，又續
補二篇於後，共為十五卷，今止六卷者，徐光啟自謂譯受是書，此其最要者
也。
提要書於乾隆四十六年﹝即公元1781年﹞十二月。
《幾何原本》徐光啟序曰：
《幾何原本》者，度數之宗，所以窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用也。
利先生從少年時，論道之暇，留意藝學，且此業在波中，所謂師傳曹集者，
其師丁氏，又絕代名家也，以故極精其說。
利先生即利瑪竇，其師丁氏相信亦為數學名家。
其後，清?杜知耕依其方式著《幾何論約》，此書將《幾何原本》內容有所
删減，故稱之為“論約”。該書提要曰：
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《幾何論約》七卷，國朝杜知耕撰。知耕，字臨甫，號伯瞿。柘城人。是編
取利瑪竇與徐光啟所譯《幾何原本》復加刪削，故名曰“論約”。考光啟於
《幾何原本》之首，冠雜議數條，有云“此書有四不必”：不必疑、不必揣、
不必詴、不必改。有“四不可得”：欲脱之不可得、欲駁之不可得、欲減之
不可得、欲前後更置之不可得。知耕乃刋削其文，似乎蹈光啟之所戒。
徐光啟言《幾何原本》“欲減之不可得”，杜知耕偏偏刪削之，與徐所云背
道而馳，故提要曰“似乎蹈光啟之所戒”即指此。
杜知耕於其《幾何論約》原序曰：
《幾何原本》者，西洋歐吉里斯之書。自利氏西来1始其學。元扈徐先生譯
以華文，厯2五載三易稿而後成。其書題題相因，由淺入深，似晦而實顯，
似難而實易，為人不可不讀之書，亦人人能讀之書。故徐公嘗言曰：百年之
後必人人習之，即又以為習之晚也。
書成於萬厯3丁未4，至今九十餘年，而習者尚寥寥無幾，其故何與？蓋以毎
題必先標大綱，繼之以解，又繼之以論，多者千言，少者亦不下百餘言；一
題必繪數圗，一圗必有數線，讀者須凝精聚神，手誌目顧，方明其義。精神
少懈，一題未竟，已不知所言為何事，習者之寡，不盡由此，而未必不由此
也。若使一題之藴，數語輒盡，簡而能明，約而能該5，篇幅既短，精神易
括，一目了然，如指諸掌，吾知人人習之恐晩矣。或語余曰：“子盍約之。”
余曰“未易也，以一語當數語，聰頴者所難，而况魯鈍如余者乎？”。雖然
詴為之，於是就其原文，因其次第，論可約者約之，别有可發者以己意附之，
解已盡者，節其論題，自明者併節其解，務簡省文句，期合題意而止。又推
義比類，復綴數條於末，以廣其餘意，既畢，事爰授之梓，以就正四方。倘
摘其謬，刪其繁，補其遺漏，尤余所厚望焉。杜知耕序。
萬曆丁未即1607年，故杜知耕寫《幾何論約》於1702年﹝即康熙四十一年﹞
前後數年間。杜知耕所言之“歐吉里斯”即“歐几里得”，“歐吉里斯”之譯音
更接近Euclid。其好友吳學顥為其作序亦用“歐吉里斯”之名，故杜知耕寫《幾
何論約》時可能曾研究Euclid之讀音，並更正“歐几里得”之譯名。
從杜知耕原序可知其十分推崇數學，故云“百年之後必人人習之”，現代之
世，數學乃中小學必修習之課程，而幾何者，數學中之一環，所不同者所習之教
材非《幾何原本》耳。
其實數學有別於一般文章，文章以言簡意賅為佳，行文累贅者必非佳作，言
數學者，詳未必不佳，簡約亦未必上乘，視乎讀者是否明白耳。依筆者之見，數
學之說明，宜繁不宜簡，宜詳不宜約，蓋繁詳之解說，讀者明白，可略過之，若
不明白，可反複推敲；簡約之解說，若不明白，則推敲無從，始終難以明白也。
《幾何原本》每題主要分成三部分：
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1.題號與問題。
2.解。以“解曰”表之，所謂“解”乃指解題之法；如為作圖題，則詳述
作圖之法。
3.論。以“論曰”表之，所謂“論”乃指証明。
“解”與“論”均以文章式論述，洋洋灑灑，不易閱讀，更不易明白。
習古文之數學，因無近世之數學符號，若以文章式書寫各題之証明，如杜所
云“多者千言，少者亦不下百餘言”，閱之困難，明矣。加以《幾何原本》有圖
之題圖中之點皆以十二天干﹝即甲、乙、丙、丁…﹞表示，亦增加閱讀困難，故
《幾何原本》於明、清之世習之者寡也。
杜知耕之《幾何論約》並無改變《幾何原本》之書寫方式，甚至抄襲原文，
