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2015年安徽省“江南十校”高三联考
数学(理科)
一、选择题本大题共10小题,每小题分,满分0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、若复数(其中,为虚数单位)的实部与虚部相等,则()
A.B.C.D.
2、已知命题,有,命题是的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()
A.B.C.D.
3、下列结论正确的是()
A.若直线平面,直线平面,则
B.若直线平面,直线平面,则
C.若两直线、与平面所成的角相等,则
D.若直线上两个不同的点、到平面的距离相等,则
4、已知四个函数,,,在上的图象如下,则函数与序号匹配正确的是()
A.—①,—②,—③,—④
B.—①,—②,—③,—④
C.—①,—②,—③,—④
D.—①,—②,—③,—④
5、某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘建设了一条人行地下通道.地下通道设计三视图中的主(正)视图(其中上部分曲线近似为抛物线)和侧(左)视图如下(单位:),则该工程需挖掘的总土方数为()
A.B.C.D.
6、已知点,点为平面区域上的一个动点,则的最小值是()
A.B.C.D.
7、已知函数(),若导函数在区间上有最大值,则导函数在区间上的最小值为()
A.B.C.D.
8、在二项式()的展开式中,常数项为,则的值为()
A.B.C.D.
9、某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动.若甲、乙两位同学不参加同一社团,每个社团都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为()
A.B.C.D.
10、以椭圆的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线,其左、右焦点分别是、.已知点坐标为,双曲线上点(,)满足,则()
A.B.C.D.
二、填空题本大题共小题,每小题分,分.11、已知随机变量,若,则.
12、运行如右图所示的程序框图后,输出的结果是.
13、已知直线的参数方程是(为参数),曲线的极坐标方程是,则曲线上到直线的距离为的点个数有个.
14、对于(为公比)的无穷等比数列(即项数是无穷项),我们定义(其中是数列的前项的和)为它的各项的和,记为,即.则循环小数的分数形式是.
15、在棱长为的正方体中,是的中点,点在侧面上运动.现有下列命题:
①若点总保持,则动点的轨迹所在曲线是直线;
②若点到点的距离为,则动点的轨迹所在曲线是圆;
③若满足,则动点的轨迹所在曲线是椭圆;
④若到直线与直线的距离比为,则动点的轨迹所在曲线是双曲线;
⑤若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹所在曲线是抛物线.
其中真命题是.(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16、(本小题满分分)(),其图象过点.
求函数在上的单调递减区间;若,,求的值.
17、(本小题满分分)届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前个小组的频率之比为,其中第二小组的频数为.
求该校报考飞行员的总人数;
若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选人,设表示体重超过的学生人数,求的数学期望与方差.
18、(本小题满分1分)的焦点为.
设抛物线上任一点,求证:以为切点与抛物线相切的切线方程是;
若过动点()的直线与抛物线相切,试判断直线与直线的位置关系,并予以证明.
19、(本小题满分1分),其中内接于圆,是圆的直径,四边形为平行四边形,且平面.
证明:;若,,且二面角所成角的正切值是,试求该几何体的体积.
20、(本小题满分1分)().
求函数的最大值;若,证明:;
若,,,且,证明:.
21、(本小题满分14分)已知数列满足,().
证明:数列是等比数列;
令,数列的前项和为,
证明:;
证明:当时,.
2015年安徽省“江南十校”高三联考
数学(理科)试题答案
选择题:(本大题共10题,每小题5分,共50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A C B D A D C B D A 答案A解析:
由条件得,.
答案C解析:命题为真,命题为假.
答案B解析:A选项中两直线也可能相交或异面,B选项中直线与平面也可能相交,D中选项也可能相交.
4.答案D解析:图像①是关于原点对称的,即所对应函数为奇函数,只有;图像②④恒在轴上方,即在上函数值恒大于,符合的函数有和,又图像②过定点,其对应函数只能是,那图像④对应,图像③对应函数.
