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安徽省“江南十校”2015届高三联考数学(理)试题 Word版含答案(www
2015-04-08 | 阅:  转:  |  分享 
  
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2015年安徽省“江南十校”高三联考

数学(理科)

一、选择题本大题共10小题,每小题分,满分0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、若复数(其中,为虚数单位)的实部与虚部相等,则()

A.B.C.D.

2、已知命题,有,命题是的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()

A.B.C.D.

3、下列结论正确的是()

A.若直线平面,直线平面,则

B.若直线平面,直线平面,则

C.若两直线、与平面所成的角相等,则

D.若直线上两个不同的点、到平面的距离相等,则

4、已知四个函数,,,在上的图象如下,则函数与序号匹配正确的是()



A.—①,—②,—③,—④

B.—①,—②,—③,—④

C.—①,—②,—③,—④

D.—①,—②,—③,—④

5、某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘建设了一条人行地下通道.地下通道设计三视图中的主(正)视图(其中上部分曲线近似为抛物线)和侧(左)视图如下(单位:),则该工程需挖掘的总土方数为()











A.B.C.D.

6、已知点,点为平面区域上的一个动点,则的最小值是()

A.B.C.D.

7、已知函数(),若导函数在区间上有最大值,则导函数在区间上的最小值为()

A.B.C.D.

8、在二项式()的展开式中,常数项为,则的值为()

A.B.C.D.

9、某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动.若甲、乙两位同学不参加同一社团,每个社团都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为()

A.B.C.D.

10、以椭圆的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线,其左、右焦点分别是、.已知点坐标为,双曲线上点(,)满足,则()

A.B.C.D.

二、填空题本大题共小题,每小题分,分.11、已知随机变量,若,则.

12、运行如右图所示的程序框图后,输出的结果是.

13、已知直线的参数方程是(为参数),曲线的极坐标方程是,则曲线上到直线的距离为的点个数有个.

14、对于(为公比)的无穷等比数列(即项数是无穷项),我们定义(其中是数列的前项的和)为它的各项的和,记为,即.则循环小数的分数形式是.

15、在棱长为的正方体中,是的中点,点在侧面上运动.现有下列命题:

①若点总保持,则动点的轨迹所在曲线是直线;

②若点到点的距离为,则动点的轨迹所在曲线是圆;

③若满足,则动点的轨迹所在曲线是椭圆;

④若到直线与直线的距离比为,则动点的轨迹所在曲线是双曲线;

⑤若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹所在曲线是抛物线.

其中真命题是.(写出所有真命题的序号)

三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16、(本小题满分分)(),其图象过点.

求函数在上的单调递减区间;若,,求的值.



















17、(本小题满分分)届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前个小组的频率之比为,其中第二小组的频数为.



















求该校报考飞行员的总人数;

若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选人,设表示体重超过的学生人数,求的数学期望与方差.







18、(本小题满分1分)的焦点为.

设抛物线上任一点,求证:以为切点与抛物线相切的切线方程是;

若过动点()的直线与抛物线相切,试判断直线与直线的位置关系,并予以证明.





19、(本小题满分1分),其中内接于圆,是圆的直径,四边形为平行四边形,且平面.

证明:;若,,且二面角所成角的正切值是,试求该几何体的体积.













20、(本小题满分1分)().

求函数的最大值;若,证明:;

若,,,且,证明:.





















21、(本小题满分14分)已知数列满足,().

证明:数列是等比数列;

令,数列的前项和为,

证明:;

证明:当时,.













2015年安徽省“江南十校”高三联考

数学(理科)试题答案

选择题:(本大题共10题,每小题5分,共50分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A C B D A D C B D A 答案A解析:

由条件得,.

答案C解析:命题为真,命题为假.

答案B解析:A选项中两直线也可能相交或异面,B选项中直线与平面也可能相交,D中选项也可能相交.

4.答案D解析:图像①是关于原点对称的,即所对应函数为奇函数,只有;图像②④恒在轴上方,即在上函数值恒大于,符合的函数有和,又图像②过定点,其对应函数只能是,那图像④对应,图像③对应函数.

