导数题中“任意、存在”型的归纳辨析
南昌外国语学校梁懿涛
导数题是高考题中的常客,而且大都以压轴题的面目出现,所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有,但却悄然之中发生着些改变。这其中,尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色,从早期单一型,发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。
一.单一函数单一“任意”型
例1.已知函数的最小值为,其中(1)求的值(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值(1),在单调递减,在单调递增,所
。
(2)设,则问题等价于对恒成立,即。因为当时,时,,所以。由,若,则当时,,单调递减,,矛盾。从而,解得。即实数的最小值。
点评:“任意”的意思是不管取给定集合中的哪一个值,得到的函数值都要满足给定的不等式,它有两种形式:“对任意的,恒成立”等价于“当时,”;“对任意的,恒成立”等价于“当时,”。
二.单一函数单一“存在”型
例2.已知函数(),若存在,使得成立,求实数的取值范围。∵,∴且等号不能同时取,所以,即,因而令,又,当时,,,从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,故的最小值为,所以a的取值范围是.取遍给定集合中的每一个值,都至少有一个函数值满足给定的不等式,它有两种形式:“存在,使得成立”等价于“当时,”;“存在,使得成立”等价于“当时,”。
三.单一函数双“任意”型
例3.设函数。
(时,讨论函数的单调性;
(2)若对任意及任意,恒有成立,求实数的取值范围。
解析:(,当,即时,在上是减函数;当,即时,令,得或;令得。当,即时,令得或令得。
综上,当时,在定义域上是减函数;当时,在和单调递减,在上单调递增;当时,在和单调递减,在上单调递
(2)由(时,在上单调递减,当时,有最大值,当时,有最小值,,,由得,所以。
点评:“任意,恒有”等价于“大于”
,而。
例4.已知函数。
(1)讨论函数的单调性;
(2)设.如果对任意,,求的取值范围。
解析:(1)的定义域为(0,+∞).,当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;当-1<<0时,令=0,解得。则当时,>0;时,<0。故在单调增加,在单调减少。
(2)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而,等价于,。()
令,则()等价于在单调递减,即。从而故a的取值范围为。
点评:本题容易得出的错误。因为等式两边都有变量,一边变化会引起另一边变化,这种情况要将等式两边移至一边,通过分离变量,来构造新的函数以达到解题的目的。
四.单一函数双“存在”型
例5.设是函数的一个极值点。
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,。若存在使得成立,求的取值范围。
解析:(1),则,解得。,令,得,由于是极值点,所以,得。所以当时,,在上单调递减,在上单调递增减,在上单调递增减;当时,,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减。
(2)由(1)可知,当时,在区间上的单调递增,在区间上单调递减,那么在区间上的值域是,而,,
,那么在上的值域为。又在上是增函数,所以它在上的值域是,由于,所以只须且只须且,解得。故的取值范围是。
点评:“存在使得”等价于“”,而要通过与的值域来得到。
五.双函数“任意”+“存在”型:
例5.已知函数,若,对任意,总有成立,求实数m的取值范围。解析在上的最大值在上的最大值,由得,或,当时,时,所以在(0,1)上,又上的最大值为,所以有,所以实数的取值范围是,使得成立。同样,,使得成立。
例6.设函数.
(1)求的单调区间.
(2)设,函数.若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围.
解析:(1),令,即,解得:,
的单增区间为;单调减区间为和。
(2)由(1)可知当时,单调递增,当时,,即;又,且,当时,,单调递减,
当时,,即,又对于任意,总存在,使得成立,
即,解得:
点评:“对任意,存在,使得成立”等价于“的值域包含于的值域”。
六.双函数“任意”+“任意”型
例7.设,.
()如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
()如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围存在,使得成立等价于,可得在单调递减,在上单调递增,所以=
,,所以,从而满足条件的最大整数,得在上的最大值为1.则对任意的,都有成立对恒成立,也等价于对恒成立。
记,,。记,,由于,,所以在上递减,当时,,时,,即函数在区间上递增,在区间上递减,所以,所以。
点评:,使得成立
七.双函数“存在”+“存在”型
例8.已知函数,。若存在,,使,求实数取值范围。
解析:,在上单调递增,在上单调递减,。依题意有,所以。又,
从而或,解得。即实数取值范围是。
点评:,使得成立,同样,使得成立。
例9.已知函数。是否存在实数,,,使得成立?若存在求出值若不存在说明理由.上是增函数,故对于,.
设,当时,。
要存在,使得成立,只要,
考虑反面,若,则或,解得
或。从而所求为
点评:“,使得成立”等价于“的值域与的值域相交非空”。
从以上例题可以看出,导数题的发展轨迹是从单一函数往双函数发展,从单一变量往双变量甚至是多变量发展,从单一任意或存在往任意存在混合上发展。不管怎样发展,它们的基础还是单函数的任意与存在性问题。对于两个函数的问题,虽然以上例题归纳得很清楚,但真正解题中,往往还是容易迷惑。我们知道,面对两个或多个变量的时候,可以先把其中的一个当成是变量,其它的当成是常量,这样就把问题转化为单变量的常规题了。这里同样可以采取类似的方法,在和中,依次把一个当成是常量,另一个当成是变量,这样就把问题转化成了前面熟悉的单函数单任意(或存成)题了。比如“,使得成立”,就可以先把当成是常量,“,使得成立”等价于,再反过来,再把当成是常量,“,使得成立”等价于,综合以上两方面,就得出了“,使得成立”的正确结论。
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