5.答案A解析:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系,易得抛物线过点,其方程为,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积,下部分矩形面积,故挖掘的总土方数为.
6.答案D解析:不等式组表示的平面区域如图,结合图像可知的最小值为点A到直线的距离,即.
7.答案C解析:,令是奇函数,由的最大值为10知:的最大值为,最小值为,从而的最小值为.
答案B解析:展开式中第项是,则
9.答案D解析:.
10.答案A解析:双曲线方程为,=4
由可得,
得MP平分,又结合平面几何知识可得,的内心在直线上;所以点M(2,1)就是的内心。故
二.填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)
11.答案解析:由对称性.
12.答案0解析:,由于周期为8,所以
.
13.答案2解析:直线的方程是,曲线的方程:,即以为圆心,5为半径的圆.
又圆心到直线的距离是,
故曲线上到直线的距离为4的点有2个.
14.答案解析:=
15.答案①②④解析:①中因,所以动点的轨迹所在曲线是直线,①正确;②中满足到点的距离为的点集是球,所以点应为平面截球体所得截痕,即轨迹所在曲线为圆,②正确;③满足条件的点应为以为轴,以为母线的圆锥,平面是一个与母线平行的平面,又点在所在的平面上,故点轨迹所在曲线是抛物线,③错误;④到直线的距离,即到点的距离与到直线的距离比为,所以动点的轨迹所在曲线是以为焦点,以直线为准线的双曲线,④正确;⑤如图建立空间直角坐标系,作,连接PF,设点坐标为,由得,即,所以点轨迹所在曲线是双曲线,⑤错误.
三.解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)
……………2分
由图像过点知:
所以……………………………………………4分
令即
在上的单调递减区间是…………………………………6分
(Ⅱ)因为则………………………8分
由知…………10分
所以…12分
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为,前三个小组的频率为
则解得………………4分
由于,故……………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一个报考学生的体重超过公斤的概率为
,
由题意知服从二项分布即:~……………………………………8分
………………………………12分
18.(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)由抛物线:得,,则,
在点切线的斜率,
切线方程是,即
又点是抛物线上一点
,
切线方程是,即…………………………………6分
(也可联立方程证得)
(Ⅱ)直线与直线位置关系是垂直.
由(Ⅰ)得,设切点为,则切线方程为,
切线的斜率,点,
又点,
此时,………………………………10分
直线直线……………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:是圆的直径
又平面
又平面,且
平面
又平面
………………………………………………………5分
(Ⅱ)设,以所在直线分别为轴,轴,轴,如图所示
则,,,
由(Ⅰ)可得,平面
平面的一个法向量是
设为平面的一个法向量
由条件得,,
即不妨令,则,
又二面角所成角的正切值是
得………………………9分
该几何体的体积是……………………………………………12分
(本小题也可用几何法求得的长)
20.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)
在递增,在上递减,
从而的最大值是……………………………………4分
(Ⅱ)令,即
当时,
即.…………………………………9分
(Ⅲ)依题意得:,从而,
由(Ⅱ)知,,
又
即……………………………………………………13分
21.(本小题满分14分)
解析:(Ⅰ)
两边同除得,即
也即
又
数列是以1为首项,3为公比的等比数列.……………………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,
…………………………………………………………………………4分
(ⅰ)原不等式即为:
先用数学归纳法证明不等式:
当时,…………………………………………6分
证明过程如下:
当时,左边=,不等式成立
假设时,不等式成立,即
则时,左边=
当时,不等式也成立.
因此,当时,…………………………8分
显然,当时,,
当时,
又当时,左边=,不等式成立
故原不等式成立.……………………………………………………9分
(ⅱ)由此可得,
方法一:当
将上面式子累加得,
又
=
即
故原不等式成立.………………………………………………………………14分
方法二:由此可发现,
且
当时,令
则
又
又
故当时,.………………………………………………14分
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