2015年安庆市高三第二次质量检测考试
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位,满足,复数满足,则复数等于
A.B.C.D.
2.已知椭圆的离心率为,则实数等于
A.2B.2或C.或6D.2或8
3.设随机变量服从正态分布,且在上取值的概率为0.8,则在(0,3)上取值的概率为
A.0.2B.0.3C.0.8D.0.1
4.在等比数列中,,且是和的等差中项,则的公比为
A.2B.3C.2或3D.6
5.在极坐标系中,曲线上的两点对应的极角分别为,则弦长等于
A.1B.C.D.2
6.已知点是边长为1的正方形的对角线上的任意一点,于,于,则等于A.1B.
C.D.
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.B.C.D.
8.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的※处和最后输出的结果应是
A.B.C.D.
9.设实数满足,且,则
A.有最小值9B.有最大值9C.有最大值1D.有最小值1
10.已知函数其中,设为的一个零点,若,则符合条件的的值有A.1个B.2个C.3个D.无数个
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
11.若的展开式的常数项是,则实数
12.设实数满足,则的取值范围是
13.已知命题函数的值域为,命题对任意的,不等式恒成立,若命题为真命题,则实数的取值范围是
14.若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为
15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的角旋转,简称转轴,将平面直角坐标系转轴得到新坐标系,设点在两个坐标系中的坐标分别为和,则下列结论中错误的是(把你认为错误的所有结论的序号都填上)①与轴垂直的直线转轴后一定与轴垂直;②当时,点在新坐标系中的坐标为;③当时,反比例函数的图象经过转轴后的标准方程是
④当时,直线的图象经过转轴后的直线方程是
⑤点在两个坐标系中坐标之间的关系是
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
如图所示,在中,.
(Ⅰ)当时,求的面积;
(Ⅱ)设,记四边形的周长为,求的表达式,并求出的最大值.
17(本小题满分12分)
,丙,丁两棵树苗成活率均为,每棵树苗成活与否相互没有影响.
(Ⅰ)若甲,乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求的值
(Ⅱ)设为最终成活的树苗的数量,求的概率分布列及数学期望值.
18(本小题满分12分)
中,底面是梯形,,侧面为菱形,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,点在平面上的射影恰为线段的中点,求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.
19(本小题满分13分)
,四边形内接于抛物线,如图所示.
(Ⅰ)若直线的斜率均存在,分别记为,求证:;
(Ⅱ)若直线的斜率互为相反数,且弦轴,求证:直线与抛物线在点处的切线平行.
20(本小题满分13分)
.
(Ⅰ)若在区间上为单调递增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,设直线为函数的图象在处的切线,求证:.
21(本小题满分13分)
满足.
(Ⅰ)求证:对任意;
(Ⅱ)判断数列的单调性,并说明你的理由;
(Ⅲ)设为数列的前项和,求证:当时,.
2015年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题(理科)参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C D A B C B 1.A【解析】，选.
2.D【解析】显然且.当时，椭圆长轴在轴上，则，解得；当时，椭圆长轴在轴上，则，解得，选.
3.B【解析】因为服从正态分布，所以，，所以.选.
4.B【解析】设公比为，由已知，得解得或，但不符合.选.
5.C【解析】、两点的极坐标分别为、，化为直角坐标为、，故，选.
6.D【解析】设，，，（，），根据题意可知，，，，，且.所以，，，故
.选.（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.）
7.A【解析】该几何体的直观图如图所示.
.选.
8.B【解析】.因为，，所以的最小正整数值为5.选.
9.C【解析】因为，所以.
又，，所以，故.时取等号.选.
10.B【解析】.因为，
所以，解得.由知，，，.当时，；当时，；当时，；当时，.
故，符合条件的的值有2个.选.
11.，【解析】，由，得，.
12.，【解析】由题意，可行域如图所示，则，，所以，故.
13.，【解析】函数的值域为；对任意的，不等式恒成立，所以若命题为真命题，则；的范围为.
14.，【解析】由图可知，，，由得，又，得，由图知，，由，得所以，阴影部分面积.
15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点在新坐标系中的坐标应为，错误；（3）时，函数的图象经过转轴后的标准方程是，错误；（4）直角坐标系中的直线，在坐标系中倾斜角为，且经过点，故转轴后的直线方程是，正确；（5）证明如下：设，，则，
，正确.
16．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）在△中，，，，根据余弦定理可得.………2分
在△中，因为°，所以当时，，
根据正弦定理可得，.
的面积.………5分
（Ⅱ）在△中，由，得，，………7分
所以
…9分
因为，所以当且仅当时，有最大值.
从而的最大值为.………12分
17．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ），………4分
（Ⅱ）可取0、1、2、3、4
=
………7分
∴的分布列为
0 1 2 3 4 ………9分
+
∴.………12分
18.（本小题满分12分）
【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面为菱形，所以，又，
所以
，
从而.………5分
（Ⅱ）设线段的中点为，连接、，由题意知平面.因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图1所示.
设，由可知，，所以，从而，，，.所以.
由可得，所以.………7分
设平面的一个法向量为，由，，得取，则，，所以.………9分
又平面的法向量为，所以.
故平面与平面所成二面角的余弦值为.………12分
解二：（Ⅰ）连接、、，设交于点，连，如图2所示.
由，可得△≌△，所以.由于是线段的中点，所以，又根据菱形的性质，所以平面，从而.………5分
（Ⅱ）因为，，所以延长、交于点，延长、交于点，且，.连接，则.过点作的垂线交于点，交于点，连接，如图3所示.因为，所以.由题意知平面，所以由三垂线定理得，
故是平面与平面所成二面角的平面角.………8分
易知，，所以.在△中，，所以.
故平面与平面所成二面角的余弦值为.………12分
19．（本题满分13分）【解析】(Ⅰ)证明：设，，，
，
同理：，故………4分
同理：，从而得证.………6分
(Ⅱ)证明：由，有，，设以为切点的切线斜率为，则方程为，代入，得
得，而
；………9分
由若直线、的斜率互为相反数，则有
，
而点不在上，所以，直线平行于点处的切线.………13分
20．（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ）由已知，，由已知对恒成立，
故，对恒成立，得，∴为所求.………4分
（Ⅱ）证明：，则
函数在处的切线方程为
当，当，；
即证＜0………6分
令
设，
则，∵，∴
∴在上单调递减，而………10分
∴当时，，当时，
即当时，，当时
∴在区间上为增函数，在区间上为减函数
∴时，
综上，………13分
21.（本题满分13分）
【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明：（）.
①当时，，结论正确；
②假设时结论成立，即，
则时，，所以时，结论正确.
故，由①、②及数学归纳法原理，对一切的，都有成立.………4分(Ⅱ)是单调递减的数列.
因为，又，
所以，.这说明是单调递减的数列.………8分
（Ⅲ）由，得，所以.
根据(Ⅰ)（），所以，
所以.
所以，当时，，即.
当时，，当时，
.………13分
图3
第19题图
|
|