故其“論約”之成效實在有限，可能“約”後令人不明。無論如何《幾何論約》
仍具參考價值，因部分題目有杜知耕之注文也。
夫研習數學者，書中解說固然重要，最重要者乃基礎，循序漸進，方為正途
也。
杜知耕尚著有《數學鑰》一書，此書仍以討論幾何題為主。
第2節商高定理﹝畢氏定理﹞與廣義商高定理
本節主要談及《幾何原本》之商高定理及廣義之商高定理。商高定理乃指一
直角三角形兩直角邊之平方和等於斜邊之平方；廣義之商高定理乃指一直角三角
形兩直角邊之相似圖形面積之和等於斜邊之相似圖形面積，相似圖形可指含曲線
之圖形。
《幾何原本》卷一?第四十七題曰：
凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊上所作兩直角方邊形并等。
証明見下。
《幾何原本》卷六?第八題曰：
直角三邊形從直角向對邊作一垂線，分本形為兩直角三邊形，即兩形皆與全
形相似，亦自相似。
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?ABC為直角三邊形BCA為直角，CH垂直斜邊BA，“本形”為直角三角
形ABC。上圖之BC=a，CA=b，BH=d，HA=e，BA=d+e。
題意指垂線CH分直角三角形ABC為兩直角三角形BCH及HCA，兩三角
形相似，與“全形”三角形ABC亦相似。即?ABC~?BCH~?HCA﹝~乃相
似符號﹞，本題乃初等幾何題，証明從略。
《幾何原本》卷六?第十三題曰：
兩直線求別作一直線為連比例之中率。
已知兩直線BH及HA，求作一直線使其平方等於兩線長之積。此線即為兩
線之“連比例中率”。
設BH=d及HA=e，合併兩線之長得BA﹝見上圖﹞，即d+e，以BA
為直徑畫一半圓，並以H為垂足畫一垂線垂直BA，此垂線交圓周於C。CH，
設其長為m，即為兩線之連比例中率﹝見上圖﹞。
同上圖。因為?ABC~?BCH~?HCA，故在?BCH~?HCA中，
dm=me，即m
2=de。故m為兩線d與e之連比例中率。
又在?ABC~?BCH中，aed?=da，即得d(d+e)=a2，
又在?ABC~?HCA中，bed?=eb，即得e(d+e)=b2，
兩式相加可得a2+b2=d(d+e)+e(d+e)=(d+e)2。
此即商高定理﹝即畢氏定理Pythagoras’Theorem﹞。筆者一向認為以上之証
明法乃最快捷及最容易明白者也。
《幾何原本》卷六?第三十一題
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三邊直角形之對直角邊上一形與直角旁邊上兩形若相似而體勢等，則一形與
兩形并等。
“三邊直角形”指直角三角形。“對直角邊”指斜邊，“直角旁邊”指直角
之相鄰兩邊。“一形”指斜邊上之形，“兩形”指直角相鄰兩邊之形；體勢，形
狀與外觀也；“并”，相加也；“并等”指直角相鄰兩邊之形面積相加後等於斜
邊上之形之面積。
其意指一直角?ABC，直角邊為AC及CB，AB為斜邊，在三邊分別作三
相似圖形，則兩直角邊之圖形面積之和與斜邊之相似圖形等面積。《幾何原本》
設該三相似形為長方形，即求証：?AEDC+?CLMB=?ABKF。見下圖。注意
本題先假設商高定理成立，即
a2+b2=(d+e)2，其相關定理亦成立，即d(d+e)=a2及e(d+e)=b2﹝見上
題﹞。
今設CL=a1，AE=b1，及AF=(d+e)1。
又從圖可知?AEDC=aa1，?CLMB=bb1，?ABKF=(d+e)(d+e)1。
証明：
因為?AEDC~?CLMB~?ABKF﹝~乃相似符號﹞故：
aa1=bb1=??eded??1=k﹝設每比之值為k﹞。移項得：
a1=ak，b1=bk，(d+e)1=(d+e)k。
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?CLMB+?AEDC
=aa1+bb1
=a2k+b2k
=(a2+b2)k
=(d+e)2k
=(d+e)(d+e)k
=(d+e)(d+e)1
=AB×AF
=?ABKF。﹝証畢﹞
別証一：
因各長方形相似，故各圖之兩邊比相等，即：
aa1=bb1=??eded??1
21aaa
=
21bbb
=????