5.答案A解析:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系,易得抛物线过点,其方程为,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积,下部分矩形面积,故挖掘的总土方数为.

6.答案D解析:不等式组表示的平面区域如图,结合图像可知的最小值为点A到直线的距离,即.

7.答案C解析:,令是奇函数,由的最大值为10知:的最大值为,最小值为,从而的最小值为.

答案B解析:展开式中第项是,则



9.答案D解析:.

10.答案A解析:双曲线方程为,=4

由可得,

得MP平分,又结合平面几何知识可得,的内心在直线上;所以点M(2,1)就是的内心。故

二.填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)

11.答案解析:由对称性.

12.答案0解析:,由于周期为8,所以

.

13.答案2解析:直线的方程是,曲线的方程:,即以为圆心,5为半径的圆.

又圆心到直线的距离是,

故曲线上到直线的距离为4的点有2个.

14.答案解析:=



15.答案①②④解析:①中因,所以动点的轨迹所在曲线是直线,①正确;②中满足到点的距离为的点集是球,所以点应为平面截球体所得截痕,即轨迹所在曲线为圆,②正确;③满足条件的点应为以为轴,以为母线的圆锥,平面是一个与母线平行的平面,又点在所在的平面上,故点轨迹所在曲线是抛物线,③错误;④到直线的距离,即到点的距离与到直线的距离比为,所以动点的轨迹所在曲线是以为焦点,以直线为准线的双曲线,④正确;⑤如图建立空间直角坐标系,作,连接PF,设点坐标为,由得,即,所以点轨迹所在曲线是双曲线,⑤错误.

三.解答题(本大题共6小题,共75分)

16.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)

……………2分

由图像过点知:

所以……………………………………………4分

令即

在上的单调递减区间是…………………………………6分

(Ⅱ)因为则………………………8分

由知…………10分

所以…12分



17.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为,前三个小组的频率为

则解得………………4分

由于,故……………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一个报考学生的体重超过公斤的概率为



由题意知服从二项分布即:~……………………………………8分



………………………………12分



18.(本小题满分12分)

证明:(Ⅰ)由抛物线:得,,则,

在点切线的斜率,

切线方程是,即

又点是抛物线上一点



切线方程是,即…………………………………6分

(也可联立方程证得)

(Ⅱ)直线与直线位置关系是垂直.

由(Ⅰ)得,设切点为,则切线方程为,

切线的斜率,点,

又点,

此时,………………………………10分



直线直线……………………………………………………12分



19.(本小题满分12分)

(Ⅰ)证明:是圆的直径



又平面



又平面,且

平面

又平面

………………………………………………………5分

(Ⅱ)设,以所在直线分别为轴,轴,轴,如图所示

则,,,

由(Ⅰ)可得,平面

平面的一个法向量是

设为平面的一个法向量

由条件得,,

即不妨令,则,



又二面角所成角的正切值是





得………………………9分











该几何体的体积是……………………………………………12分

(本小题也可用几何法求得的长)

20.(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)

在递增,在上递减,

从而的最大值是……………………………………4分

(Ⅱ)令,即

当时,

即.…………………………………9分

(Ⅲ)依题意得:,从而,

由(Ⅱ)知,,



即……………………………………………………13分



21.(本小题满分14分)

解析:(Ⅰ)



两边同除得,即

也即



数列是以1为首项,3为公比的等比数列.……………………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,

…………………………………………………………………………4分

(ⅰ)原不等式即为:

先用数学归纳法证明不等式:

当时,…………………………………………6分

证明过程如下:

当时,左边=,不等式成立

假设时,不等式成立,即

则时,左边=





当时,不等式也成立.

因此,当时,…………………………8分

显然,当时,,

当时,

又当时,左边=,不等式成立

故原不等式成立.……………………………………………………9分

(ⅱ)由此可得,

方法一:当









将上面式子累加得,



=





故原不等式成立.………………………………………………………………14分

方法二:由此可发现,





当时,令











故当时,.………………………………………………14分





















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