21)(ededed???
，首兩項分子分母各自相加其比仍相等，即：
2211babbaa??
=????
21)(ededed???
，約去分母﹝因a2+b2=(d+e)2﹞，即得：
aa1+bb1=(d+e)(d+e)1。﹝証畢﹞
別証二：
相似圖形之面積比等於其對應邊之平方比，即：
以a為一邊之圖形之面積：以b為一邊之圖形之面積：以d+e為一邊之圖
形之面積=a2：b2：(d+e)2
=d(d+e)：e(d+e)：(d+e)2
=d：e：d+e
於是，可設以a為一邊之圖形之面積為Kd，以b為一邊之圖形之面積為
Ke，以d+e為一邊之圖形之面積為(d+e)K，於是即可得：
Kd+Ke=(d+e)K
即以a為一邊之圖形之面積+以b為一邊之圖形之面積=以d+e為一邊
之圖形之面積。﹝証畢﹞
以上乃相似圖形之一般証明法，不獨長方形也。此乃廣義之商高定理或廣義
之畢氏定理。
若相似圖形退化成長方形如上圖，則：
Kd=aa1----------(1)
Ke=bb1----------(2)
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(d+e)K=(d+e)(d+e)1
於是K=(d+e)1，代K=(d+e)1入(1)及(2)即得：
aa1=d(d+e)1
bb1=e(d+e)1
相加可得aa1+bb1=d(d+e)1+e(d+e)1=(d+e)(d+e)1。﹝証畢﹞
《幾何原本》以幾何圖形面積分割法証明，與筆者之代數証明法有異。
第3節《幾何原本》之黃金比例
黃金比例又稱為黃金分割法。《幾何原本》不用此名，稱之為“理分中末
線”。
黃金比例始於何時，迄今末有定論。公元前6世紀古希臘畢達哥拉斯學派曾
研究正五邊形與正十邊形之作圖法，因此現代數學家推斷當時畢達哥拉斯學派對
黃金分割有所了解。公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯統以黃金比例建立
比例理論。公元前300年前歐几里得撰寫《幾何原本》以歐多克索斯之理論為基
礎，寫成數題與黃金分割法有關之題目，本節即闡述此等題目。
《幾何原本》卷二?第十一題曰：
一直線求兩分之，兩元線偕初分線矩內直角形與分餘線上直角方形等。
其意指在一條已知線AB上求一點Q，並以AQ為邊作一正方形AQRS，並
以QB為邊作一長方形QBCP，而正方形AQRS與一長方形QBCP等面積。Q點
即分該已知為線為黃金比例。
矩內直角形指長方形，而該長方形較長之邊為該已知直線，此即為“初分線
矩內直角形”。
《幾何原本》提出之作圖法現詳述如下：
已知線為AB﹝見圖一﹞，Q為分點，BQ為初分線，QA為分餘線。先以
AB為邊作一正方形BCDA，平分AD得M中點，連MB﹝見圖二﹞。
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延長MA至S使MB=MS。在AB取Q點使AQ=AS，Q即為所求之點﹝見
圖三﹞，即AQRS為所求之正方形，QBCP為所求之矩形，而兩者之面積相等。
証明：
設AQ=a，QB=b，於是AM=2ba?。依商高定理可知：
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MB=??22
2?????????baba
，因MB=MS=MA+AS，但AQ=AS，可知：
MS=MA+AS=2ba?+a，即
??222?????????baba=2ba?+a
????2241baba???=2ba?+a
??245ba?=2ba?+a
25(a+b)=23a+2b
?????????215b=?????????253a
b=
1553??
a。
正方形AQRS面積為a2。
矩形QBCP面積為(a+b)b。
(a+b)b=(a+
1553??
a)
1553??
a
抽出a2，然後化簡
(1+
1553??
)
1553??
=
15255315???????53?
=
5262???53?
=1。
因此(a+b)b=a2，即正方形AQRS面積=矩形QBCP面積，即以Q為分
點正確。
《幾何原本》先証明長方形SRPD面積=正方形ABCD面積，兩者減去相
同部分之長方形AQPD面積，於是可得正方形AQRS面積=矩形QBCP面積，
但《幾何原本》之証明含糊。
杜知耕《幾何論約》曰：
此題所求即理分中末線。詳六卷三十。
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又《幾何原本》卷六?第三十題曰：
一直線求作理分中末線。
甲A乙Q丙B
|____________________|_____________|
題意指已知一直線甲丙AB，求線上一點乙Q，使
AQAB
=
QBAQ
。一直線上之三點合此條件者是為“理分中末線”。現代數學
稱之為黃金比例或黃金分割法(GoldenRatio)。注意a>b>0。
三線成連比例：即AB：AQ=AQ：QB。
本題與上題相若。先以AB為邊作一正方形BCDA，平分AD得M中點，
連MB。延長MA至S使MB=MS。在AB取Q點使AQ=AS，Q即為所求之
點，
設甲乙﹝AQ﹞為a，乙丙﹝QB﹞為b，從以上結果可知(a+b)b=a2。移
項可得：
aba?=ba，此即AQAB=QBAQ。
本題主要求ba及ab之值。從上題可知b=
1553??
a，於是：
ba=5315??
=????????
53535315????
=5953553????
=4252?
=215?。
ab=152?
=??????
1515152???
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=??15152??
=215?。
若ba=Ф，aba?=ba
1+?1=Ф
Ф+1=Ф2
Ф2–Ф–1=0
依公式解一元二次方程式得：
Ф=2411??
=215?﹝取正號﹞
=1.618。
注意Ф減1即得其倒數，因為Ф–1=?1。
若某數減1即得其倒數，此數即為黃金比例數Ф。
現代之作圖法求黃金分割如下：
先作一直角三角形ABM，而AM等於AB之半。以M為圓心，MA為半徑，
作一弧AF，再以B為圓心，BF為半徑，作一弧FG，此弧交AB於G，G即為
所求之點。因配合以上題目之形式，在AB線上取AQ=BG，Q即以上圖三之點。
《幾何原本》卷六?第十七題曰：
三直線為連比例，即首尾兩線矩內直角形與中線上直角方形等，首尾線矩內
直角形與中線上直角方形等，即三線為連比例線。
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本題有衍文，第二、三句幾乎完全相同，第三句可省略。
設有三線：AB、AQ、QB，如下三圖。
第一線
甲A乙Q丙B
|____________________|_____________|
第二線
甲A乙Q
|____________________|
第三線
乙Q丙B
|_____________|
若在QB線上作一矩形，其高為AB。又以AQ為一邊作一正方形，若矩形
與正方形等面積，則AB、AQ、QB三線成連比例。
設AQ=a，QB=b，AB=a+b，因為
a2=b(a+b)，所以
aba?=ba，此即AQAB=QBAQ。
即AB、AQ、QB三線成連比例。
aba?=ba=Ф=1.618，即黃金比例。
或依下法求Ф：
見圖三，因長方形SRPD面積=正方形ABCD面積，
長方形SRPD面積=SR×SD=a[25(a+b)+2ba?]，
正方形ABCD面積=(a+b)2，兩面積相等，
故a[25(a+b)+2ba?]=(a+b)2，因a+b非0，可約去得：
a215?=a+b，移項得：
215?–1=ab
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ab=215?。又
ab–1=ba=215?
故ba=215?+1=215?。
杜知耕《幾何論約》曰：
系：凡直線上方形與他兩線矩內形等，即此線為他兩線之中率。
其意指若以AB為邊作一正方形，又以QB及AB作一長方形，若兩面積等，
則AB為其餘兩線之中率。
從以上諸題可知，黃金比例在歐几里得Euclid之年代已有相當成熟之發展。
1原文用“来”字，非“來”。
2原文用“厯”字，非“歷”。
3原文用“厯”字，非“曆”。
4合公元1607年，時萬曆三十五年。
5用“賅”較妥。
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